（初升高）高一數(shù)學(xué)銜接班第8講——與平面幾何有關(guān)的定理與性質(zhì)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解三角形中的相關(guān)定理：如平行線分線段成比例定理、三角形內(nèi)角與外角平分線性質(zhì)定理、直角三角形射影定理，并能用它們處理一些簡單的數(shù)學(xué)問題2、了解與圓有關(guān)的定理，如垂徑定理、相交弦定理、切割線定理，同時掌握直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判定方法二、學(xué)習(xí)重點：熟悉與三角形及圓有關(guān)的常用定理，為進一步學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備三、新課講解：知識點一：與比例線段有關(guān)的定理平行線分線段成比例定理在解決幾何問題時，我們常涉及到一些線段的長度、長度比的問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長度比。在一張方格紙上，我們作平行線（如圖），直線交于點，，另作直線交于點，不難發(fā)現(xiàn)。我們將這個結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。例1、如圖，，且求的長度。思路導(dǎo)航：利用平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)可求解：。點津：平行線分線段成比例定理往往要與比例的性質(zhì)相結(jié)合例2、如圖，在中，若DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距離之比為1：2，若的面積為32，的面積為2，則的面積S等于__________思路導(dǎo)航：由DE∥AB∥FG知，這三個三角形相似，要求的面積S只需求出它們的相似比解：DE∥AB∥FG∽∽＝又FG到DE、AB的距離之比為1：2，的面積S等于8點津：相似三角形面積比等于對應(yīng)邊之比的平方知識點二：三角形內(nèi)角與外角平分線性質(zhì)定理1、三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理——三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例。例3、如圖，在△ABC中，為∠BAC的平分線，點D在線段BC上，求證：。思路導(dǎo)航：考慮作AD的平行線，從而運用平行線分線段成比例定理證明：過C作CE∥AD，交BA延長線于E，。又AD平分由知。點津：利用平行線分線段成比例定理，可以將一條直線上的比例線段“移”到另一條直線上，這是解決有關(guān)比例線段問題的常用方法2、三角形外角平分線性質(zhì)定理——三角形的外角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例知識點三：直角三角形射影定理例4、如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC為直角，AD⊥BC于D。求證：（1），；（2）證明：（1）在Rt△BAC與Rt△BDA中，，∽△BDA，。同理可證得。（2）在Rt△ABD與Rt△CAD中，，∽Rt△CAD，。我們把這個例題的結(jié)論稱為射影定理，該定理對直角三角形的運算很有用。例5、在△ABC中，，求證：。證明：，為直角三角形，又，由射影定理，知。同理可得。。知識點四：與圓有關(guān)的定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理的實質(zhì)可以理解為：一條直線，如果它具有兩個性質(zhì)：（1）經(jīng)過圓心；（2）垂直于弦，那么這條直線就一定具有另外三個性質(zhì)：（1）平分弦，（2）平分弦所對的劣弧，（3）平分弦所對的優(yōu)弧（如圖所示）。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。如圖，若AB∥CD，則注意：在圓中，解有關(guān)弦的問題時，常常需要作“垂直于弦的‘直徑’”作為輔助線。（如下圖）例6、已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，⊙O的半徑等于6cm，O點到BC的距離為2cm，求AB的長。思路導(dǎo)航：因為不知道△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形（由已知分析，△ABC不會是直角三角形，因為若是直角三角形，則BC為斜邊，圓心O在BC上，這與O點到BC的距離為2cm矛盾），因此圓心有可能在三角形內(nèi)部，也有可能在三角形外部，所以需分兩種情況進行討論：（1）假若△ABC是銳角三角形，如圖甲，由AB＝AC，可知，，甲∴點A是弧BAC的中點，連結(jié)AO并延長且交BC于D，由垂徑定理推論可得AD⊥BC，且BD＝CD，這樣OD＝2cm，再連結(jié)OB，由在Rt△OBD中，OB＝6cm，可求出BD的長，則AD長可求出，則在Rt△ABD中可求出AB的長。（2）若△ABC是鈍角三角形，如圖乙，連結(jié)AO交BC于D，乙先證OD⊥BC，OD平分BC，再連結(jié)OB，由OB＝6cm，OD＝2cm，求出BD的長，然后求出AD的長，從而在Rt△ADB中求出AB的長。略解：（1）連結(jié)AO并延長交BC于D，連結(jié)OB，∵AB＝AC，∴，∴AD⊥BC且BD＝CD，∴OD＝2cm，OB＝6cm，在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD＝＝＝4（cm），在Rt△ADB中，AD＝OA＋OD＝8（cm），由勾股定理可得：AB＝＝＝4（cm）（2）同（1），添加輔助線求出BD＝4（cm），在Rt△ADB中，AD＝AO－OD＝6－2＝4（cm），由勾股定理可得：AB＝（cm），∴AB＝4cm或4cm。點津：凡是與三角形外接圓有關(guān)的問題，一定要先判斷三角形的形狀，確定圓心與三角形的位置關(guān)系，防止丟解或多解。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，每條弦上被交點分成的兩條線段長的積相等。（切）割線定理：P是圓外任意一點，過P點任作圓的兩割線PAB，PCD反切線PT，則例7、兩圓交于A、B，AC、AD切兩圓于A，交兩圓于C、D，連CB，延長交AD于E，交圓于F，若BC＝9，AE＝6，DE＝2，求AC的長。思路導(dǎo)航：對圖形分析可得AC∥DF，從而轉(zhuǎn)化為對應(yīng)線段成比例，需要連接AB、DF，解：連接AB，DF∵∴∠1＝∠F∵AD與⊙O相切∴∠1＝∠C∴∠C＝∠F∴AC∥DF∴，設(shè)BE＝，EF＝，則①由相交弦定理得②由①、②解得：，由切割線定理得：∴AC＝12點津：若從圓中求線段長，要有意識地尋找線段之間的數(shù)量關(guān)系，注意應(yīng)用相交弦定理及切割線定理知識點五：直線與圓的位置關(guān)系思考：設(shè)有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？（1） （2） （3）（1）當(dāng)圓心到直線的距離時，直線和圓相離（2）當(dāng)圓心到直線的距離時，直線和圓相切（3）當(dāng)圓心到直線的距離時，直線和圓相交常用結(jié)論：①在直線與圓相交時，設(shè)兩個交點分別為A、B。若直線經(jīng)過圓心，則AB為直徑；若直線不經(jīng)過圓心，連結(jié)圓心和弦的中點的線段垂直于這條弦。且在Rt△OMA中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長的一半，根據(jù)勾股定理，有。②當(dāng)直線與圓相切時，為圓的切線，可得，，且在Rt△POA中，。③為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得△PAT∽△PTB，因而。例8、如圖，已知⊙O的半徑OB＝5cm，弦AB＝6cm，D是的中點，求弦BD的長度。思路導(dǎo)航：涉及到圓內(nèi)的弦時，應(yīng)注意構(gòu)造直角三角形解：連結(jié)OD，交AB于點E。，是圓心，。在Rt△BOE中，OB＝5cm，BE＝3cm，。。在Rt△BDE中，BE＝3cm，DE＝1cm，。點津：在圓當(dāng)中求弦長，常常借助勾股定理、相似三角形等相關(guān)內(nèi)容，解題時應(yīng)注意運用有關(guān)結(jié)論。知識點六：圓和圓的位置關(guān)系設(shè)圓與圓的半徑分別為，它們可能有哪幾種位置關(guān)系？（1）當(dāng)時，兩圓內(nèi)切（2）當(dāng)時，兩圓外切（3）當(dāng)時，兩圓內(nèi)含（4）當(dāng)時，兩圓相交（5）當(dāng)時，兩圓外離例9、設(shè)圓與圓的半徑分別為3和2，，為兩圓的交點，試求兩圓的公共弦的長。思路導(dǎo)航：按照求弦長問題的一般思路進行。解：連接交于，則，且為的中點，設(shè)，則，解得。故公共弦的長為。點津：本質(zhì)上還是解直角三角形的問題四、目標(biāo)期望：在高中的向量、解析幾何與立體幾何的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會用到三角形和圓中的平面幾何的上述定理，所以我們對這些知識進行了歸納與整理，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們能夠了解定理內(nèi)容，并學(xué)會簡單應(yīng)用，更好地把握這節(jié)課的授課意圖，但無需一步到位。【同步練習(xí)】（答題時間：45分鐘）一、選擇題1、如圖，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正確的是（）A.EQ\F(AD,BD)＝EQ\F(BF,CF) B.EQ\F(AE,DE)＝EQ\F(CE,BC) C.EQ\F(AE,CE)＝EQ\F(BD,CD) D.EQ\F(AD,DE)＝EQ\F(AB,BC)2、如果D、E分別在ΔABC的兩邊AB、AC上，由下列哪一組條件可以推出DE∥BC（）A.EQ\F(AD,BD)＝EQ\F(2,3)，EQ\F(CE,AE)＝EQ\F(2,3) B.EQ\F(AD,AB)＝EQ\F(2,3)，EQ\F(DE,BC)＝EQ\F(2,3)C.EQ\F(AB,AD)＝EQ\F(3,2)，EQ\F(EC,AE)＝EQ\F(1,2) D.EQ\F(AB,AD)＝EQ\F(3,4)，EQ\F(AE,EC)＝EQ\F(4,3)3、半徑為4cm，120°的圓心角所對的弦長為（）A.5cm B.cm C.6cm D.cm；4、在⊙O中，弦AB所對的劣弧為圓的，有以下結(jié)論：（1）為60°；（2）∠AOB＝60°；（3）＝∠AOB＝60°；（4）△AOB是等邊三角形；（5）弦AB的長等于這個圓的半徑。其中正確的結(jié)論是（）A.⑴⑵⑶⑷⑸ B.⑴⑵⑷⑸ C.⑴⑵ D.⑵⑷⑸5、在⊙O中，圓心角∠AOB＝90°，點O到弦AB的距離為4，則⊙O的直徑的長為（）A. B. C.24 D.16二、填空題1、判斷正誤：1）直徑是圓的對稱軸。（）2）三點確定一個圓（）3）平分弦的直徑垂直弦（）4）在同圓中，等弦對等弧（）5）圓心角相等，它們所對的弧相等（）6）在同圓中，等弧對等弦（）7）線段AB是⊙O的直徑，點C在直線AB上，如果AC＜AB，則點C一定在⊙O的內(nèi)部（）8）正方形ABCD，根據(jù)不在同一直線上的三個點可以確定一個圓，它可以確定四個圓。（）9）在⊙O中，，那么它們所對弦的關(guān)系是AB＝2CD。（）10）⊙O的半徑為5cm，點P到圓O的最小距離與最大距離之比為2：3，則OP長為1cm。（）2、在半徑為R的圓中，垂直平分半徑的弦長等于；3、已知⊙O的半徑為5cm，的度數(shù)為120°，則弦AB的長是；4、已知⊙O的半徑為R，弦AB的長也為R，則∠AOB＝，弦心距是；5、已知：⊙O的半徑為2cm，弦AB所對的劣弧為圓的，則弦AB的長為cm，AB的弦心距為cm。三、解答題1、如圖，大⊙O的半徑為6cm，弦AB＝6cm，OC⊥AB于C，以O(shè)為圓心、OC長為半徑作圓，交OA、OB于點D、E。（1）求小⊙O的半徑OC的長（2）求證：AB∥DE2、已知在△ABC中，在上，，能否在上找到一點，使得線段的中點在上。

【試題答案】一、選擇題1、D2、B3、B4、D5、B二、填空題1、1.×（直徑所在的直線是圓的對稱軸）2）×（不在同一直線上的三個點確定一個圓）3）×（平分弦（不是直徑）的直徑垂直弦）4）×（在同圓中，等弦所對的優(yōu)（劣）弧相等，因為一條弦對兩條弧）5）×6）√7）×8）×9）×10）×（OP