重慶市渝中學區三十中學2023-2024學年數學九上期末質量跟蹤監視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若關于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠02．下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是()A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．等腰三角形 D．菱形3．如圖，反比例函數在第二象限的圖象上有兩點A、B，它們的橫坐標分別為-1，-3.直線AB與x軸交于點C，則△AOC的面積為（）A．8 B．10 C．12 D．244．將二次函數的圖象先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得圖象對應的函數表達式是（）A． B．C． D．5．一個不透明的袋中，裝有2個黃球、3個紅球和5個白球，它們除顏色外都相同．從袋中任意摸出一個球，是白球的概率是（）A． B． C． D．6．某排球隊名場上隊員的身高（單位：）是：，，，，，.現用一名身高為的隊員換下場上身高為的隊員，與換人前相比，場上隊員的身高（）A．平均數變小，方差變小 B．平均數變小，方差變大C．平均數變大，方差變小 D．平均數變大，方差變大7．已知點、、在函數上，則、、的大小關系是（）．（用“>”連結起來）A． B． C． D．8．隨機抽取某商場4月份5天的營業額（單位：萬元）分別為3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，則這個商場4月份的營業額大約是（）A．90萬元B．450萬元C．3萬元D．15萬元9．如圖，平面直角坐標系中，，反比例函數的圖象分別與線段交于點，連接．若點關于的對稱點恰好在上，則（）A． B． C． D．10．校園內有一個由兩個全等的六邊形（邊長為）圍成的花壇，現將這個花壇在原有的基礎上擴建成如圖所示的一個菱形區域，并在新擴建的部分種上草坪，則擴建后菱形區域的周長為（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，扇形ABC的圓心角為90°，半徑為6，將扇形ABC繞A點逆時針旋轉得到扇形ADE，點B、C的對應點分別為點D、E，若點D剛好落在上，則陰影部分的面積為_____．12．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別是（0，2）、（4，0），點P是直線y=2x+2上的一動點，當以P為圓心，PO為半徑的圓與△AOB的一條邊所在直線相切時，點P的坐標為__________．13．如圖所示，在中，，垂直平分，交于點，垂足為點，，，則等于___________．14．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則兩枚硬幣全部正面向上的概率是．15．如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，將△ABC繞頂點A逆時針旋轉80°后得到△AB′C′，則∠CAB′的度數為_____．16．如圖，在半徑為的中，的長為，若隨意向圓內投擲一個小球，小球落在陰影部分的概率為______________．17．方程的根是___________．18．如圖,在△ABC中,AB≠AC．D,E分別為邊AB,AC上的點.AC=3AD,AB=3AE,點F為BC邊上一點,添加一個條件:______,可以使得△FDB與△ADE相似.(只需寫出一個)

三、解答題(共66分)19．（10分）已知關于x的一元二次方程（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個實數根，第三邊BC的長為1．當△ABC是等腰三角形時，求k的值20．（6分）如圖，已知拋物線經過點和點，與軸交于點.（1）求此拋物線的解析式；（2）若點是直線下方的拋物線上一動點（不點，重合），過點作軸的平行線交直線于點，設點的橫坐標為.①用含的代數式表示線段的長；②連接，，求的面積最大時點的坐標；（3）設拋物線的對稱軸與交于點，點是拋物線的對稱軸上一點，為軸上一點，是否存在這樣的點和點，使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由.21．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上（每個小方格都是邊長為一個單位長度的正方形）．（1）請畫出△ABC關于原點對稱的△A1B1C1；（1）請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后的△A1B1C1．22．（8分）已知：在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．（1）畫出關于原點成中心對稱的，并寫出點的坐標；（2）畫出將繞點按順時針旋轉所得的．23．（8分）某市某幼兒園“六一”期間舉行親子游戲，主持人請三位家長分別帶自己的孩子參加游戲．主持人準備把家長和孩子重新組合完成游戲，A、B、C分別表示三位家長，他們的孩子分別對應的是a、b、c．（1）若主持人分別從三位家長和三位孩子中各選一人參加游戲，恰好是A、a的概率是多少（直接寫出答案）?（2）若主持人先從三位家長中任選兩人為一組，再從孩子中任選兩人為一組，四人共同參加游戲，恰好是兩對家庭成員的概率是多少．（畫出樹狀圖或列表）24．（8分）已知，正方形中，點是邊延長線上一點，連接，過點作，垂足為點，與交于點．

（1）如圖甲，求證：；（2）如圖乙，連接，若，，求的值．25．（10分）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．“圓材埋壁”是我國古代數學著作《九章算術》中的一個問題：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？用現在的數學語言表達是：如圖，為的直徑，弦，垂足為，寸，尺，其中1尺寸，求出直徑的長．解題過程如下：連接，設寸，則寸．∵尺，∴寸．在中，，即，解得，∴寸．任務：（1）上述解題過程運用了定理和定理．（2）若原題改為已知寸，尺，請根據上述解題思路，求直徑的長．（3）若繼續往下鋸，當鋸到時，弦所對圓周角的度數為．26．（10分）如圖，在正方形中，點在邊上，過點作于，且.（1）若，求正方形的周長；（2）若，求正方形的面積.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】根據一元二次方程的定義可得m﹣1≠0，再解即可．【詳解】解：由題意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，注意掌握只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．2、D【分析】根據軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，針對每一個選項進行分析．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故此選項正確；故選D．3、C【解析】試題分析：x=-1時，y=6，x=-3時，y=2，所以點A（-1，6），點B（-3，2），應用待定系數法求得直線AB的解析式為y=2x+8，直線AB與x軸的交點C（-4，0），所以OC=4，點A到x軸的距離為6，所以△AOC的面積為=1．故選C．考點：待定系數法求一次函數解析式；坐標與圖形．4、B【解析】拋物線平移不改變a的值，由拋物線的頂點坐標即可得出結果．【詳解】解：原拋物線的頂點為（0，0），向左平移1個單位，再向下平移1個單位，那么新拋物線的頂點為（-1，-1），

可設新拋物線的解析式為：y=（x-h）1+k，

代入得：y=（x+1）1-1．

∴所得圖象的解析式為：y=（x+1）1-1；

故選：B．【點睛】本題考查二次函數圖象的平移規律；解決本題的關鍵是得到新拋物線的頂點坐標．5、A【分析】由題意可得，共有10種等可能的結果，其中從口袋中任意摸出一個球是白球的有5種情況，利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：∵從裝有2個黃球、3個紅球和5個白球的袋中任意摸出一個球有10種等可能結果，其中摸出的球是白球的結果有5種，∴從袋中任意摸出一個球，是白球的概率是＝，故選A．【點睛】此題考查了概率公式，明確概率的意義是解答問題的關鍵，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．6、A【解析】分析：根據平均數的計算公式進行計算即可,根據方差公式先分別計算出甲和乙的方差，再根據方差的意義即可得出答案.詳解：換人前6名隊員身高的平均數為==188，方差為S2==；換人后6名隊員身高的平均數為==187，方差為S2==∵188＞187，＞，∴平均數變小，方差變小，故選A.點睛：本題考查了平均數與方差的定義：一般地設n個數據，x1，x2，…xn的平均數為，則方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.7、D【分析】拋物線開口向上，對稱軸為x=-1．根據三點橫坐標離對稱軸的距離遠近來判斷縱坐標的大小．【詳解】解：由函數可知：該函數的拋物線開口向上，且對稱軸為x=-1．∵、、在函數上的三個點,且三點的橫坐標距離對稱軸的遠近為:、、∴．故選:D．【點睛】主要考查二次函數圖象上點的坐標特征．也可求得的對稱點，使三點在對稱軸的同一側．8、A【解析】．所以4月份營業額約為3×30＝90（萬元）．9、C【解析】根據，可得矩形的長和寬，易知點的橫坐標，的縱坐標，由反比例函數的關系式，可用含有的代數式表示另外一個坐標，由三角形相似和對稱，可用求出的長，然后把問題轉化到三角形中，由勾股定理建立方程求出的值．【詳解】過點作，垂足為，設點關于的對稱點為，連接，如圖所示：則，易證，，，在反比例函數的圖象上，，在中，由勾股定理：即：解得：故選C．【點睛】此題綜合利用軸對稱的性質，相似三角形的性質，勾股定理以及反比例函數的圖象和性質等知識，發現與的比是是解題的關鍵．10、C【分析】根據題意和正六邊形的性質得出△BMG是等邊三角形，再根據正六邊形的邊長得出BG=GM=3.5m，同理可證出AF=EF=3.5m，再根據AB=BG+GF+AF，求出AB，從而得出擴建后菱形區域的周長．【詳解】解：如圖，∵花壇是由兩個相同的正六邊形圍成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等邊三角形，∴BG=GM=3.5（m），同理可證：AF=EF=3.5（m）∴AB=BG+GF+AF=3.5×3=10.5（m），∴擴建后菱形區域的周長為10.5×4=42（m），故選：C．【點睛】此題考查了菱形的性質，用到的知識點是等邊三角形的判定與性質、菱形的性質和正六邊形的性質，關鍵是根據題意作出輔助線，找出等邊三角形．二、填空題(每小題3分,共24分)11、3π+9．【分析】直接利用旋轉的性質結合扇形面積求法以及等邊三角形的判定與性質得出S陰影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD，進而得出答案.【詳解】解：連接BD，過點B作BN⊥AD于點N，∵將半徑為4，圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉60°，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，則∠ABN＝30°，故AN＝3，BN＝3，S陰影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD＝﹣（﹣×6×3）＝3π+9．故答案為3π+9．【點睛】本題主要考查了扇形的面積求法以及等邊三角形的判定與性質.正確得出△ABD是等邊三角形是關鍵.12、（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．【分析】先求出點C的坐標，分為三種情況：圓P與邊AO相切時，當圓P與邊AB相切時，當圓P與邊BO相切時，求出對應的P點即可．【詳解】∵點A、B的坐標分別是（0，2）、（4，0），∴直線AB的解析式為y=-x+2，∵點P是直線y=2x+2上的一動點，∴兩直線互相垂直，即PA⊥AB，且C（-1，0），當圓P與邊AB相切時，PA=PO，∴PA=PC，即P為AC的中點，∴P（-，1）；當圓P與邊AO相切時，PO⊥AO，即P點在x軸上，∴P點與C重合，坐標為（-1，0）；當圓P與邊BO相切時，PO⊥BO，即P點在y軸上，∴P點與A重合，坐標為（0，2）；故符合條件的P點坐標為（0，2），（-1，0），（-，1），故答案為（0，2），（-1，0），（-，1）．【點睛】本題主要考查待定系數法確定一次函數關系式，一次函數的應用，及直角三角形的性質，直線與圓的位置關系，可分類3種情況圓與△AOB的三邊分別相切，根據直線與圓的位置關系可求解點的坐標．13、3cm【分析】根據三角形內角和定理求出∠BAC，根據線段垂直平分線性質求出，求出，求出∠EAC，根據含30°角的直角三角形的性質求解即可．【詳解】∵在△ABC中，∵垂直平分，故答案為：3cm．【點睛】本題考查了三角形的邊長問題，掌握三角形內角和定理、線段垂直平分線的性質、含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．14、．【解析】試題分析：畫樹狀圖為：共有4種等可能的結果數，其中兩枚硬幣全部正面向上的結果數為1，所以兩枚硬幣全部正面向上的概率=．故答案為．考點：列表法與樹狀圖法．15、125°【分析】根據等腰直角三角形的性質得到∠CAB＝45°，根據旋轉的性質得到∠BAB′＝80°，結合圖形計算即可．【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，由旋轉的性質可知，∠BAB′＝80°，∴∠CAB′＝∠CAB+∠BAB′＝125°，故答案為：125°．【點睛】本題考查旋轉的性質,關鍵在于熟練掌握基礎性質.16、【分析】根據圓的面積公式和扇形的面積公式分別求得各自的面積，再根據概率公式即可得出答案．【詳解】∵圓的面積是：，扇形的面積是：，∴小球落在陰影部分的概率為：.故答案為：.【點睛】本題主要考查了幾何概率問題，用到的知識點為：概率＝相應面積與總面積之比.17、，.【解析】試題分析：，∴，∴，.故答案為，.考點：解一元二次方程-因式分解法．18、或【解析】因為，,，所以,欲使與相似，只需要與相似即可，則可以添加的條件有：∠A=∠BDF，或者∠C=∠BDF,等等，答案不唯一.【方法點睛】在解決本題目，直接處理與，無從下手，沒有公共邊或者公共角，稍作轉化，通過，與相似.這時，柳暗花明，迎刃而解.三、解答題(共66分)19、（5）詳見解析（4）或【分析】（5）先計算出△=5，然后根據判別式的意義即可得到結論；（4）先利用公式法求出方程的解為x5=k，x4=k+5，然后分類討論：AB=k，AC=k+5，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．【詳解】解：（5）證明：∵△=（4k+5）4-4（k4+k）=5＞0，∴方程有兩個不相等的實數根；（4）解：一元二次方程x4-（4k+5）x+k4+k=0的解為x=，即x5=k，x4=k+5，∵k＜k+5，∴AB≠AC．當AB=k，AC=k+5，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；當AB=k，AC=k+5，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+5=5，解得k=4，所以k的值為5或4．【點睛】5．根的判別式；4．解一元二次方程-因式分解法；5．三角形三邊關系；4．等腰三角形的性質．20、（1）y＝x2﹣4x+1；（2）①用含m的代數式表示線段PD的長為﹣m2+1m；②△PBC的面積最大時點P的坐標為（，﹣）；（1）存在這樣的點M和點N，使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形．點M的坐標為M1（2，1），M2（2，1﹣2），M1（2，1+2）．【分析】（1）根據已知拋物線y=ax2+bx+1（a≠0）經過點A（1，0）和點B（1，0）代入即可求解；

（2）①先確定直線BC解析式，根據過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，即可用含m的帶上書表示出P和D的坐標進而求解；

②用含m的代數式表示出△PBC的面積，可得S是關于m的二次函數，即可求解；

（1）根據（1）中所得二次函數圖象和對稱軸先得點E的坐標即可寫出點三個位置的點M的坐標．【詳解】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+1（a≠0）經過點A（1，0）和點B（1，0），與y軸交于點C，∴，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+1；（2）①設P（m，m2﹣4m+1），將點B（1，0）、C（0，1）代入得直線BC解析式為yBC＝﹣x+1．∵過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，∴D（m，﹣m+1），∴PD＝（﹣m+1）﹣（m2﹣4m+1）＝﹣m2+1m．答：用含m的代數式表示線段PD的長為﹣m2+1m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝OB?PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴當m＝時，S有最大值．當m＝時，m2﹣4m+1＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面積最大時點P的坐標為（，﹣）．（1）存在這樣的點M和點N，使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形．

根據題意，點E（2，1），

∴EF=CF=2，

∴EC=2，

根據菱形的四條邊相等，

∴ME=EC=2，∴M（2，1-2）或（2，1+2）

當EM=EF=2時，M（2，1）∴點M的坐標為M1（2，1），M2（2，1﹣2），M1（2，1+2）．【點睛】本題考查了二次函數與方程、幾何知識的綜合應用，解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．21、（1）見解析；（1）見解析【分析】（1）利用關于原點對稱的點的坐標特征找出A1，B1，C1，然后描點即可；

（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出A、C的對應點A1、C1即可．【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（1）如圖，△A1B1C1為所作．【點睛】本題考查了作圖-根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．22、（1）如圖所示，即為所求，見解析，點的坐標為；（2）如圖所示，即為所求．見解析.【解析】分別作出三頂點關于原點的對稱點，再順次連接即可得；

分別作出點、繞點按順時針旋轉所得的對應點，再順次連接即可得．【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求，其中點的坐標為．（2）如圖所示，即為所求．【點睛】此題主要考查了圖形的旋轉變換，正確得出對應點位置是解題關鍵．23、；【分析】根據概率的計算法則得出概率，首先根據題意列出表格，然后求出概率．【詳解】（1）P（恰好是A，a）的概率是=（2）依題意列表如下：共有9種情形，每種發生可能性相等，其中恰好是兩對家庭成員有（AB，ab），（AC，ac），（BC，bc）3種，故恰好是兩對家庭成員的概率是P=考點：概率的計算．24、（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由正方形的性質得出BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，利用角邊角證明△BGC≌△DEC，然后可得出CG=CE；

（2）由線段的和差，正方形的性質求出正方形的邊長為3，根據勾股定理求出線段BD=6，過點G作GH⊥DB，根據勾股定理可得出HG=DH=2，進而求出BH=4，BG=2，在Rt△HBG中可求出cos∠DBG的值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，

又∵BF⊥DE，

∴∠GFD=90°，

又∵∠GBC+∠BGC+∠GCB=180°，

∠GFD+∠FDG+∠DGF=180°，

∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，

在△BGC和△DEC中，，∴△BGC≌△DEC（ASA），

∴CG=CE；

（2）過點G作GH⊥BD，設CE=x，∵CG=CE，∴CG=x，

又∵BE=BC+CE，DC=DG+GC，BC=DC，

BE=4，DG=2，

∴4?x＝2+x，解得：x=，∴BC=3，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：，又易得△DHG為等腰直角三角形，∴根據勾股定理可得HD=HG=2，

又∵BD=BH+HD，

∴BH=6-2=4，

在Rt△HBG中，由勾股定理得：，．【點睛】本題綜合考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，同角的余角相等，勾股定理，解直角三角形等知識