上海市浦東新區(qū)市級名校2024屆數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在平面直角坐標系xOy中，點P（2，–1）到直線l：4x–3y+4=0的距離為（）A．3 B． C．1 D．32．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．恰有一個紅球與恰有二個紅球D．至少有一個紅球與至少有一個白球3．某學校高一、高二、高三教師人數(shù)分別為100、120、80，為了解他們在“學習強國”平臺上的學習情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取容量為45的樣本，則抽取高一教師的人數(shù)為（）A．12 B．15 C．18 D．304．直線與直線垂直，則的值為（）A．3 B． C．2 D．5．已知向量，且，則的值為（）A． B． C． D．6．下列不等式正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則公比q＝A．4 B．3 C．2 D．8．把一個已知圓錐截成個圓臺和一個小圓錐，已知圓臺的上、下底面半徑之比為，母線長為，則己知圓錐的母線長為（）.A． B． C． D．9．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，那么不等式的解集是（）A． B．C． D．10．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某班級有50名學生，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從這50名學生中抽出10名學生，將這50名學生隨機編號為1~5號，并按編號順序平均分成10組（1~5號，12．正項等比數(shù)列中，為數(shù)列的前n項和，，則的取值范圍是____________．13．在直角梯形.中，，分別為的中點，以為圓心，為半徑的圓交于，點在上運動（如圖）.若，其中，則的最大值是________.14．若，且，則的最小值為_______.15．已知三棱錐外接球的表面積為，面，則該三棱錐體積的最大值為____。16．設，且，則的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為；數(shù)列是等比數(shù)列，公比大于0，其前項和為．已知，，，．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前n項和為，若對任意的恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．18．已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)證明:.19．某校為了了解學生每天平均課外閱讀的時間（單位：分鐘)，從本校隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，得到學生每天課外閱讀時間的頻率分布直方圖，如圖所示，若每天課外閱讀時間不超過30分鐘的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數(shù)及平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表).20．已知.（1）若三點共線，求的關系；（2）若,求點的坐標.21．某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內(nèi)每個技工加工的合格零件數(shù)，按十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉得到的莖葉圖如圖所示．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為10.（1）求的值；（2）分別求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和，并由此分析兩組技工的加工水平；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由點到直線距離公式計算．【題目詳解】．故選：A．【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式，掌握距離公式是解題基礎．點到直線的距離為．2、C【解題分析】

從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，不同的取球情況共有以下幾種：3個球全是紅球；2個紅球和1個白球；1個紅球2個白球；3個全是白球.選項A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個紅球”的子事件；選項B中，事件“至少有一個紅球”與事件“都是白球”是對立事件；選項D中，事件“至少有一個紅球”與事件“至少有一個白球”的事件為“2個紅球1個白球”與“1個紅球2個白球”；選項C中，事件“恰有一個紅球”與事件“恰有2個紅球”互斥不對立，故選C.3、B【解題分析】

由分層抽樣方法即按比例抽樣，運算即可得解.【題目詳解】解：由分層抽樣方法可得抽取高一教師的人數(shù)為，故選：B.【題目點撥】本題考查了分層抽樣方法，屬基礎題.4、A【解題分析】

根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【題目詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A【題目點撥】本小題主要考查兩條直線垂直的條件，屬于基礎題.5、B【解題分析】

由向量平行可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】，解得：故選：【題目點撥】本題考查根據(jù)向量平行求解參數(shù)值的問題，關鍵是明確兩向量平行可得.6、B【解題分析】試題分析：A.若c<0，則不等號改變，若c=0，兩式相等，故A錯誤；B.若，則，故，故B正確；C.若b=0，則表達是不成立故C錯誤；D.c=0時錯誤.考點：不等式的性質(zhì).7、C【解題分析】

由，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合各項為正數(shù)求出，從而可得結(jié)果.【題目詳解】，，，，故選C.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列基本量運算，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力，屬于簡單題.8、B【解題分析】

設圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐的軸截面三角形的相似性，通過圓臺的上、下底面半徑之比為來求解.【題目詳解】設圓錐的母線長為，因為圓臺的上、下底面半徑之比為，所以，解得.故選：B【題目點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體軸截面中的比例關系，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式，然后分類討論求出不等式的解集.【題目詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以有，顯然是不等式的解集；當時，；當時，，綜上所述：不等式的解集是，故本題選B.【題目點撥】本題考查了利用奇函數(shù)性質(zhì)求解不等式解集問題，考查了分類思想，正確求出函數(shù)的解析式是解題的關鍵.10、C【解題分析】

根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【題目詳解】∵，∴，故選C.【題目點撥】考查并集的求法，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、33【解題分析】試題分析：因為是從50名學生中抽出10名學生，組距是5，∵第三組抽取的是13號，∴第七組抽取的為13+4×5=33．考點：系統(tǒng)抽樣12、【解題分析】

利用結(jié)合基本不等式求得的取值范圍【題目詳解】由題意知，，且，所以，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?故答案為：【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的前n項和及性質(zhì)，利用性質(zhì)結(jié)合基本不等式求最值是關鍵13、【解題分析】

建立直角坐標系，設，根據(jù)，表示出，結(jié)合三角函數(shù)相關知識即可求得最大值.【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系：，分別為的中點，，以為圓心，為半徑的圓交于，點在上運動，設，，即，，所以，兩式相加：，即，要取得最大值，即當時，故答案為：【題目點撥】此題考查平面向量線性運算，處理平面幾何相關問題，涉及三角換元，轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題.14、【解題分析】

將變換為，展開利用均值不等式得到答案.【題目詳解】若，且，則時等號成立.故答案為【題目點撥】本題考查了均值不等式，“1”的代換是解題的關鍵.15、【解題分析】

根據(jù)球的表面積計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據(jù)正弦定理求得的長，再根據(jù)圓內(nèi)三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【題目詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【題目點撥】本小題主要考查外接球有關計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.16、【解題分析】

通過可求得x的取值范圍，接著利用反正弦函數(shù)的定義可得的取值范圍.【題目詳解】，，即.由反正弦函數(shù)的定義可得，即的取值范圍為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，反正弦函數(shù)的定義，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）【解題分析】

(1)根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列,分別設公比與公差再用基本量法求解即可.(2)由(1)有再錯位相減求解,利用不等式恒成立的方法求解即可.【題目詳解】解：（1）設等比數(shù)列的公比為q,由,,可得．∵,可得．故；設等差數(shù)列的公差為d,由,得,由,得,∴．故；（2）根據(jù)題意知,①②①—②得∴,對任意的恒成立,∴【題目點撥】本題主要考查了等差等比數(shù)列的基本量求解方法以及錯位相減和不等式恒成立的問題.屬于中檔題.18、(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.【解題分析】

（1）由，得，即可得到本題答案；（2）由，得，即可得到本題答案；（3）當時，滿足題意；若n是偶數(shù)，由，可得；當n是奇數(shù),且時，由，可得，綜上，即可得到本題答案.【題目詳解】(1)因為，所以，因為，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列；(2)因為，所以，所以，又因為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；(3)①當時，；②若n是偶數(shù)，則，所以當n是偶數(shù)時，；③當n是奇數(shù)，且時，；綜上所述，當時，.【題目點撥】本題主要考查利用構(gòu)造法證明等比數(shù)列并求通項公式，以及數(shù)列與不等式的綜合問題.19、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位數(shù)估計值為32，平均數(shù)估計值為32.5.【解題分析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組，能求出，；（Ⅱ）由頻率分布直方圖，能估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數(shù)及平均值．【題目詳解】（Ⅰ)由題意得，解得（Ⅱ)設該校學生每天課外閱讀時間的中位數(shù)估計值為，則解得：.該校學生每天課外閱讀時間的平均數(shù)估計值為：.答：該校學生每天課外閱讀時間的中位數(shù)估計值為32，平均數(shù)估計值為32.5.【題目點撥】本題考查頻率、中位數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．20、（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解題分析】

（1）求出和的坐標，然后根據(jù)兩向量共線的等價條件可得所求關系式．（2）求出的坐標，根據(jù)得到關于的方程組，解方程組可得所求點的坐標．【題目詳解】由題意知，，．（1）∵三點共線，∴∥，∴，∴．(2)∵，∴，∴，解得，∴點的坐標為．【題目點撥】本題考查向量共線的應用，解題的關鍵是把共線表示為向量的坐標的形式，進而轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算的問題，屬于基礎題．21、（1）；（2）,乙組加工水平高．【解題分析】

（1）根據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是