貴州省遵義市赤水第九中學2021年高三數學理聯考試

卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.已知R是實數集,--工匕則9&叫()

A.(-1,2)B.[―1,2]C.(0,2)D.[0,2]

參考答案：

D

【考點】交、并、補集的混合運算.

【分析】先通過解不等式及函數的值域求出集合M,N,然后進行補集、交集的運算即可.

2

【解答】解：

2

：.x-1<0,

x-2

x>0,

x(x-2)>0.

解得x<0,或x>2,

.*.M=(-8,o)U(2,+8),

.,.?RM=[0,2],

Vy=x2-1^-1,

/.N=[-1,+8),

.,.?RMnN=[0,2],

故選：D.

、1/-x+2.xN3

/(x)=<

2.設函數〔2*.x<3,若/3)=4.則a的值等

于()

A.3B.2C.一1D.-2

參考答案:

B

略

3.若數列｛aj滿足：對任意的nGN”,只有有限個正整數m使得aVn成立，記這樣的m的

個數為(&)*,則得到一個新數列｛(a“)*｝.例如，若數列｛a.｝是1,2,3…，n,…,則

數列｛(a)"是0,1,2,…n-1,…已知對任意的neN*,a?=n2,則((a?).)

*=()

A.2nB.2n2C.nD.n2

參考答案:

D

【考點】數列的函數特性.

【專題】轉化思想；數學模型法；等差數列與等比數列.

2(a(a)

【分析】對任意的nGN",a?=n,可得(a1)*=0,(a2)=1=34*,

5)*=2…5)*,…，可得(㈤)*)■((a2)*)%,

(￡3)*)*=9,…，即可猜想出.

【解答】解：對任意的nWN*,a.,=n2,

則()=0,⑸)=1=⑸)=⑸)，

J)*=2…5)*,

⑸。)*=3=".=凡6)

.((4)*)*_1((沏)*)*-4(⑸)*)%...

??1—19c.—4,J—y,f

猜想((aj*)*=n2.

故選：D.

【點評】本題考查了遞推關系的應用、數列的通項公式，考查了猜想能力、計算能力，屬

于中檔題.

4.已知f(x)為定義在R上的奇函數，g(x)=f(x)—x,且當xG(—oo,0］時，g

(x)單調遞增，則不等式/-/(x+2)?—3的解集為

A.(3,+oo)

B.[3,+00)

C.(—00,3]

D.(—co,3)

參考答案：

B

5.已知一個棱長為2的正方體,被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則

該幾何體的體積是（）

參考答案：

D

略

6.在空間，下列命題正確的是（）

A.平行于同一平面的兩條直線平行

B.平行于同一直線的兩個平面平行

C.垂直于同一平面的兩個平面平行

D.垂直于同一平面的兩條直線平行

參考答案:

D

【考點】空間中直線與直線之間的位置關系.

【專題】空間位置關系與距離.

【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解.

【解答】解：平行于同一平面的兩條直線平行、相交或異面，故A錯誤；

平行于同一直線的兩個平面平行或相交，故B錯誤；

垂直于同一平面的兩個平面平行或相交，故C錯誤；

由直線與平面垂直的性質得：垂直于同一平面的兩條直線平行，故D正確.

故選:D.

【點評】本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的

培養.

7.已知函數f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是()

_J__J__J_1

333

A.f(x)=2x-l-XB.f(x)=2x-1+xc.f(x)=2x+l-XD.f(x)=-2xT

參考答案:

【考點】函數的圖象.

【專題】函數的性質及應用.

【分析】本題是選擇題，可采用排除法，根據函數的定義域可排除選項C再根據特殊值排

除B,D,即可得到所求

【解答】解：由圖象可知，函數的定義域為xWa,a>0,故排除C,

當Xf+8時，y-0,故排除B,當Xf-8時，y-+OO,故排除B,

當x=l時，對于選項A.f（1）=0,對于選項D,f（1）=-2,故排除D.

故選：A.

【點評】本題主要考查了識圖能力，數形結合的思想，屬于基礎題

8.下列函數中，既是偶函數，又在區間（°，+0°）上單調遞減的函數是（）

1

-3-121

A>=xC>=xD'=x

參考答案：

A

'y>0

x-

x+2yC4

9.（5分）若不等式.x+iny+n>0（m,n€Z）所表示的平面區域是面積為1的直角三角

形，則實數n的一個值為（）

A.2B.-1C.-2D.1

參考答案：

C

【考點】：簡單線性規劃.

【專題】：不等式的解法及應用.

'y>0

<x-

【分析】：先畫出滿足條件k+2y<4表示的平面區域，再根據x+my+n20表示的平面區

'y>0

x-

x+2yC4

域表示為直線x+my+n=0右側的陰影部分，結合已知中不等式組|x+iuy+n>0所表示的平面

區域是面積為1的直角三角形，我們易得到滿足條件的直線，進而根據直線的方程求出n

的值.

'y）0

<x-

解：滿足條件Ix+2y<4的平面區域如下圖所示：

由于據x+my+n>0表示的平面區域表示為直線x+my+n=O右側的陰影部分面積，

故分析可得直線x+my+n=0有2種情況：

3

①過（2,1）點且與直線直線x+2y=4垂直，解得n=-2但由于直角三角形面積為1,不

滿足題意，故舍去

②過（2,1）點且與x軸垂直，n=-2,但由于直角三角形面積為1,滿足題意;

故選：C.

【點評】：本題考查的知識點是二元一次不等式（組）與平面區域，根據已知條件分析

滿足的直線方程是解答本題的關鍵.

10.已知數列｛?。那啊椇蜑楣?，已知’=尸，則?+■一（

A.81B.243C.324D.2I6

參考答案:

D

【分析】

利用項和關系，4=S.代入即得解.

【詳解】利用項和關系，鳥-瑪=54,，-4-與=1。

二.+4-216

故選：D

【點睛】本題考查了數列的項和關系，考查了學生轉化與劃歸，數學運算能力，屬于基礎

題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

S3s2]

-------二1

11.已知等差數列｛aj的前n項和為S“，且滿足32，則數列｛a“｝的公差

是.

參考答案：

2

【考點】8F：等差數列的性質.

S3S2

【分析】在題設條件?-一彳7的兩邊同時乘以6,然后借助前n項和公式進行求解.

S3S21

【解答】解：；32；

21

.2(3a1W^d)-3(2a1+^d)=6,

6ai+6d-6ai-3d=6,

Ad-2.

故答案為:2.

12.若集合H=｛TD,8=｛『|s=l),且Bq4則實數a取值的集合

為____________________

參考答案:

{-1,0,1}

^-1>0

，x-y<0?

13.若x,y滿足約束條件|x+y-44°.則:的最大值為

參考答案:

3

【考點】簡單線性規劃.

【專題】不等式的解法及應用.

【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合確定

的最大值.

【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：(陰影部分ABC).

y

設k=l,則k的幾何意義為區域內的點到原點的斜率，

由圖象知0A的斜率最大，

(x=l(x=l

由1x+y-4=0,解得(尸3,即A(1,3),

3

則koA=l二3,

即」的最大值為3.

故答案為：3.

【點評】本題主要考查線性規劃的應用，結合目標函數的幾何意義以及直線的斜率，利用

數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法.

‘yx

<X+T<1

14.設x,y滿足約束條件y>-l,則z=-2x+y的最小值為.

參考答案：

-5

【考點】簡單線性規劃.

【分析】先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，2-2x+y表示直線在y軸

上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最小值即可.

y^x

,x+y^l

【解答】解：設x,y滿足約束條件：y>-l,

(x+y=l

在直角坐標系中畫出可行域△ABC,由iy=T,可得A(2,-1)

所以z=-2x+y的最小值為-5.

故答案為：-5

4x4^2)>0

15.不等式組IH<)的解集為▲

參考答案：

(x|0<x<Q

X-/+4<0,

K-240.

.{*,,一2>0,則“=工+2了的最小值為

參考答案:

2

【分析】

_13c.z

先由約束條件作出可行域，再由目標函數"=1+2,可化為'-212,因此當直線

_1Z

2X5在y軸上截距最小時，z='+2jr取最小，結合圖像即可求出結果.

x-jr?440,

{—220”乍出可行域如下：

因為目標函數”=x+2jr可化為‘-2X2,

1Z

V————C

因此當直線22在y軸上截距最小時，”=X+2JF取最小.

由圖像易得，當直線"一一￡，G過點4Z°）時，在尸軸上截距最小，

即J=2.

故答案為2

【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃，只需由約束條件作出可行域，分析目標函數的幾

何意義，結合圖像即可求解，屬于?？碱}型.

17.100個樣本數據的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數據落在［80,100）的頻數等于

參考答案：

40

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題滿分12分）

設函數/（*）=工-4尸。

（I）求函數『（X）單調區間；

（II）若對'SR恒成立，求a的取值范圍；

at,a3.a=%+的+…％

（III）對任意n的個正整數n

4*"，=12…〃))—

:A(2)求證：從**1a2

參考答案：

解:（I）/'（x）=】-ae"i............1分

當時，/'5）>0,/（X）在K上是增函數.......2分

當&>0時，令"x）=0得x=l-lna................3分

若x<1-lna則/'（x）>0,從而/（外在區間a）上是增函數

若x>l-lna則/'(x)<0,從而/(x)在區間。-卜氏+00)上是減函數

綜上可知：當4三0時，在區間(-0+8)上是增函數。當4>0時，在區間

(-00,1-Ina)上是增函數，在區間(l-lnd+B)上是減函數.......4分

(II)由(I)可知：當“40時，/(x)4°不恒成立.......5分

又當a>0時一，/㈤在點x=1-lna處取最大值，

且〃l-Lna)=】Tna-iw"=-lna......................6分

令-InaSO得a21

故若〃x)40對xWR恒成立，貝信的取值范圍是門+B)……7分

(III)證明：(1)由(II)知：當4=1時恒有〃x)=x-eZ工0成立

即入，產

%向%才Mw向

(2)由(1)知：力；A；.......；A

―T=[

把以上號個式子相乘得Z

..^4*Na戶1???a1

故AN出生…a*.............................12

略

19.(本題滿分12分)在等差數列匕“｝中，&=2.%>0.

(I)求數列〔&｝的通項公式；

(II)設4=(歷'，求數列電)的前n項和S?.

參考答案：

(1)...瓜｝為等差數列，設公差為d,

由題意得(ai-d)(a.,+2d)=(2—d)(2+2d)=—8,解得d=—2或d=3.

若d=3,則a2=a?—2d=2—6=—4<0(舍去)；

若d=-2,則a2=a“-2d=2+4=6>0,

，d=-2,...a.=2-2(n-4)=10-2n.(6分)

⑵由⑴知二=(也)"=弓，,

2

.?.S“=32[1-（E）"].（12分）

20.（本小題滿分12分）已知瓦48c是邊長為2的正三角形，P,Q依次是AB,AC邊上的

點，且線段PQ將瓦48c分成面積相等的兩部分，設-亞=天工口=!，尸2=了

（1）求t關于x的函數關系式：

（2）求y的最值，并寫出取得最值得條件。

參考答案：

(1)由巳,2xJxrxxMsinW

2分

22

2

At4分

jr'?--2N2^4—2?2

x

與11僅芻/■卬Ji時等學◎立.....................9分

x

=V2M.p.-O..................................10分

當x?1或2rh，一■G.............................72分

21.已知函數，（月=，+a|*-2|Y

（1）若/（*）在區間卜I"1m）上單調遞增，求實數a的取值范圍；

（2）若〃工）2°對xw*恒成立，求實數a的取值范圍.

參考答案：

（xz+ax-2a-4.x>2

（1）?.?小）」十一"+2?4』/2,又以）在區間1-1,+8）上單調遞增，

H2、

.?.當X>2時，犬X）單調遞增，貝|｝一2，即“2-4；

-^-1

當一1<X42時，式X）單調遞增，貝|]2.即a工2,且4+20—2“一/4-2a+2a-4恒成

立，故a的取值范圍為I-4L2]

⑵若兀心0對xfcR恒成立，即小-21T-I：,：<："）對xtR恒成立，

4-r4-x，[-x-2.x>2

當x=2時（※,成立，當X?2時a-1二Ij恒成立。令g（x）=2?x.x<2

顯然g（x）<4,故此時aN土綜合得的取值范圍為4

22.（本小題滿分12分）

已知多面體力8aM中，Ml平面MD,DS//AB,XC-AD-CD-DI-2,F為

。。的中點.

(I)求證：4尸1平面CDE；

(II)求平面48。與平面CDE所成二面角的大小;

(III)求點4到平面BCD的距離的取值范圍.

18題圖

參考答案：

解：(I)???平面月8,4平面然D,

?.,斯＜:平面力切，，?！?/p>