一．方法綜述高考試題將趨于關注那些考查學生運用運動變化觀點處理問題的題目，而幾何問題中的最值與范圍類問題，既可以考查學生的空間想象能力，又考查運用運動變化觀點處理問題的能力，因此，將是有中等難度的考題．此類問題，可以充分考查圖形推理與代數推理，同時往往也需要將問題進行等價轉化，比如求一些最值時，向平面幾何問題轉化，這些常規的降維操作需要備考時加強關注與訓練．立體幾何中的最值問題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個方面,此類問題多以規則幾何體為載體,涉及到幾何體的結構特征以及空間線面關系的邏輯推理、空間角與距離的求解等,題目較為綜合,解決此類問題一般可從三個方面思考：一是函數法,即利用傳統方法或空間向量的坐標運算,建立所求的目標函數,轉化為函數的最值問題求解；二是根據幾何體的結構特征，變動態為靜態，直觀判斷在什么情況下取得最值；三是將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解.二．解題策略類型一距離最值問題【例1】【河南省焦作市2019屆高三三模】在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E、F分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則|AF|的最大值為（）A． B．1 C． D．2【指點迷津】建立空間直角坐標系，求出坐標，利用C1E⊥EF，求出|AF|滿足的關系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的關系式是解題的關鍵，故選D.【舉一反三】1、【江西省吉安市2019屆高三上學期期末】若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的棱長為A．B．C．D．2、【河南省頂級名校2019屆高三第四次聯合測評】在側棱長為的正三棱錐中，側棱OA，OB，OC兩兩垂直，現有一小球P在該幾何體內，則小球P最大的半徑為A． B．C． D．3、如右圖所示，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，點分別為面和線段上的動點，則周長的最小值為_______．類型二面積的最值問題【例2】【河南省鄭州市2019年高三第二次質量檢測】在長方體中，，，分別是棱的中點，是底面內一動點，若直線與平面沒有公共點，則三角形面積的最小值為（）A． B． C． D．【指點迷津】截面問題，往往涉及線面平行，面面平行定義的應用等，考查空間想象能力、邏輯思維能力及計算求解能力.解題的關鍵是注意明確截面形狀，確定幾何量.本題由直線與平面沒有公共點可知線面平行，補全所給截面后，易得兩個平行截面，從而確定點P所在線段，得解．【舉一反三】1、【湖南省衡陽市2019屆高三二模】如圖，直角三角形，，，將繞邊旋轉至位置，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積的最小值為（）A． B． C． D．2、如圖，在正四棱柱中，，點是平面內的一個動點，則三棱錐的正視圖與俯視圖的面積之比的最大值為（）A．1B．2C．D．3、【福建省2019屆高三模擬】若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的所有側面和底面中，面積的最大值為（）A．2 B． C．3 D．類型三體積的最值問題【例3】如圖，已知平面平面，，、是直線上的兩點，、是平面內的兩點，且，，，，，是平面上的一動點，且有，則四棱錐體積的最大值是（）A.B.C.D.【指點迷津】本題主要考查面面垂直的性質，棱錐的體積公式以及求最值問題.求最值的常見方法有①配方法：若函數為一元二次函數，常采用配方法求函數求值域，其關鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；②換元法；③不等式法；④單調性法；⑤圖像法，本題首先根據線面關系將體積最值轉化為函數求最值問題，然后應用方法①解答的.【舉一反三】1、已知與是四面體中相互垂直的棱，若，且，則四面體的體積的最大值是A.B.C.D.2、如圖，已知平面，、是上的兩個點，、在平面內，且，，在平面上有一個動點，使得，則體積的最大值是（）A.B.C.D.3.【河南省八市重點高中聯盟“領軍考試”2019屆高三第三次測評】已知一個高為l的三棱錐，各側棱長都相等，底面是邊長為2的等邊三角形，內有一個體積為的球，則的最大值為（）A． B． C． D．類型四角的最值問題【例4】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點.設異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為.【指點迷津】空間的角的問題，只要便于建立坐標系均可建立坐標系，然后利用公式求解.解本題要注意，空間兩直線所成的角是不超過90度的.幾何問題還可結合圖形分析何時取得最大值.當點M在點P處時，EM與AF所成角為直角，此時余弦值為0（最小），當點M向左移動時，.EM與AF所成角逐漸變小，點M到達點Q時，角最小，余弦值最大.【舉一反三】1、矩形ABCD中，，，將△ABC與△ADC沿AC所在的直線進行隨意翻折，在翻折過程中直線AD與直線BC成的角范圍（包含初始狀態）為（）A.B.C.D.2、在正方體中，是中點，點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．3.【云南省昆明市云南師范大學附屬中學2019屆高三上學期第四次月考】如圖，在正方體中，點P為AD的中點，點Q為上的動點，給出下列說法：可能與平面平行；與BC所成的最大角為；與PQ一定垂直；與所成的最大角的正切值為；．其中正確的有______寫出所有正確命題的序號4、在正四面體中，點是棱的中點，點是線段上一動點，且，設異面直線與所成角為，當時，則的取值范圍是__________．三．強化訓練一、選擇題1、【甘肅省2019屆高三第一次高考診斷】四棱錐的頂點均在一個半徑為3的球面上，若正方形的邊長為4，則四棱錐的體積最大值為（）A． B． C． D．2．【廣東省東莞市2019屆高三第二次調研】已知一個四棱錐的正主視圖和俯視圖如圖所示，其中，則該四棱錐的高的最大值為A． B． C．4 D．23．【四川省教考聯盟2019屆高三第三次診斷】已知四棱錐的底面四邊形的外接圓半徑為3，且此外接圓圓心到點距離為2，則此四棱錐體積的最大值為（）A．12 B．6 C．32 D．244．【安徽省蚌埠市2019屆高三第一次檢查】某三棱錐的三視圖如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，三棱錐表面上的點M在俯視圖上的對應點為A，三棱錐表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則線段MN的長度的最大值為A． B． C． D．5．如圖，在矩形中，,點為的中點，為線段（端點除外）上一動點現將沿折起，使得平面平面設直線與平面所成角為，則的最大值為（）A.B.C.D.6．【2019年4月2019屆高三第二次全國大聯考】已知正四面體的表面積為，點在內（不含邊界）.若，且，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題7．【山東省青島市2019屆高三3月一模】在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，面，且，若在這個四棱錐內有一個球，則此球的最大表面積為__________．8．【陜西省西安地區陜師大附中、西安高級中學、高新一中、鐵一中學、西工大附中等八校2019屆高三3月聯考】如圖，已知正四棱柱和半徑為的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四點均在球面上，則該正四棱柱的體積的最大值為______．9．【陜西省西安地區陜師大附中、西安高級中學、高新一中、鐵一中學、西工大附中等八校2019屆高三3月聯考】如圖，已知圓柱和半徑為的半球O，圓柱的下底面在半球O底面所在平面上，圓柱的上底面內接于球O，則該圓柱的體積的最大值為_____．10．【江西省上饒市2019屆高三二模】一個棱長為的正方體形狀的鐵盒內放置一個正四面體，且能使該正四面體在鐵盒內任意轉動，則該正四面體的體積的最大值是_____.11．【河北省衡水市第二中學2019屆高三上期中】已知體積為的正四棱錐外接球的球心為，其中在四棱錐內部.設球的半徑為，球心到底面的距離為.過的中點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是___________.12．【江西省臨川第一中學等九校2019屆高三3月聯考】如圖所示，三棱錐的頂點，，，都在同一球面上，過球心且，是邊長為2等邊三角形，點、分別為線段，上的動點（不含端點），且，則三棱錐體積的最大值為__________．13．【安徽省蚌埠市2019屆高三下學期第二次檢查】正三棱錐中，，點在棱上，且.正三棱錐的外接球為球，過點作球的截面，截球所得截面面積的最小值為__________．14．【江西師范大學附屬中學2019高三上學期期末】若一個四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形的中心，且該四棱錐的體積為9，當其外接球的體積最小時，它的高為_________．15．【江西省上饒市2019屆高三二模】已知正方體