山東省淄博市淄川中學2024屆數學高一第二學期期末調研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．2．若直線與圓相切，則的值為A．1 B． C． D．3．英國數學家布魯克泰勒（TaylorBrook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（

）其中，，例如：．試用上述公式估計的近似值為（精確到0.01）A．0.99 B．0.98 C．0.97

D．0.964．把函數的圖像上所有的點向左平行移動個單位長度，再把所得圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到的圖像所表示的函數是（）A． B．C． D．5．為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度6．某數學競賽小組有3名男同學和2名女同學，現從這5名同學中隨機選出2人參加數學競賽（每人被選到的可能性相同）.則選出的2人中恰有1名男同學和1名女同學的概率為（）A． B． C． D．7．在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則△ABC是A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．△ABC中，三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若c＝，b＝1，∠B＝，則△ABC的形狀為（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．已知，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．10．已知圓心為C（6，5），且過點B（3，6）的圓的方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一個社會調查機構就某地居民收入調查了10000人，并根據所得數據畫出了如圖所示的頻率分布直方圖，現要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進一步調查，則月收入在（元）內的應抽出___人.12．若不等式對于任意都成立，則實數的取值范圍是____________．13．已知，則______.14．__________.15．某公司調查了商品的廣告投入費用（萬元）與銷售利潤（萬元）的統計數據，如下表：廣告費用（萬元）銷售利潤（萬元）由表中的數據得線性回歸方程為，則當時，銷售利潤的估值為___．（其中：）16．已知，且，則的取值范圍是____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，內角，，所對的邊分別為，，.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值.18．已知正項數列，滿足：對任意正整數，都有，，成等差數列，，，成等比數列，且，．（Ⅰ）求證：數列是等差數列；（Ⅱ）求數列，的通項公式；（Ⅲ）設=++…+，如果對任意的正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．19．如圖所示，在直三棱柱中，，，M、N分別為、的中點．求證：平面；求證：平面．20．對于函數和實數，若存在，使成立，則稱為函數關于的一個“生長點”.若為函數關于的一個“生長點”，則______.21．已知數列滿足：，，.（1）求證：數列為等差數列，并求出數列的通項公式；（2）記（），用數學歸納法證明：，

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

試題分析：如圖，設平面平面=，平面平面=，因為平面，所以，則所成的角等于所成的角.延長，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【題目點撥】求解本題的關鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補.2、D【解題分析】圓的圓心坐標為，半徑為1，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離，即，解得，故選D.3、B【解題分析】

利用題設中給出的公式進行化簡，即可估算，得到答案．【題目詳解】由題設中的余弦公式得，故答案為B【題目點撥】本題主要考查了新信息試題的應用，其中解答中理解題意，利用題設中的公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．4、C【解題分析】

根據左右平移和周期變換原則變換即可得到結果.【題目詳解】向左平移個單位得：將橫坐標縮短為原來的得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數的左右平移變換和周期變換的問題，屬于基礎題.5、D【解題分析】

試題分析：將函數的圖象向右平移,可得，故選D．考點：圖象的平移．6、A【解題分析】

把5名學生編號，然后寫出任取2人的所有可能，按要求計數后可得概率．【題目詳解】3名男生編號為，兩名女生編號為，任選2人的所有情形為：，，共10種，其中恰有1名男生1名女生的有共6種，所以所求概率為．【題目點撥】本題考查古典概型，方法是列舉法．7、A【解題分析】

由正弦定理，記，則，，，又，所以，即，所以.故選：A.8、D【解題分析】試題分析：在中，由正弦定理可得，因為，所以或，所以或，所以的形狀一定為等腰三角形或直角三角形，故選D．考點：正弦定理．9、C【解題分析】

設與的夾角為，計算出、、的值，再利用公式結合角的取值范圍可求出的值.【題目詳解】設與的夾角為，則，，，另一方面，，，，因此，，，因此，，故選C.【題目點撥】本題考查利用平面向量的數量積計算平面向量的夾角，解題的關鍵就是計算出、、的值，考查計算能力，屬于中等題.10、A【解題分析】

在知道圓心的情況下可設圓的標準方程為,然后根據圓過點B（3，6），代入方程可求出r的值，得到圓的方程.【題目詳解】因為,又因為圓心為C（6，5）,所以所求圓的方程為,因為此圓過點B（3，6），所以,所以，因而所求圓的方程為.考點：圓的標準方程.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、25【解題分析】由直方圖可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分層抽樣應抽出人．故答案為25.12、【解題分析】

利用換元法令（），將不等式左邊構造成一次函數，根據一次函數的性質列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】令，，則．由已知得，不等式對于任意都成立．又令，則，即，解得．所以所求實數的取值范圍是．故答案為：【題目點撥】本小題主要考查不等式恒成立問題的求解策略，考查三角函數的取值范圍，考查一次函數的性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.13、【解題分析】

利用同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入計算可得.【題目詳解】解：，故答案為：【題目點撥】本題考查同角三角函數的基本關系，齊次式的計算，屬于基礎題.14、【解題分析】

利用誘導公式以及正弦差角公式化簡式子，之后利用特殊角的三角函數值直接計算即可.【題目詳解】.故答案為【題目點撥】該題考查的是有關三角函數化簡求值問題，涉及到的知識點有誘導公式，差角正弦公式，特殊角的三角函數值，屬于簡單題目.15、12.2【解題分析】

先求出，的平均數，再由題中所給公式計算出和，進而得出線性回歸方程，將代入，即可求出結果.【題目詳解】由題中數據可得：，，所以，所以，故回歸直線方程為，所以當時，【題目點撥】本題主要考查線性回歸方程，需要考生掌握住最小二乘法求與，屬于基礎題型.16、【解題分析】

利用正弦函數的定義域求得值域，即的范圍，再根據反余弦函數的定義可求得的取值范圍.【題目詳解】因為且，所以，則根據反余弦函數的定義可得，則的取值范圍是.故答案為：【題目點撥】本題考查了正弦函數的定義域和值域，考查了反余弦函數的定義，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據正弦定理將邊角轉化,結合三角函數性質即可求得角.（Ⅱ）先根據余弦定理求得,再由正弦定理求得,利用同角三角函數關系式求得,即可求得.即可求得的值.【題目詳解】（Ⅰ）在中,由正弦定理可得即因為,所以,即又因為,可得（Ⅱ）在中,由余弦定理及,,有,故由正弦定理可得因為,故因此,所以,【題目點撥】本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的應用,二倍角公式及正弦和角公式的用法,屬于基礎題.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1【解題分析】

（Ⅰ）由已知得，即，由2b1=a1+a2=25，得b1=，由a22=b1b2，得b2=18，∴{}是以為首項，為公差的等差數列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，因為，，成等比數列所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化為，即f（n）=恒成立，當a–1＞0即a＞1時，不合題意；當a–1=0即a=1時，滿足題意；當a–1＜0即a＜1時，f（n）的對稱軸為，f（n）單調遞減，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；綜上，a≤1.19、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

(1)推導出，從而平面，進而，再由，，得是正方形，由此能證明平面．取的中點F，連BF、推導出四邊形BMNF是平行四邊形，從而，由此能證明平面．【題目詳解】證明：在直三棱柱中，側面底面ABC，且側面底面，，即，平面，平面，，，是正方形，，平面取的中點F，連BF、在中，N、F是中點，，，又，，，，故四邊形BMNF是平行四邊形，，而面，平面，平面【題目點撥】本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題．20、【解題分析】

由為函數關于的一個“生長點”，得到由誘導公式可得答案.【題目詳解】解：為函數關于的一個“生長點”，，故答案為：.【題目點撥】本題主要考查利用誘導公式進行化簡求值，及函數的創新