(時間:120分鐘,總分值:150分)

第一卷一、選擇題(本大題共12小題,每題5分,在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的)1.一扇形的半徑為r,周長為3r,那么該扇形的圓心角等于()A. B.1 C. D.3【答案】B2.在梯形ABCD中,AB∥CD,且|AB||DC|,設ab,那么等于()A.a+b B.abC.a+b D.ab【答案】C【解析】bba.應選C.3.a、b均為單位向量,它們的夾角為60,那么|a+3b|等于()A. B. C. D.4【答案】C【解析】∵|a+3b||a|ab+9|b|cos60°+9=13,∴|a+3b|.4.假設cos(-100°)=k,那么tan80°等于()A. B.C. D.【答案】B【解析】∵cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=k,∴cos80°=-k.∴sin80°.∴tan80°.5.電流強度I(安)隨時間t(秒)變化的函數I=Asin(A>0的圖象如下圖,那么當時,電流強度是…()A.-5安 B.5安C.安 D.10安【答案】B【解析】由圖象知.那么.∴I=10sin(100當時,I=10sin(2.6.如圖,在四邊形ABCD中,設=a,=b,=c,那么等于()A.a-b+cB.b-(a+c)C.a+b+cD.b-a+c【答案】A7.假設O為△ABC所在平面內一點,且滿足(－)·(+－2)=0那么△ABC的形狀是〔〕A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三形【答案】B【解析】設△ABC中BC邊上的中點為D,∵－=,+－2=－+－=+=2,又∵·2=0,∴⊥.那么△ABC為等腰三角形.8.函數f(x)=sinx-cosR,那么把導函數f′(x)的圖象向左平移個單位后得到的函數是()A.cosx B.cosxC.sinx D.sinx【答案】A9.向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|假設(a+bc=那么a與c的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】由題意知a+b=(-1,-2),設a+b與c的夾角為∴(a+bc|a+b||c|cos.∴cos.∴°.又a+b=(-1,-2)與a=(1,2)共線且方向相反.∴a與c的夾角為120°.10.向量a=(cossinb=(1,2sin),假設ab那么tan的值為()A. B.C. D.【答案】C【解析】由ab得cossinsin又cossin即1-2sinsinsin有sin.假設那么sin所以),那么tan.所以tan選C.11.以下各式:①|a|;②(abc=abc);③;④在任意四邊形ABCD中,M為AD的中點,N為BC的中點,那么;⑤a=(cossinb=(cossin且a與b不共線,那么(a+b)a-b).其中正確的個數有()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】|a|=正確;(abcabc);正確;如下圖,且兩式相加可得即命題④正確;∵a,b不共線,且|a|=|b|=1,∴a+b,a-b為菱形的兩條對角線,即得(a+b(a-b).∴命題①③④⑤正確.12.設ab.定義一種向量積:ab.mn點P(x,y)在y=sinx的圖象上運動,點Q在y=f(x)的圖象上運動,滿足mn(其中O為坐標原點),那么y=f(x)的最大值A及最小正周期T分別為()A. B. C. D.【答案】C【解析】設∵mn,∴∴∴代入y=sinx中,得sin∴y=f(x)的最大值為周期為4,選C.第二卷二、填空題(本大題共4小題,每題5分)13.函數y=tan的單調區間是.【答案】Z)【解析】y=-tan由kZ),得Z).14.化簡(tan10°.【答案】-2【解析】原式.15.向量a、b滿足(a-ba+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,那么a與b夾角的余弦值等于.【答案】【解析】設a與b的夾角為.由(a-ba+b)=-4,得2|a|ab-|b|2|a||a||b|cos|b|.又∵|a|=2,|b|=4,∴cos.16.(2021山東濟南質檢)在△ABC中°,如果不等式||||恒成立,那么實數t的取值范圍是.【答案】【解析】由°可知°,那么由題意知||||||即解得或.三、解答題(本大題共6小題,共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題總分值12分)△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)假設m∥n,求證:△ABC為等腰三角形;(2)假設,邊長c=2,角求△ABC的面積.【解】(1)證明:∵m∥n,∴asinA=bsinB,即其中R是△ABC外接圓半徑,∴a=b.∴△ABC為等腰三角形.(2)由題意可知=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.∴a+b=ab.由余弦定理可知即∴ab=4(舍去ab=-1).∴△ABC的面積sinsin.18.(本小題總分值12分)向量acosx,cosx),b=(0,sinx),c=(sinx,cosx),d=(sinx,sinx).(1)當時,求向量a、b的夾角;(2)當時,求的最大值.【解】(1)∵∴ab那么abcos<a,b>.∴向量a,b的夾角為.(2)=(sinx,cossinx,sinx)=sinsinxcosxsin2x-cos2x)sin.∵∴.當即時,取最大值.19.(本小題總分值12分)A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且||.(1)求D點的坐標;(2)用表示.【解】(1)設D(x,y),那么.∴5,①||.②聯立①②,解得或∴D點的坐標為(-2,3)或(2,1).(2)當D點的坐標為(-2,3)時設那么(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3).∴∴∴.當D點的坐標為(2,1)時,設那么(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),∴∴∴.∴當D點的坐標為(-2,3)時;當D點的坐標為(2,1)時.20.(本小題總分值12分)函數f(x)=2cosxsinsinsinxcosx.(1)求函數f(x)的最小正周期;(2)求函數f(x)的最大值及最小值;(3)寫出f(x)的單調遞增區間.【解】f(x)=2cossincoscos2x)+sin2xsincoscossin2x=sincos2x=2sin.(1)函數f(x)的最小正周期.(2)當sin即Z),x=kZ)時,f(x)有最大值2;當sin即Z),x=k-Z)時,f(x)有最小值-2.(3)由2kZ),解得kZ.∴f(x)的單調遞增區間是[kZ.21.(本小題總分值12分)O為坐標原點,向量sincossin點P滿足.(1)記函數討論函數的單調性,并求其值域;(2)假設O,P,C三點共線,求||的值.【解】cossin設那么cos.由得x=2cossin故cossin.sincossinsincossinsinsincossincossin又故.當即時單調遞減;當即時單調遞增.故函數的單調遞增區間為單調遞減區間為因為sin故函數的值域為.cossinsin由O,P,C三點