專題2.4等腰三角形中的綜合【典例1】在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的中線，G、H分別為射線BA、AC上一點，且滿足∠GEH+∠BAC＝180°．(1)如圖1，若∠CAE＝45°，且G、H分別在線段BA、AC上，求證：△AEH≌△BEG；(2)在（1）的條件下，AG＝3，求線段CH的長度；(3)如圖2，延長AE至點D，使DE＝AE，過點E作EF⊥BD于點F，當點G在線段BA的延長線上，點H在線段AC的延長線上時，探求線段BF、CH、BG三者之間的數量關系，并說明理由．【思路點撥】（1）利用等腰三角形的性質和已知條件，先證∠BAC＝90°，AE=CE，AE=BE，再結合∠GEH+∠BAC＝180°，證明∠GEH＝90°，進而證明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可證明△AEH≌△BEG；（2）利用（1）中結論，參照（1）中方法利用ASA即可證明△CEH≌△AEG，即可得出CH=AG=3；（3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，連接EJ．先利用AAS證明△JEG≌△CEH，推出JG=CH，再證明△BFE≌△BIE，推出BF＝BI，即可得出BG=BI+JI+GJ=2BF+CH．【解題過程】解：（1）證明：如圖所示：∵AB＝AC，AE是△ABC的中線，∴∠C＝∠B，AE⊥BC，又∵∠CAE＝45°，∴∠C＝∠CAE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°，∴∠BAC＝90°，AE=CE，AE=BE，∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，∴∠GEH＝90°，∴∠AEH+∠AEG＝∠AEG+∠BEG＝90°，∴∠AEH＝∠BEG，在△AEH和△BEG中，∠AEH＝∴△AEH≌△BEGASA；（2）由（1）知∠C＝∠BAE＝45°，AE=CE，∠GEH＝90°，AE⊥BC，∴∠AEC＝∠GEH＝90°，∴∠AEH+∠CEH＝∠AEH+∠AEG＝90°，∴∠CEH＝∠AEG，在△CEH和△AEG中，∠CEH＝∴△CEH≌△AEGASA，∴CH=AG=3；（3）2BF+CH=BG，理由如下：如圖，作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，連接EJ．則EI是線段BJ的垂直平分線，∴EJ=BE，∵E是BC的中點，∴BE=EC，∴EJ=EC．∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°，∴∠GEH＝∠GAH，又∵∠GOA＝∠HOE，∴∠JGE＝∠CHE，∵EJ=BE，AB=AC，∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB，∴∠EJG＝∠ECH，在△JEG和△CEH中，∠EJG＝∴△JEG≌△CEHAAS，∴JG=CH，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴BD＝AB，∴∠ABE＝∠DBE，∵EI⊥AB，EF⊥BD，∴∠BIE＝∠BFE＝90°，又∵BE＝BE，∴△BFE≌△BIEAAS，∴BF＝BI，∴BG=BI+JI+GJ=2BF+CH．1．（2021·福建省永春崇賢中學九年級階段練習）如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉得到△DBE，且點E落在AB上，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA，BF，若∠ABC=60°，BF=AF．(1)求證△ADF≌△BDF；(2)若AF=2，求DF的長．2．（2021·北京市陳經綸中學八年級期中）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一點，連接AP，延長BC至點Q，使得CQ=CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．(1)若∠CAP=20°，則∠AMQ=°．(2)判斷AP與QM的數量關系，并證明．3．（2022·山西·運城市鹽湖區教育科技局教學研究室七年級期末）已知：等腰直角△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，CH⊥AB，將△ABC沿CE折疊，使CA落在直線CH上，BM是∠ABC的平分線，交AC于M，交CH于N，連接(1)請說明：AE=CN(2)試判斷CE與BM的關系，并說明理由．4．（2021·廣東·沙田第一中學七年級期末）如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，B，C，D三點共線，AD與BE相交于點O，AD與CE交與點F，AC與BE交于點G．(1)找出圖中一對全等三角形，并說明理由．(2)求∠BOD度數．(3)連接GF，判斷△CGF形狀，并說明理由．5．（2022·福建省尤溪縣梅仙中學八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內作等邊三角形AOB，點C為x軸正半軸上一動點（OC>1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內作等邊三角形CBD，直線DA交y軸于點E．(1)求證：OC＝AD．(2)∠CAD的度數是______．(3)當點C運動到什么位置時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形？6．（2022·全國·八年級專題練習）已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE．(1)如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD＝CE，②AC＝CE＋CD；(2)如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CE、CD之間存在的數量關系，并說明理由．7．（2022·四川省彭州中學實驗學校八年級期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC的外角平分線AD上一點，DE⊥AC交CA的延長線于點E，連接DB．(1)求證：∠CAB＝2∠ADE；(2)如圖2，F是AC上一點，且DF＝DB，若∠CAB＝60°，求證：AC﹣AE＝12AF8．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，點O是等邊△ABC內一點．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．已知∠AOB＝110°．(1)求證：△COD是等邊三角形；(2)當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；(3)探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．9．（2022·江西·崇仁縣第二中學七年級階段練習）已知：在△ABC中，AC=7．(1)如圖①，分別以AB，BC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE，CD，則AECD（填“＞”“＜”或“=”）；(2)如圖②，分別以AB，BC為腰，向內作等腰△ABD和等腰△BCE，∠ABD=∠CBE且小于12∠ABC，連接AE，CD，請猜想AE與CD(3)如圖③，以AB為腰向內作等腰△ABD，以BC為腰向外作等腰△BCE，且∠ABD=∠CBE，已知點A到直線DE的距離為2，AE=8，求點D到直線AE的距離．10．（2022·山東煙臺·七年級期末）已知在△ABC中，滿足∠ACB=2∠B，(1)【問題解決】如圖1，當∠C=90°，AD為∠BAC的角平分線時，在AB上取一點E使得AE=AC，連接DE，求證：AB=AC+CD．(2)【問題拓展】如圖2，當∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，在AB上取一點E使得AE=AC，連接DE，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由．(3)【猜想證明】如圖3，當AD為△ABC的外角平分線時，在BA的延長線上取一點E使得AE=AC，連接DE，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．11．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形．(1)如圖1，D是AC上一點，以BD為邊作等邊△BDE，連接AE，求證：△BCD≌△BAE；(2)在（1）的條件下，DE⊥AB于F，若AF=3，求BF的長；(3)如圖2，BN為穿越AC的一條射線，點P是點C關于BN的對稱點，連接PA并延長交BN于Q，連接CQ．已知∠P=30°，觀察、猜測并證明QA，QB，QC之間的關系．12．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）如圖①，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，動點P以每秒1cm的速度從點A出發，沿線段AB向點B運動．設點P的運動時間為t（t>0）秒．（知識儲備：一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）(1)當t＝5時，求證：△PAC是直角三角形；(2)如圖②，若另一動點Q在線段CA上以每秒2cm的速度由點C向點A運動，且與點P同時出發，點Q到達終點A時點P也隨之停止運動．當△PAQ是直角三角形時，直接寫出t的值；(3)如圖③，若另一動點Q從點C出發，以每秒1cm的速度沿射線BC方向運動，且與點P同時出發．當點P到達終點B時點Q也隨之停止運動，連接PQ交AC于點D，過點P作PE⊥AC于E．在運動過程中，線段DE的長度是否發生變化？若不變，直接寫出DE的長度；若變化，說明如何變化．13．（2022·福建·莆田哲理中學八年級期末）如圖1，在△ABD中，點E，F分別是AB和AD上的點，滿足AE=EF，連接EF并延長交BD延長線于點C．(1)若DC=DF=EF，求證：AB=BC；(2)如圖2，過B作BG⊥AD，垂足為G．（i）求證：∠ABG=∠GBD+∠C；（ii）如圖3，連接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面積為4，求△AFC的面積．14．（2021·福建省長樂第七中學八年級階段練習）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC邊上一點，延長AD到點E，使得AD＝DE，連接CE，過點D作BC的垂線，交CE的垂直平分線于點F，連接EF．(1)如圖1，當點D與點C重合時，證明：BF＝2DF；(2)如圖2，當點D不與B，C兩點重合時，（1）中的結論是否還成立？并說明理由．15．（2021·北京市朝陽區芳草地國際學校富力分校八年級期中）△ABC是等邊三角形，AC=2，點C關于AB對稱的點為C'，點P是直線C'B上的一個動點，連接AP，作∠APD=60°交射線BC(1)若點P在線段C'B上（不與點C'①如圖1，若點P是線段C'B的中點，則BP的長為②如圖2，點P是線段C'B上任意一點，求證：(2)若點P在線段C'①依題意補全圖3；②直接寫出線段BD，AB，BP之間的數量關系為：．16．（2022·四川成都·七年級期末）在等邊△ABC中，點D、E分別是AB、AC上的點，BD＝AE，BE與CD交于點O．(1)如圖1，填空：∠BOD＝°；(2)如圖2，以CO為邊作等邊△OCF，連接AO、BF，那么BF與AO相等嗎？并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，若點G是BC的中點，連接GO，判斷BF與GO有什么數量關系？并說明理由．17．（2022·遼寧大連·八年級期末）已知點D是△ABC外一點，連接AD，BD，CD，∠BAC＝(1)【特例體驗】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數為；(2)【類比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點E，AC＝kDE，直接寫出CDAB的值（用k18．（2022·山東淄博·七年級期末）如圖，點E是等邊三角形ABC中邊AC上的一個定點，點D是邊BC所在直線上的一個動點，以DE為邊作等邊三角形DEF，連接CF．(1)如圖1，求證：CE+CF＝CD；(2)如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，問CE，CF，CD之間存在怎樣的數量關系？并加以說明．19．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學七年級階段練習）等腰△ABC，CA＝CB，D為直線AB上一動點，以CD為腰作等腰三角形△CDE，頂點C、D、E按逆時針方向排列，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，連接BE．(1)若∠ACB＝60°，當點D在線段AB上時，如圖（1）所示，此時AD與BE的數量關系為______；(2)若∠ACB＝90°，當點D在線段BA延長線上時，如圖（2）所示，AD與BE有什么關系，說明理由；(3)當BE∥AC時，若△CAD中最小角為15°，試探究∠20．（2022·山東淄博·七年級期末）數學課上，王老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關系，