2024屆廣東深圳市數學高一第二學期期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下面的程序運行后，輸出的值是（）A．90 B．29 C．13 D．542．在天氣預報中，有“降水概率預報”，例如預報“明天降水的概率為”，這是指（）A．明天該地區有的地方降水，有的地方不降水B．明天該地區有的時間降水，其他時間不降水C．明天該地區降水的可能性為D．氣象臺的專家中有的人認為會降水，另外有的專家認為不降水3．已知函數，則（）A．的最小正周期為，最大值為1 B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為1 D．的最小正周期為，最大值為4．空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標是（）A． B．C． D．5．已知點均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．6．在邊長為的正方形內有一個半徑為1的圓，向正方形中隨機扔一粒豆子（忽略大小，視為質點），若它落在該圓內的概率為，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（）A． B． C． D．7．正三角形的邊長為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則的周長為（）A． B． C． D．8．某校進行了一次消防安全知識競賽，參賽學生的得分經統計得到如圖的頻率分布直方圖，若得分在的有60人，則參賽學生的總人數為（）A．100 B．120 C．150 D．2009．是空氣質量的一個重要指標，我國標準采用世衛組織設定的最寬限值，即日均值在以下空氣質量為一級，在之間空氣質量為二級，在以上空氣質量為超標.如圖是某地11月1日到10日日均值（單位：）的統計數據，則下列敘述不正確的是（）A．這天中有天空氣質量為一級 B．這天中日均值最高的是11月5日C．從日到日，日均值逐漸降低 D．這天的日均值的中位數是10．在等差數列中，若，，則（）A． B．0 C．1 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設（）則數列的各項和為________12．設函數的最小值為，則的取值范圍是___________.13．不等式的解集為_________.14．在三棱錐中，平面，是邊長為2的正三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為__________．15．已知變量x，y線性相關，其一組數據如下表所示.若根據這組數據求得y關于x的線性回歸方程為，則______.x1245y5.49.610.614.416．從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，這兩張卡片上的數字之差的絕對值等于1的概率為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．渦陽縣某華為手機專賣店對市民進行華為手機認可度的調查，在已購買華為手機的名市民中，隨機抽取名，按年齡（單位：歲）進行統計的頻數分布表和頻率分布直方圖如圖：分組（歲）頻數合計（1）求頻數分布表中、的值，并補全頻率分布直方圖；（2）在抽取的這名市民中，從年齡在、內的市民中用分層抽樣的方法抽取人參加華為手機宣傳活動，現從這人中隨機選取人各贈送一部華為手機，求這人中恰有人的年齡在內的概率.18．已知數列滿足：.（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項；（2）求數列的前項和.19．已知函數的最小正周期為，且其圖象的一個對稱軸為，將函數圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，再將圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象.（1）求的解析式，并寫出其單調遞增區間；（2）求函數在區間上的零點；（3）對于任意的實數，記函數在區間上的最大值為，最小值為，求函數在區間上的最大值.20．在平面直角坐標系中，已知向量，．（1）求證：且；（2）設向量，，且，求實數的值．21．如圖，邊長為2的正方形中，（1）點是的中點，點是的中點，將分別沿折起，使兩點重合于點．求證：（2）當時，求三棱錐的體積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據程序語言的作用，模擬程序的運行結果，即可得到答案．【題目詳解】模擬程序的運行，可得，執行循環體，，執行循環體，，執行循環體，，執行循環體，，退出循環，輸出的值為1．故選：D．【題目點撥】本題考查利用模擬程序執行過程求輸出結果，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎題．2、C【解題分析】

預報“明天降水的概率為”，屬于隨機事件，可能下雨，也可能不下雨，即可得到答案.【題目詳解】由題意，天氣預報中，有“降水概率預報”，例如預報“明天降水的概率為”，這是指明天下雨的可能性是，故選C.【題目點撥】本題主要考查了隨機事件的概念及其概率，其中正確理解隨機事件的概率的概念是解答此類問題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.3、D【解題分析】

結合二倍角公式，對化簡，可求得函數的最小正周期和最大值.【題目詳解】由題意，，所以，當時，取得最大值為.由函數的最小正周期為，故的最小正周期為.故選：D.【題目點撥】本題考查三角函數周期性與最值，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.4、A【解題分析】

關于軸對稱，縱坐標不變，橫坐標、豎坐標變為相反數．【題目詳解】關于軸對稱的兩點的縱坐標相同，橫坐標、豎坐標均互為相反數．所以點關于軸對稱的點的坐標是．故選：A．【題目點撥】本題考查空間平面直角坐標系，考查關于坐標軸、坐標平面對稱的問題．屬于基礎題．5、A【解題分析】

設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．由此可計算球半徑．【題目詳解】如圖，設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【題目點撥】本題考查球的體積，關鍵是確定球心位置求出球的半徑．6、A【解題分析】

通過幾何概型可得答案.【題目詳解】由幾何概型可知，則.【題目點撥】本題主要考查幾何概型的相關計算，難度中等.7、C【解題分析】

根據斜二測畫法以及正余弦定理求解各邊長再求周長即可.【題目詳解】由斜二測畫法可知,,,.所以.故..故.所以的周長為.故選：C【題目點撥】本題主要考查了斜二測畫法的性質以及余弦定理在求解三角形中線段長度的運用.屬于基礎題.8、C【解題分析】

根據頻率分布直方圖求出得分在的頻率，即可得解.【題目詳解】根據頻率分布直方圖可得：得分在的頻率0.35，得分在的頻率0.3，得分在的頻率0.2，得分在的頻率0.1，所以得分在的頻率0.05，得分在的頻率為0.4，有60人，所以參賽學生的總人數為60÷0.4=150人.故選：C【題目點撥】此題考查根據頻率分布直方圖求某組的頻率，根據頻率分布直方圖的特征計算小矩形的面積，根據總面積之和為1計算未知數，結合頻率頻數計算總人數.9、D【解題分析】

由折線圖逐一判斷各選項即可.【題目詳解】由圖易知：第3,8,9,10天空氣質量為一級，故A正確，11月5日日均值為82，顯然最大，故B正確，從日到日，日均值分別為：82,73,58,34,30，逐漸降到，故C正確，中位數是，所以D不正確，故選D.【題目點撥】本題考查了頻數折線圖，考查讀圖，識圖，用圖的能力，考查中位數的概念，屬于基礎題.10、C【解題分析】

根據等差數列性質得到答案.【題目詳解】等差數列中，若，【題目點撥】本題考查了等差數列的性質，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據無窮等比數列的各項和的計算方法，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，數列的通項公式為，且，所以數列的各項和為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了無窮等比數列的各項和的求解，其中解答中熟記無窮等比數列的各項和的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.12、.【解題分析】

確定函數的單調性，由單調性確定最小值．【題目詳解】由題意在上是增函數，在上是減函數，又，∴，，故答案為．【題目點撥】本題考查分段函數的單調性．由單調性確定最小值，13、【解題分析】

利用兩個數的商是正數等價于兩個數同號；將已知的分式不等式轉化為整式不等式，求出解集．【題目詳解】同解于解得或故答案為：【題目點撥】本題考查解分式不等式，利用等價變形轉化為整式不等式是解題的關鍵．14、【解題分析】

設三棱錐的外接球半徑為，利用正弦定理求出的外接圓半徑，再利用公式可計算出外接球半徑，最后利用球體的表面積公式可計算出結果.【題目詳解】由正弦定理可得，的外接圓直徑為，，設三棱錐的外接球半徑為，平面，，因此，三棱錐的外接球表面積為，故答案為.【題目點撥】本題考查多面體的外接球，考查球體表面積的計算，在求解直棱柱后直棱錐的外接球，若底面外接圓半徑為，高為，可利用公式得出外接球的半徑，解題時要熟悉這些結論的應用.15、4.3【解題分析】

由所給數據求出，根據回歸直線過中心點可求解．【題目詳解】由表格得到，，將樣本中心代入線性回歸方程得.故答案為：4.3【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程，掌握回歸直線的性質是解題關鍵，即回歸直線必過中心點．16、【解題分析】

基本事件總數n，利用列舉法求出這兩張卡片上的數字之差的絕對值等于1包含的基本事件有4種情況，由此能求出這兩張卡片上的數字之差的絕對值等于1的概率．【題目詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，基本事件總數n，這兩張卡片上的數字之差的絕對值等于1包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4種情況，∴這兩張卡片上的數字之差的絕對值等于1的概率為p．故答案為．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），頻率分布直方圖見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據分布直方圖計算出第二個矩形的面積，乘以可得出的值，再由頻數之和為得出的值，利用頻數除以樣本容量得出第四個矩形的面積，并計算出第四個矩形的高，于此可補全頻率分布直方圖；（2）先計算出人中年齡在、內的市民人數分別為、，將年齡在的位市民記為，年齡在的位市民記為、、、，記事件恰有人的年齡在內，列舉出所有的基本事件，并確定事件所包含的基本事件數，利用古典概型的概率公式可計算出事件的概率.【題目詳解】（1）由頻數分布表和頻率分布直方圖可知，解得.頻率分布直方圖中年齡在內的人數為人，對應的為，所以補全的頻率分布直方圖如下圖所示：（2）由頻數分布表知，在抽取的人中，年齡在內的市民的人數為，記為，年齡在內的市民的人數為，分別記為、、、.從這人中任取人的所有基本事件為：、、、、、、、、、，共個基本事件.記“恰有人的年齡在內”為事件，則所包含的基本事件有個：、、、，所以這人中恰有人的年齡在內的概率為.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖和頻率分布表的應用，同時也考查了古典概型概率公式計算概率，在列舉基本事件時要遵循不重不漏的基本原則，常用的是列舉法，也可以利用樹狀圖來輔助理解，考查運算求解能力，屬于中等題.18、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）由變形得，即，從而可證得結論成立，進而可求出通項公式；（2）由（1）及條件可求出，然后根據分組求和法可得．【題目詳解】（1）證明：因為，所以．因為所以所以．又，所以是首項為，公比為2的等比數列，所以．（2）解：由（1）可得，所以．【題目點撥】證明數列為等比數列時，在得到后，不要忘了說明數列中沒有零項這一步驟．另外，對于數列的求和問題，解題時要根據通項公式的特點選擇合適的方法進行求解，屬于基礎題．19、（1），單調遞增區間為；（2）、、；（3）.【解題分析】

（1）由函數的最小正周期求出的值，由圖象的對稱軸方程得出的值，從而可求出函數的解析式；（2）先利用圖象變換的規律得出函數的解析式，然后在區間上解方程可得出函數的零點；（3）對分三種情況、、分類討論，分析函數在區間上的單調性，得出和，可得出關于的表達式，再利用函數的單調性得出函數的最大值.【題目詳解】（1）由題意可知，，.令，即，即函數的圖象的對稱軸方程為.由于函數圖象的一條對稱軸方程為，，，，，則，因此，.函數的單調遞增區間為；（2）將函數的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，得到函數.再將所得函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數.令，即，化簡得，得或.由于，當時，；當時，或.因