結構力學教程（Ⅱ）穩定理論（1）《結構穩定原理》王仕統.華南理工大學出版社（2）《鋼結構穩定設計指南

》陳紹蕃.中國建筑工業出版社（3）《結構穩定理論》唐家祥.中國鐵道出版社（4）《結構穩定和穩定內力》李存權.人民交通出版社（5）《穩定理論》畢爾格麥斯特.中國工業出版社（6）《彈性穩定理論》鐵摩辛柯.科學出版社（7）《鋼結構論壇》主要參考書目§14-1兩類穩定問題概述§14-2兩類穩定問題計算簡例§14-3有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法§14-4無限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法§14-5剪力對臨界荷載的影響§14-6組合桿的穩定§14-7拱的穩定本課程主要內容§14-1兩類穩定問題概述穩定問題的提出？（1）俄國著名數學家歐拉（L.Euler，1707～1783）早在1747年就研究了壓桿的變形。——歐拉荷載（回憶）（2）現實工程中，穩定問題是客觀存在的。失穩造成的工程事故時有發生，如：1907年加拿大圣勞斯河上的魁北克橋；下弦桿喪失穩定（3）高強度材料應用、結構形式的發展，結構趨于輕型、薄壁化，更易失穩，穩定計算日益重要。1922華盛頓鎳克爾卜克爾劇院倒塌；1983社科院科研樓施工過程中，腳手架整體穩定性破壞……失穩大到整個結構，小到局部構件！鋼筋的失穩（縱筋與箍筋的綁扎－箍筋的間距）；柱模板（沿高度方向加箍）;桁架中的受壓桿件（上弦桿）；高層結構中受壓柱的失穩（軸壓比）。共性：①受壓；

②幾何特征問題。（強度與長細比的關系）強度問題與穩定問題（1）兩種極限狀態：我國《規范》規定：在進行建筑結構設計時必須考慮兩種極限狀態。

1）承載能力極限狀態（Ultimatelimitstate）指結構或構件達到最大承載力或達到不適合繼續承載的變形的極限狀態。主要包括結構、構件的強度（Strength）和穩定（Stability）的計算。

2）正常使用極限狀態（Serviceabilitylimitstate）指結構或構件達到正常使用或耐久性的某項規定限值，如軸心受壓桿的長細比：梁的撓度：梁的裂縫寬度：（2）強度、穩定問題的區別：強度、穩定問題雖然均屬于第一極限問題，但兩者之間的概念不同。

1）強度問題指由作用（Action）對結構或構件產生的截面最大內力（或截面上某點的最大應力）是否超過截面的承載能力（或材料強度），因此，強度問題是應力問題。

2）穩定問題是要找出作用與結構內部抵抗力之間的不穩定平衡狀態即變形開始急劇增大的狀態，從而設法避免進入該狀態，因此，穩定問題是一種變形問題。說明：作用直接作用：如：永久荷載、可變荷載，等間接作用：如：地震、基礎沉降、砼收縮、溫度變化，等詳細說明：表示長柱承載力的降低程度（3）彈性穩定問題的特點：

一階分析（FOA－FirstOrderAnalysis）以未變形的結構變形分析它的平衡，不考慮變形對作用效應的影響。應力問題通常采用一階分析，也稱線性分析。

二階分析（SOA－SecondOrderAnalysis）針對已變形的結構變形分析它的平衡，考慮變形對作用效應的影響。穩定問題則采用二階分析，也稱幾何非線性分析。

1）穩定問題采用二階分析小變形，可用一階分析計算。疊加原理適用條件：材料符合虎克定律：強度問題（應力）穩定問題（變形）

2）不能應用疊加原理

3）穩定問題不必區分靜定和超靜定結構舉例說明：是否考慮變形對平衡方程的影響而分別寫出一階和二階彎矩M1，M2：

PPhx

y

其中k2=P/EI，由上列第二式不難看出

穩定分析就是二階分析，但二階分析并非僅限于穩定分析，二階分析并非嚴格意義上的幾何非線性分析；失穩的過程本質上是構件彎曲剛度減小，直至消失的過程；舉例說明：試求下圖桿長2l的三根懸臂桿的臨界力。（a）當N作用在B點時：（b）當N作用在高度中央部位C點時：（c）當N同時作用在B點和C點時：討論：（1）Ncr3同與Ncr1

，Ncr2不存在直接關系，必須用彈性穩定理論的方法去解臨界力，而不能將其簡單迭加。（2）有一種近似算法，依據上述公式將C點的N等效為B點的N/4來求解。誤差：4.4%舉例說明：PP由材料力學可知，對不同的邊界條件所建立的二階微分方程是不相同的。然而，Timoshenko指出，一個四階的微分方程可適用任何邊界條件的求解。給出桿的任一段微元，其正號是使桿向內凹。dxdy(1)由水平力的平衡有(2)由力矩的平衡有此方程的解為：有了上面的表達式，即可從桿端的幾何邊界條件與變形協調關系建立變形約束方程，確定待定系數C1~C4（1）鉸接端：（2）固定端：（3）自由端：由桿件四個獨立的邊界條件可建立四個線性方程組1、穩定驗算的重要性設計結構強度驗算剛度驗算最基本的必不可少穩定性驗算：2、平衡狀態的三種情況穩定平衡：在某個平衡狀態，輕微干擾，偏離原位，干擾消失，恢復原位。不穩定平衡：在某個平衡狀態，輕微干擾，偏離原位，干擾消失，不能恢復原位，繼續偏移。中性平衡：由穩定平衡到不穩定平衡的中間狀態。穩定是指：假設對結構施加一微小干擾使偏離其原位置，當干擾去除后，結構能恢復到原來的平衡位置高強度材料應用、結構形式的發展，結構趨于輕型、薄壁化，更易失穩，穩定計算日益重要。剛性小球平衡狀態(1)穩定平衡狀態(2)不穩定平衡狀態(3)隨遇平衡狀態根據受力狀態穩定問題分類1.完善體系：理想中心受壓桿，無初曲率或彎曲變形完善體系從穩定到不穩定，其受力、變形狀態將變化，也即隨荷載變大有分叉點，稱分支點穩定。分支點失穩失穩前后平衡狀態的變形性質發生變化2.非完善體系受壓桿有初曲率或受偏心荷載，為壓彎聯合受力狀態非完善體系，一般受力、變形性質不發生改變。但隨著荷載增大存在一極值荷載（此后變形增大荷載反而減少），這類穩定現象稱極值點穩定。極值點失穩失穩前后變形性質沒有變化FPcr

cr突跳失穩FPcr

cr由受壓變成受拉，系統產生翻轉C3、失穩:隨著荷載的逐漸增大,結構的原始平衡位置由穩定平衡轉為不穩定平衡.這時原始平衡狀態喪失其穩定性.⑴分支點失穩：（第一類失穩）完善體系（或稱理想體系）直桿（無初曲率），中心受壓（無初偏心）。Pl/2l/2PΔOP1<Pcr=1<PcrABP1Pcr原始平衡狀態是穩定的是唯一的P2>PcrΔⅠ(穩定)Ⅰ(不穩定)Ⅱ(大撓度理論)Ⅱ(小撓度理論)DD′P2原始平衡狀態是不穩定的。存在兩種不同形式的平衡狀態(直線、彎曲）。分支點B將原始平衡路徑Ⅰ

分為兩段。在分支點B出現平衡的二重性。原始平衡由穩定轉變為不穩定。臨界荷載、臨界狀態2>Pcr由于荷載自Pcr至壓潰歷程極短，故Pcr就成了失穩的標志。而大撓度理論和小撓度理論求出的臨界荷載十分貼近，可采用簡單的小撓度理論求Pcr。

Pcr

Pcrqcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合

Pcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合原始平衡：平面彎曲新平衡形式：斜彎曲加扭轉結構的變形產生了質的改變。即原來的平衡形式成為不穩定而可能出現新的與原來平衡形式有質的區別的平衡形式，同時，這種現象帶有突然性——質變失穩。分支點失穩的特點：其它結構的分支點失穩⑵極值點失穩：（第二類失穩）非完善體系：具有初曲率的壓桿承受偏心荷載的壓桿

P

PPΔOPcr(大撓度理論)(小撓度理論)PePe接近于中心壓桿的歐拉臨界荷載穩定問題與強度問題的區別：強度問題是在穩定平衡狀態下：當,小變形，進行線性分析（一階分析）。當,大變形，進行幾何非線性分析（二階分析）。重點是求內力、應力穩定問題重點是研究荷載與結構抵抗力之間的平衡；找出變形急劇增長的臨界點及相應的臨界荷載。在變形后的幾何位置上建立平衡方程，屬于幾何非線性分析（二階分析）。非線性分析，疊加原理不再適用。極值點失穩的特點：結構一開始受壓就處于壓彎狀態，失穩與穩定無明顯的界限，只是當接近失穩時，荷載增加很小，而撓度迅速增加。P-Δ曲線具有極值點。由于結構的變形過大，結構將不能正常使用——量變失穩。

穩定極限承載能力實際結構總是存在缺陷的，這些缺陷通常可以分為幾何缺陷和力學缺陷兩大類。桿件的初始彎曲、初始偏心以及板件的初始不平度等都屬于幾何缺陷；力學缺陷一般表現為初始應力和力學參數(如彈性模量，強度極限等)的不均勻性。對穩定承載能力而言，殘余應力是影響最大的力學缺陷。作為一種初始應力，殘余應力在構件截面上是自相平衡的，它并不影響強度承載能力。但是它的存在使得構件截面的一部分提前進入屈服，從而導致該區域的剛度提前消失，由此造成穩定承載能力的降低。所有的幾何缺陷實質上亦是以附加應力的形式促使剛度提前消失而降低穩定承載能力的。缺陷的存在還使得結構的失穩一般都呈彈塑性狀態，而非簡單的彈性穩定問題。

因此，實際結構穩定承載能力的確定，應該計及幾何缺陷和力學缺陷，對整體結構作彈塑性二階(或嚴格意義上的幾何非線性)分析。簡言之，實際結構穩定承載能力的確定是一個計及缺陷的非線性問題。一般而言，這種非線性問題只能以數值方法(如數值積分法，有限單元法等)進行求解。歷史上曾經發展了一些簡化方法來處理桿件的非彈性穩定問題，其中最著名的是切線模量理論和折算模量理論。理想的軸心受壓構件的屈曲，即失穩形式有三種（如下圖）：①彎曲屈曲（Flexuralbuckling

）②扭轉屈曲（Torsionalbuckling）③彎扭屈曲（Torsional

-flexuralbuckling）本課程重點主要圍繞第一種失穩形式——彎曲屈曲展開。§14-2兩類穩定問題計算簡例

穩定問題的分析方法在穩定分析中，有基于小變形的線性理論和基于大變形的非線性理論：線性理論(小撓度理論)中變形是一階微量，計算中將略去高階微量使計算得以簡化，其結果與大變形時的實驗結果有較大偏差。非線性理論(大撓度理論)中考慮有限變形對平衡的影響，其結果與實驗結果吻合的很好，但分析過程復雜。

Plk1、單自由度完善體系的分支點失穩EI=∞1）按大撓度理論分析

PθRAPθOAPcrBⅠ(穩定)Ⅰ(不穩定)Ⅱ(大撓度理論)不穩定平衡Ⅱ(小撓度理論)隨遇平衡分支點A處的臨界平衡也是不穩定的。2）按小撓度理論分析

(θ<<1)小撓度理論能夠得出正確的臨界荷載,但不能反映當θ較大時平衡路徑Ⅱ的下降(上升)趨勢。隨遇平衡狀態是簡化假設帶來的假象。注:1）平衡方程是對變形以后的結構新位置建立的。

2）建立平衡方程時方程中各項應是同量級的，主要力項（有限量）要考慮結構變形對幾何尺寸的微量變化，次要力項（微量）不考慮幾何尺寸的微量變化。

Plk2、單自由度非完善體系的極值點失穩EI=∞1）按大撓度理論分析

P

θRAεP/klθOε=0ε=0.1ε=0.210.7850.380.6600.421.371.47π/2P/klεO10.20.6600.10.