23.2解直角三角形及其應用第23章解直角三角形23.2.1解直角三角形逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2解直角三角形的定義直角三角形中的邊角關系知識點解直角三角形的定義知1－講1解直角三角形在直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角.在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.知1－講注意：(1)在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一個元素是邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).(2)一個直角三角形可解，則其面積可求，但在解直角三角形的題中，如無特別說明，則不包括求面積.知1－講深度理解1.已知兩個角不能解直角三角形，因為只有角的條件，三角形邊的大小不唯一，即有無數個三角形符合條件.2.已知一角一邊時，角必須為銳角，若為已知直角，則不能求解.知1－練例1根據下列所給的條件解直角三角形，不能求解的是()①已知一直角邊及其對角；②已知兩銳角；③已知兩直角邊；④已知斜邊和一銳角；⑤已知一直角邊和斜邊.A.②③ B.②④ C.只有② D.②④⑤知1－練解題秘方：緊扣解直角三角形中“知二求三”的特征進行解答.答案：C解：①能夠求解；②不能求解；③能夠求解；④能夠求解；⑤能夠求解.知2－講知識點直角三角形中的邊角關系21.

直角三角形中的邊角關系在Rt△ABC中，∠C為直角，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，那么除直角外的五個元素之間有如下關系：(1)三邊之間的關系：a2＋b2＝c2(勾股定理).(2)銳角之間的關系：∠A

＋∠B＝90°.知2－講

知2－講活學巧記口訣記憶法：有斜求對乘正弦，有斜求鄰乘余弦，無斜求對乘正切.“有斜求對乘正弦”的意思是：在一個直角三角形中，對一個銳角而言，如果已知斜邊長，要求該銳角的對邊長，那么就用斜邊長乘該銳角的正弦，其他口訣的意思可類推.知2－講

知2－練

例2解題秘方：緊扣“直角三角形的邊角關系”選擇合適的表達式求解.知2－練

知2－練

知2－練特別提醒解直角三角形的一般方法：在解直角三角形時，要求出所有未知元素，首先要分析出直角三角形中的已知元素，根據已知元素利用適當的邊角關系進行求解，求邊的長度時，一般要選擇題目中的原始數據，盡量避免用中間所得的結果參與計算.知2－練根據下列條件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.解題秘方：求邊時，一般用未知邊比已知邊(或已知邊比未知邊)，去找已知角的某一個三角函數.例3知2－練(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；

知2－練(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.

知2－練解法提醒解直角三角形選擇表達式常遵循的原則：當已知或求解中有斜邊時，優先考慮用正弦或余弦，無斜邊時，就用正切；當所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解時，優先考慮用乘法.在解題過程中，既可以用原始數據又可以用解題過程中得到的數據時，優先考慮用原始數據.解直角三角形解直角三角形依據定義條件三邊之間的關系銳角之間的關系邊角之間的關系23.2解直角三角形及其應用第23章解直角三角形23.2.2解直角三角形的應用逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2解直角三角形在解實際問題中的應用解直角三角形在解仰角和俯角問題中的應用解直角三角形在解方向角問題中的應用解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應用知識點解直角三角形在解實際問題中的應用知1－講11.

利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟(1)畫出平面圖形，將實際問題抽象為數學問題，轉化為解直角三角形的問題；(2)根據已知條件的特點，靈活選用銳角三角函數等知識解直角三角形；(3)得到數學問題的答案；(4)得到實際問題的答案.知1－講2.

解決實際問題時，常見的基本圖形及相應的表達式圖形表達式圖形表達式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα－tanβ)知1－講續表圖形表達式圖形表達式AB＝DE＝AE·tanβ

，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)知1－講續表圖形表達式圖形表達式知1－講特別提醒1.當實際問題中涉及的圖形可以直接轉化為直角三角形時，可利用解直角三角形的知識直接求解.2.若相關的角不是直角三角形的內角，應利用平行線的性質或互余、互補的角的性質將其轉化為直角三角形的內角，再利用解直角三角形的知識求解.3.問題中有兩個或兩個以上的直角三角形，當用其中一個直角三角形不能求解時，可考慮分別由兩個直角三角形找出含有相同未知元素的表達式，運用方程求解.知1－練例1[三模·溫州]為了解決樓房之間的采光問題，某市有關部門規定：兩幢樓之間的最小距離要使中午12時不能遮光．如圖23.2-5，舊樓的一樓窗臺高1米，現計劃在舊樓正南方向a米處再建一幢新樓．知1－練

知1－練解題秘方：此題考查了解直角三角形的應用．注意能根據題意構造直角三角形，并能借助解直角三角形的知識求解是解此題的關鍵．知1－練解：如圖23.2-6，過點D作DE⊥AB，垂足為E.在Rt△ADE中，∠ADE＝θ，DE＝BC＝a米，則AE＝DE·tanθ＝atanθ

米，而EB＝DC＝1米，∴AB＝AE＋EB＝(atanθ＋1)

米.答：新樓最高可建(atanθ＋1)米.答案：B知1－練解法提醒解本題的關鍵是將實際中的相關數據，通過建立數學模型，歸結到直角三角形中，再用銳角三角函數(正切函數)求解.知1－練

例2知1－練解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用化斜為直法解含公共直角邊的直角三角形.知1－練

知1－練

知1－練教你一招解直角三角形的實際應用問題的求解方法：1.根據題目中的已知條件，將實際問題抽象為與解直角三角形相關的數學問題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關系.2.若條件中有直角三角形，則直接選擇合適的三角函數關系求解即可；若條件中沒有直角三角形，一般需添加輔助線構造直角三角形，再選用合適的三角函數關系求解.知2－講知識點解直角三角形在解仰角和俯角問題中的應用21.

仰角和俯角的定義在進行高度測量時，由視線與水平線所夾的角中，當視線在水平線上方時叫做仰角；當視線在水平線下方時叫做俯角.知2－講2.

示圖如圖23.2-8所示.知2－講特別提醒1.仰角和俯角是視線的位置相對于水平線而言的，可巧記為“上仰下俯”.2.實際問題中遇到仰角或俯角時，要放在直角三角形中或轉化到直角三角形中，注意確定水平線.知2－練如圖23.2-9，在數學活動課中，小敏為了測量校園內旗桿CD的高度，先在教學樓的底端A處，觀測到旗桿頂端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教學樓上的B處，觀測到旗桿底端D的俯角是30°，已知教學樓AB高4m.解題秘方：將實際問題轉化為解直角三角形問題求解.例3知2－練(1)求教學樓與旗桿的水平距離AD(結果保留根號)；

知2－練

知2－練(2)求旗桿CD的高度.

知2－練

知2－練方法點撥：求解有關仰角與俯角的問題，關鍵是根據仰角、俯角的定義畫出水平線，找準視角，建立數學模型后構造直角三角形，并結合圖形利用銳角三角函數解直角三角形.知3－講知識點解直角三角形在解方向角問題中的應用31.

方向角的定義一般地，指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的角叫做方向角.特別警示：方向角和方位角不同，方位角是指從某點的指北方向線起，按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角，變化范圍為0°~360°，而方向角的變化范圍是0°~90°.知3－講2.示圖如圖23.2-10，目標方向線OA，OB，OC的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°.南偏東45°習慣上又叫做東南方向，北偏東45°習慣上又叫做東北方向，北偏西45°習慣上又叫做西北方向，南偏西45°習慣上又叫做西南方向.知3－講特別提醒1.因為方向角是指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的角，所以方向角通常都寫成“北偏……”“南偏……”的形式.2.解決實際問題時，可利用正南、正北、正西、正東方向線構造直角三角形來求解.3.觀測點不同，所得的方向角也不同，但各個觀測點的南北方向線是互相平行的，通常借助此性質進行角度轉換.知3－練

例4知3－練解題秘方：建立數學模型后，用化斜為直法，將斜三角形問題轉化為直角三角形問題求解.知3－練解：如圖23.2-11，過點C作CE⊥AB于點E，可得∠ACE＝30°，∠BCE＝45°.(1)分別求出A與C及B與C的距離AC，BC(結果保留根號)；知3－練

知3－練

知3－練

知3－練解法提醒求解是否觸礁問題的方法：一般都是求出暗礁中心到航線的距離，將這個距離與暗礁半徑比較大小，距離小于或等于半徑則有觸礁的危險，距離大于半徑則沒有觸礁的危險.知3－練圖解通過CE將原三角形分成兩個直角三角形，如圖23.2-12所示.知4－講知識點解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應用41.

坡角與坡度(坡比)的定義(1)坡角：坡面與水平面的夾角，如圖23.2-13中的α.知4－講(2)坡度(坡比)：我們通常把坡面的鉛直高度h和水平長度l的比叫做坡度(坡比)(如圖23.2-13所示)，坡度(坡比)也可寫成i＝h∶l的形式，在實際應用中常表示成1∶x的形式.知4－講

知4－講特別提醒1.坡度是兩條線段的比值，不是度數.2.表示坡度時，通常把比的前項取作1，后項可以是小數.3.坡面的傾斜程度通常可用坡度表示.坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越緩.知4－練

例5解題秘方：將分散的條件集中到△ABP中求解.知4－練30(1)山坡坡角的度數等于