2024屆廣西桂林中山中學高一數學第二學期期末學業質量監測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．點到直線的距離是（）A． B． C．3 D．2．已知a、b、c分別是△ABC的內角A、B、C的對邊，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形3．已知變量與負相關，且由觀測數據算得樣本平均數，則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是A． B．C． D．4．已知，則角的終邊所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知數列1，，，9是等差數列，數列1，，，，9是等比數列，則（）A． B． C． D．6．關于的不等式的解集為（）A． B． C． D．7．設，則（）A．3 B．2 C．1 D．08．甲、乙兩名運動員分別進行了5次射擊訓練，成績如下：甲：7，7，8，8，1；乙：8，9，9，9，1．若甲、乙兩名運動員的平均成績分別用表示，方差分別用表示，則A． B．C． D．9．已知，，下列不等式成立的是（）A． B．C． D．10．已知函數和在區間I上都是減函數，那么區間I可以是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知角滿足且，則角是第________象限的角．12．設函數，則________.13．已知正三棱錐的底面邊長為6，所在直線與底面所成角為60°，則該三棱錐的側面積為_______．14．已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐的側面積為_____．15．設等差數列的前項和為，若，，則的最小值為______．16．若，則=_________________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，A,B,C所對的邊分別為，滿足．(I)求角A的大小；(Ⅱ)若，D為BC的中點，且的值．18．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為12，過F1的直線l（1）求橢圓C的方程；（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點，且OA⊥OB，試問點O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結論．19．已知函數.（1）求的最小正周期和單調遞增區間；（2）若方程在有兩個不同的實根，求的取值范圍．20．某校為了了解學生每天平均課外閱讀的時間（單位：分鐘)，從本校隨機抽取了100名學生進行調查，根據收集的數據，得到學生每天課外閱讀時間的頻率分布直方圖，如圖所示，若每天課外閱讀時間不超過30分鐘的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根據頻率分布直方圖，估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數及平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表).21．如圖，三角形中，，是邊長為l的正方形，平面底面，若分別是的中點.（1）求證：底面；（2）求幾何體的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據點到直線的距離求解即可.【題目詳解】點到直線的距離是.故選：D【題目點撥】本題主要考查了點到線的距離公式,屬于基礎題.2、A【解題分析】

將原式進行變形，再利用內角和定理轉化，最后可得角B的范圍，可得三角形形狀.【題目詳解】因為在三角形中，變形為由內角和定理可得化簡可得：所以所以三角形為鈍角三角形故選A【題目點撥】本題考查了解三角形，主要是公式的變形是解題的關鍵，屬于較為基礎題.3、D【解題分析】

由于變量與負相關，得回歸直線的斜率為負數，再由回歸直線經過樣本點的中心，得到可能的回歸直線方程.【題目詳解】由于變量與負相關，排除A,B，把代入直線得：成立，所以在直線上，故選D.【題目點撥】本題考查回歸直線斜率的正負、回歸直線過樣本點中心，考查基本數據處理能力.4、D【解題分析】由可知：則的終邊所在的象限為第四象限故選5、B【解題分析】

根據等差數列和等比數列性質可分別求得，，代入即可得到結果.【題目詳解】由成等差數列得：由成等比數列得：，又與同號本題正確選項：【題目點撥】本題考查等差數列、等比數列性質的應用，易錯點是忽略等比數列奇數項符號相同的特點，從而造成增根.6、B【解題分析】

將不等式化為，等價于，解出即可．【題目詳解】由原式得且，解集為，故選B．【題目點撥】本題考查分式不等式的解法，解分式不等式時，要求右邊化為零，等價轉化如下：；；；.7、B【解題分析】

先求內層函數，將所求值代入分段函數再次求解即可【題目詳解】，則故選：B【題目點撥】本題考查分段函數具體函數值的求法，屬于基礎題8、D【解題分析】

分別計算平均值和方差，比較得到答案.【題目詳解】由題意可得，，.故.故答案選D【題目點撥】本題考查了數據的平均值和方差的計算，意在考查學生的計算能力.9、A【解題分析】

由作差法可判斷出A、B選項中不等式的正誤；由對數換底公式以及對數函數的單調性可判斷出C選項中不等式的正誤；利用指數函數的單調性可判斷出D選項中不等式的正誤.【題目詳解】對于A選項中的不等式，，，，，，，，A選項正確；對于B選項中的不等式，，，，，，，B選項錯誤；對于C選項中的不等式，，，，，，，即，C選項錯誤；對于D選項中的不等式，，函數是遞減函數，又，所以，D選項錯誤.故選A.【題目點撥】本題考查不等式正誤的判斷，常見的比較大小的方法有：（1）比較法；（2）中間值法；（3）函數單調性法；（4）不等式的性質.在比較大小時，可以結合不等式的結構選擇合適的方法來比較，考查推理能力，屬于中等題.10、B【解題分析】

分別根據和的單調減區間即可得出答案．【題目詳解】因為和的單調減區間分別是和，所以選擇B【題目點撥】本題考查三角函數的單調性，意在考查學生對三角函數圖像與性質掌握情況.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、三【解題分析】

根據三角函數在各個象限的符號，確定所在象限.【題目詳解】由于，所以為第三、第四象限角；由于，所以為第二、第三象限角.故為第三象限角.故答案為：三【題目點撥】本小題主要考查三角函數在各個象限的符號，屬于基礎題.12、【解題分析】

利用反三角函數的定義，解方程即可．【題目詳解】因為函數，由反三角函數的定義，解方程，得，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查了反三角函數的定義，屬于基礎題．13、【解題分析】

畫出圖形，過P做底面的垂線，垂足O落在底面正三角形中心，即，因為，即可求出,所以．【題目詳解】作于，因為為正三棱錐，所以，為中點，連結，則，過作⊥平面，則點為正三角形的中心，點在上，所以，，正三角形的邊長為6，則,，，斜高，三棱錐的側面積為：【題目點撥】此題考查正三棱錐，即底面為正三角形，側面為等腰三角形的三棱錐，正四面體為四個面都是正三角形，畫出圖像，屬于簡單的立體幾何題目．14、【解題分析】

由已知求得母線長，代入圓錐側面積公式求解．【題目詳解】由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線長l=,∴圓錐的側面積S=πrl=2π．故答案為：2π．【題目點撥】本題考查圓錐側面積的求法,側面積公式S=πrl.15、【解題分析】

用基本量法求出數列的通項公式，由通項公式可得取最小值時的值，從而得的最小值．【題目詳解】設數列公差為，則由已知得，解得，∴，，，又，、∴的最小值為．故答案為：．．【題目點撥】本題考查等差數列的前項和的最值．首項為負且遞增的等差數列，滿足的最大的使得最小，首項為正且遞減的等差數列，滿足的最大的使得最大，當然也可把表示為的二次函數，由二次函數知識求得最值．16、【解題分析】分析：由二倍角公式求得，再由誘導公式得結論．詳解：由已知，∴．故答案為．點睛：三角函數恒等變形中，公式很多，如誘導公式、同角關系，兩角和與差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先選用哪個公式后選用哪個公式在解題中尤其重要，但其中最重要的是“角”的變換，要分析出已知角與未知角之間的關系，通過這個關系都能選用恰當的公式．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I);(II).【解題分析】

(I)得，求出.(Ⅱ)由題意可知，化簡得，再結合余弦定理求出，再利用正弦定理求出的值．【題目詳解】(I)，所以，所以因為，所以，所以(Ⅱ)由題意可知：所以所以又因為，所以，因為，所以由正弦定理可得，所以【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.18、（1）x2【解題分析】

(1)根據三角形周長為1，結合橢圓的定義可知，4a=8，利用e=ca=1-b2a2=12，即可求得a和b的值,求得橢圓方程；(2)分類討論，當直線斜率斜存在時,聯立y=kx+b【題目詳解】（1）由題意知，4a=1，則a=2，由橢圓離心率e=ca=∴橢圓C的方程x2（2）由題意，當直線AB的斜率不存在，此時可設A（x3，x3），B（x3，-x3）．又A，B兩點在橢圓C上，∴x0∴點O到直線AB的距離d=12當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+b．設A（x1，y1），B（x2，y2）聯立方程y=kx+bx24+y23由已知△＞3，x1+x2=-8kb3+4k2，x1x由OA⊥OB，則x1x2+y1y2=3，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=3，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=3，∴(k∴7b2=12（k2+1），滿足△＞3．∴點O到直線AB的距離d=b綜上可知：點O到直線AB的距離d=221【題目點撥】本題主要考查橢圓的定義及橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及點到直線的距離公式，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.19、（1）最小正周期，；（2）.【解題分析】

（1）利用兩角差的余弦公式、倍角公式、輔助角公式得，求得周期；（2）利用換元法令，將問題轉化成方程在有兩個不同的實根，再利用圖象得的取值范圍.【題目詳解】（1），所以的最小正周期，由得：，所以的單調遞增區間是.（2）令，因為，所以，即方程在有兩個不同的實根，由函數的圖象可知，當時滿足題意，所以的取值范圍為.【題目點撥】第（1）問考查三角恒等變換的綜合運用；第二問考查換元法求參數的取值范圍，注意在換元的過程中參數不能出錯，否則轉化后的問題與原問題就不等價.20、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位數估計值為32，平均數估計值為32.5.【解題分析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質列出方程組，能求出，；（Ⅱ）由頻率分布直方圖，能估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數及平均值．【題目詳解】（Ⅰ)由題意得，解得（Ⅱ)設該校學生每天課外閱讀時間的中位數估計值為，則解得：.該校學生每天課外閱讀時間的平均數估計值為：.答：該校學生每天課外閱讀時間的中位數估計值為32，平均數估計值為32.5.【題目點撥】本題考查頻率、中位數、平均數的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．21、(1)證明見解析；(2).【解題分析】試題分析：（1）通過面面平行證明線面平行，所以取的中點，的中點，連接.只需通過證明HG//BC，HF//AB來證明面GHF//面ABC,從而證明底面．（2）原圖形可以看作是以點C為頂點，ABDE為底的四棱錐，所四棱錐的體積公式可求得體積．試題解析：（1）取的中點，的中點，連接.（如圖）∵分別是和的中點，∴，且，，且.又∵為正方形，∴，.∴且.∴為平行四