專題07二次函數綜合應用

一、選擇題

1.(2020鄭州)將二次函數y=f—4x+5化成y^a{X~h^+k的形式為()

A.>'=(JC-2)2+1B.y=(x—2產一1

C.y=(x+2)2+lD.y=(x+2)2-l

l.A【解析】配方可得y=幺—4x+4+l=(x—29+1.

2.拋物線)，=2?—4犬+。經過點(2,-3),則)，的最小值為()

A.-1B.2C.-5D.-2

2.C【解析】；拋物線y=2，-4x+c經過點(2,-3),.,.2X22-4X2+c=-3,解得c=-3.，y=

2f一以一3.當*=一忌=1時，y有最小值，最小值為一5.

3.(2020荊門)拋物線y=—f+4x-4與坐標軸的交點個數為()

A.0B.1C.2D.3

3.C【解析】?.?廿一4"c=42—4(-l)X(-4)=0,二拋物線與x軸只有一個交點；當x=0時，>=-4,

二拋物線與y軸只有一個交點.，拋物線與坐標軸的交點個數為2.

4.(2020洛陽模擬)對于二次函數>=4。+1)(*—3),下列說法正確的是()

A.圖象開口向下

B.與尤軸交點坐標是(1,0)和(一3,0)

C.x<l時，y隨x的增大而減小

D.圖象的頂點坐標為(1,12)

4.C【解析】Vy-4(x+l)(x-3)=4a-l)2-16,/.a==4>0,該拋物線的開口向上，故選項4錯誤;

與x軸的交點坐標是(一1,0)、(3,0),故選項B錯誤；當x<l時，y隨x的增大而減小，故選項C正確；

圖象頂點坐標為(1,-16),故選項。錯誤.

5.(2020周口)如圖，拋物線y=o?+—+c(存0)與x軸交于點A(l,0),對稱軸為直線x=-1,當y>0

時，x的取值范圍是()

A.-!<%<1

第5題圖

5.D【解析】?.?拋物線丫=0?+法+以。#0)與x軸交于點4(1,0),對稱軸為直線》=-1,...拋物線

與x軸的另一交點坐標是(一3,0),.?.當y>0時，x的取值范圍是一3<x<l.

6.如圖，直線yi=〃?x+〃和拋物線以=/+人x+c交于A(-3,1)和8(1,2)兩點，使得力>W時的x的

取值范圍是(

第6題圖

A.JC>1B.x>-3

C.-3<JC<1D..r>1或x<-3

6.C【解析】..?直線yi=，〃x+〃和拋物線”=以2+法+c交于A(-3,1)和8(1,2)兩點，.,.由圖象可

知，直線在拋物線乃=依2+以+。上方時，自變量x的取值范圍為一3<x<l,二使得B>經時

的x的取值范圍是一3VxV1.

7.(2020蘭州)已知點A(l,yt),BQ,以)在拋物線)'=一。+1y+2上，則下列結論正確的是()

A.2>yx>yzB.2>?>力

C.%>”>2D.yi>y\>2

7.A【解析】把Xi=1,尤2=2分別代入、=—(工+1)一+2,求得乃=-2,yi=—7?*,-2>vi<y2.

8.(2020南陽)將拋物線y=2?向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，所得到的拋物線為

()

A.y=2(x+2)2+3B.y=2(x-2)2+3

C.y=2(x-2)2—3D.y=2(x+2)2—3

8.B【解析】將拋物線)'=2?向上平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為、=27+3,再向右

平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式為y=2(x—2尸+3.

9.(2020信陽)在同一坐標系中，二次函數產/+版與一次函數y=fciL4的圖象可能是()

9.C【解析】當x=0時，，二次函數y=a/+fer有y=0,可知拋物線過原點，故。錯誤；令+公

=bx—a,此方程無解，則二次函數y=a?十次與一次函數丫=法一。的圖象沒有交點，故8錯誤；當二次

函數y=a?+反開口向上時，。>0,對稱軸在y軸右邊，，一套>0,得從0,...一次函數尸反一”經過第

二、三、四象限，.?.選項C正確.

10.(2020溫州)已知二次函數y=f—4x+2,關于該函數在一1姿3的取值范圍內，下列說法正確的是

()

A.有最大值一1,有最小值一2

B.有最大值0,有最小值一1

C.有最大值7,有最小值一1

D.有最大值7,有最小值一2

10.D【解析】?.?y=x2-4x+2=（x-2-一2,.?.拋物線的對稱軸為直線x=2,?—1<2<3,.?.當x

=2時二次函數有最小值為-2,當x=—1時，拋物線有最大值，最大值為（-1—2）2—2=7.故選D

11.（2020安順）如圖，已知二次函數的圖象與x軸分別交于A,B兩點，與y軸交于C點,

OA=0c.則由拋物線的特征寫出如下結論：

①。加>0;②4ac一層>0；

③a—b+c>0；

④ac+6+l=0.

其中正確的個數是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

11.B【解析】由圖象可知a>0,<?<0,又?.,對稱軸在y軸右邊，■姜>0,，*。，.500,結論

①正確；觀察題圖可知函數圖象與x軸有兩個交點，，層-4ac>0,??.4"一/〈O,結論②錯誤；將工=一1

代入，觀察題圖可知，當x=-1時，y=a—b+c>0,結論③正確；；OA=OC,...點A的坐標為（c,0）,

即“/+6C+<?=0,又,.?0#0,，ac+8+l=0,結論④正確，故選8.

二、填空題

1.（2020哈爾濱）二次函數y=—（x—6尸+8的最大值是.

1.8【解析】???"=-1<0,有最大值，當x=6時，y有最大值，最大值為8.

2.（2020南陽）已知拋物線y=f+bx+4的頂點在x軸上，則b=.

2.±4【解析］根據題意4?：：：］］二（）,.?.廿一16,.?.b=±4.

3.已知拋物線>=以2+法+。伍>0）過4（一2,0）,0（0,0）、8（—3,乃）、C（3,竺）四點，則力與力的

大小關系是.

—2+0

3.）1<丫2【解析】???拋物線與X軸交于A（—2,0）、。（0,0）兩點，拋物線對稱軸為直線》=工一=

-1,VB（-3,必）、C（3,y2）,且拋物線開口向上，，點8離對稱軸較近，二力

4.（2020鄭州）二次函數丫=一口+于）2+2的圖象上有三個點，分別為4—2,%）,8（一1,"），C（1,券），

則力、絲、券的大小關系是.

4.），3<y2Vx【解析】IVO,.?.拋物線的開口向下.根據二次函數的解析式可得其對稱軸為直

線x=一小，離對稱軸的距離越近的點的縱坐標越大，反之，離對稱軸的距離越遠的點的縱坐標越小，A、

B、C三點到直線x=一小的距離分別是2—小，小一1,小+1,；2-小〈小一1<小+1,；.)，3<y2V%

5.(2020泰安)若二次函數y=f+6x—5的對稱軸為直線x=2,則關于x的方程f+法-5=2x—13的

解為.

5.X|=2,X2=4【解析】..?二次函數)，=』+區-5的對稱軸是直線x=2,—?=2,即〃=—4".關

于x的方程f+fec—5=2r—13為f—4x—5=2x—13,解得內=2,x2=4.

三、解答題

□

1.(2020外國語)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線片ax2一±x+c經過點4一1,0),8(4,0),與y軸交

2

于點C,點P是x軸下方的拋物線上一動點(包含點A、8).作直線8C,若過點P作x軸的垂線，交直線8c

于點Q.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在點P的運動過程中，是否存在點P,使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的橫坐標，

若不存在，請說明理由.

【解析】解：(1)由題意，拋物線的解析式可表示為：y=a(x+1)(x-4),

將點(0,-2)代入上式，得：0=1,

2

即拋物線的解析式為：y=-x2-^x~2；

22

(2)由片Lx?—3x—2得：C。-2),由勾股定理得：BC=2V5,

22

由C(0,-2),B(4,0)得直線BC的解析式為：片;x-2,

1q1

設P(m,—m2——m—l),則Qm,—m—2),

222

過Q作QMJ_y軸于M,則QM〃八8,

.CQQMnnCQ_m

BCAB2V54

xj5m

??CQ;丁，

PQ=——m2+2m,PC=J/n2+|—w2--/T?|=m

2N122J

①當CQ二PQ時，

=——m2+2m,解得：m=0（舍）或m=4—J5；

22

②當CQ二PC時，

解得：m=0(舍)或m=2或m=4(舍)；

③當PQ二PC時,

一；n)2+2m=m+,解得：m=0(舍)或m=g；

綜上所述，存在點P,使△CPQ是等腰三角形，點P的橫坐標為：4—行或2或上.

2

2.(2020開封)如圖，拋物線L：，=0&+以+3與x軸交于A、B兩點(A點在B點的左側)，與y軸交于

點C,已知點8(3,0),拋物線的對稱軸為x=L

(1)求拋物線的解析式；

(2)將拋物線向下平移/)個單位長度，使平移后所得的拋物線的頂點落在AOBC內部(包含△O8C邊

界)，求h的取值范圍；

(3)設點P是拋物線上上任一點，點Q在直線/：x=-3上，△P8Q能否成為以點P為直角頂點的等腰

直角三角形？若能，寫出符合條件的點P的坐標，若不能，請說明理由.

即拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3.

⑵在y=-x2+2x+3中，當x=0時，y=3,即C(0,3),

由8(3,0),C(0,3)得直線BC的解析式為:y=~x+3,

在y=—X2+2X+3中,當x=l時，y=4,

在y=-x+3中，當x=l時，y=2,

若將拋物線向下平移h個單位長度,使平移后所得的拋物線的頂點落在△08C內部(包含aOBC邊界),

則2—W4.

(3)①當P在x軸上方時，

過點P作PD_L/于M,PN_Lx軸于N,由△P8Q為等腰直角三角形可知，△P8N絲△PQ/W,

則PN=MQ,

設P(m,y),則PN=PA4=y,而P/W=m+3,

y-m+3,

—m2+2m+3=m+3,解得：m=0或m=l,

即P(0,3)或(1,4)；

②當P點在x軸下方時，同理可得:

2_，足3+>/33_p.3-5/33

—m+2m+3=-m—3,1解1n得：m=------或"?=-------

22

9+區一,3-屈9-顯、

即pj+產^)或(丁「一^)，

綜上所述,ZXP8Q能成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形，點P的坐標為：(0,3)或(1,4)或(土產,

9+屈、-3-屈9-底、

-丁)或(丁，

3.(2020省實驗)如圖，已知拋物線經過點A(—1,0),8(4,0)((0,2)三點，點。與點C關于x軸對稱，點

P是線段A8上一個動點，設點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線/交拋物線于點Q,交直線B0于

點M.

(1)求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

(2)在點P運動過程中，是否存在點Q,使得△8QM是直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不

存在，請說明理由.

y

￡tL.

【解析】解：(1)設拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-4),

將點C(0,2)代入上式得：a=--,

2

即拋物線的解析式為：y=--(x+1)(X-4)=--X2+-X+2.

222

(2)存在；由題意知，NQM8X90。分兩種情況討論：

①當NMQ8=90°時，此時點Q與點戶重合于點A,即QLL。)；

②當NQB/W=90°時，△8PQSZ\MP8,

：.BPi=PM?PQ,

.點D與點C關于x軸對稱，

：.D(~2,0),

由8(4,0),D(0,-2)得直線8。的解析式為:y='x-2,

2

j]3

設P(m,0),則M(m,—m—2),Q(m,-—m2+—m+2),

222

II3

/.BP=4—m,PM-2——m,PQ=--m2+—m+2,

222

ii?

(4-m)2=(2——m)(——m2+—m+2),

222

解得：m=3或m=4(舍)，

即Q(3,2);

綜上所述，點Q的坐標為：(-1,0),(3,2).

4.(2019信陽)如圖,頂點為(2,—1)的拋物線丫=￡*+版+<:((7r0)交y軸于點C(0,3),交x軸于A,B兩點，直線

/過AC兩點，點P是位于直線/下方拋物線上的動點，過點P作PQ〃y軸，交直線/于點Q.

⑴求拋物線的解析式；

(2)求線段PQ的最大值及此時點P的坐標；

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在點G,使ABCG為直角三角形?若存在，請直接寫出點G的坐標;若不存在,

請說明理由.

y

【解析】解：(1)???拋物線的頂點為(2,-1),

即拋物線解析式可表示為：y=a(x-2^-\,

將C(0,3)代入上式得：a=l,

即拋物線的解析式為：y=(x-2)2-1=Y-4x+3.

(2)由y=x2-4x+3,得當y=0時，x=l或x=3,

即8(1,0),4(3,0),

由A(3,0),C(0,3)可得直線AC的解析式為：y=—x+3,

設Q(m,—m+3),則P(m,nr-4m+3),0<m<3,

PQ=—m+3—(nr-4/n+3)

=-+3m

9

+

4-

當寸3，PQ的長取最大值9三，此時點P(3二，3

2424

(3)存在，設G(2,n),

由8(1,0),C(0,3)得：

BC2=10?BG2=l+n2,CG2=4+(n—3)2,

①當點C為直角頂點時，由勾股定理得：

l+n2=4+(n-3)2+10,解得：n=—,即G(2,—)；

33

②當點8為直角頂點時，由勾股定理得：

l+n2=4+(n—3)2—10,解得：n=—,即G(2,—)；

33

③當點G為宜角頂點時，由勾股定理得:

l+n2=10-4-(n-3)2,解得：n=l或n=2,即G(2,1)或(2,2)；

綜上所述，點G的坐標為：(2,—),(2,i),(2,1),(2,2).

33

5.(2020許昌)已知：如圖，拋物線片ax?-2ax+c(a*0)與y軸交于點C(0,4),與x軸交于點A、

8,點A的坐標為(4,0).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)點Q是線段A8上的動點，過點Q作QE〃AC,交BC于點E,連接CQ.當4CQE的面積最大時,

求點Q的坐標;

(3)若平行于x軸的動直線/與該拋物線交于點P,與直線AC交于點F,點D的坐標為(2,0).問:

是否存在這樣的直線/，使得AODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

〃。+

16-8c=0解得：\a=~2

c=4c=4

???拋物線的解析式為：y=.lx2+x+4.

2

(2)過點￡作EG_Lx軸于點G,設點Q的坐標為(m,0),

???點8(-2,0),

^?AB=6fBQ=m+2

VQE//AC

.BEBQ

??一—/

BCAB

'CEG//OC,

.BEEG

??--=---

BCOC

,,?-B-Q=-E-G-

ABOC

日口相+2EG

即--------=------,

64

.?2m4-4

??EG----------，

3

=-BQ*CO--BQ?EG

22

1/-、/〃2m+4、

=-(m+2)(4--------)

23

=--Cm-1)2+3

3

...當m=l時,SACQE有最大值3,此時Q(1,0).

(3)存在.分三種情況討論：

①若DO=DF

由A(4,0),D(2,0)得：AD=OD=DF=2

在R3AOC中，OA=OC=4,

,\ZO4C=45O,NDFA=NOAC=45°

：.ZADF=90°,

.,.點F的坐標為(2,2),

由-1X2+X+4=2,得XFI+非,x2-l->/5,

2

即點P的坐標為：P(1+石，2),P(1-6，2).

②若FO=FD,

則F在線段。。的垂直平分線上，即F點橫坐標為1,

：.F(1,3),

由—1X2+X+4=3,得*I=1+G，X2=1-V3,

2

即點P的坐標為：P(1+G，3),P(1-73,3).

③若OD=OF,

由勾股定理得：AC=4五,

...點。到AC的距離為20,

由垂線段最短可知，OF^2^2>OD,故此種情況不存在；

綜上所述，存在這樣的直線/,使得AODF是等腰三角形，點P的坐標為：(1+行，2),P(1-A/5,2),

P(1+G,3),(1->/3,3).

6.(2020鄭州)如圖所示，經過原點0的拋物線片c^+bx(80)與x軸交于另一點A(L。)，在第一象

限內與直線片x交于點8(2,t).

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)在第四象限內的拋物線上有一點C,滿足以B、。、C為頂點的三角形的面積為2,求點C的坐標；

(3)如圖2所示，若點M在這條拋物線上，且NMBO=N48O,在(2)的條件下，是否存在點P,使

得APOCsAMOB?若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由.

【解析】解：(1);y=x過點B(2,t),

t=2,即B(2,2),

將48兩點坐標代入拋物線解析式，得:

4〃+2b=2

,93，

%十二。=0

142

解得:a=2,b=—3,

拋物線的解析式為：片2/-3X；

(2)過C作CD〃y軸，交x軸于點￡,交。8于點D,過B作8FLCD于F,如圖所示,

設C(t,2t2-3t),則E(t,0),D(t,t),點C在第四象限,

：.OE=t,BF=2~t,CD=t-(2t2~3t)=~2t2+4t,

??5AO8C=SACDO+SACDB

=--CD(OE+BF)

2

=-(—2t2+4t)(t+2—t)

2

=—2t2+4f,

-2t2+4t=2,解得:t=l,

：.C(1,-1).

(3)存在.如圖，連接AB、OM,設BM與y軸交于點N,

由8(2,2),知NAO8=/NOB=45。，

VOB=OB,ZABO=ZMBO,

.?.△A。哈△NOB,

33

：.ON=OA=-,即N(0,-),

22

設直線8M的解析式為：*kx+±,

2

將8(2,2)代入得：△,

4

1a

即直線8M的解析式為：*上x+2,

42

聯立片，x+3,y=2x2—3x?解得:

42

x=2,y=2（點8）或x=-3,y=—

832

即M（-32,竺45）,

832

VAPOC^/\MOB,

...絲=絲=竿=2,ZPOC=ZBOM,

OPOCV2

①當點P在第一象限時，過M作MGJ_y軸于G,過P作PH_Lx軸于H,如圖,

,?ZCAO=Z8OG=45°,ZBOM=ZBOC,

：.ZGOM=ZPOH,

"：ZPHO=ZMGO=90°,

.?.△MOGs"。”,

.OMMGOG、

??=------==2,

OPPHOH

345345

由M（一2,3）得：OG=—,

832832

345

：.PH=—fOH=—f

1664

453

即P(上，2_).

6416

②當點P在第三象限時，過M作MG_Ly軸于G過P作PH_Ly軸于H,

y

r=*

345

同理得：PH=—,0H=—,

1664

綜上所述，滿足條件的點p的坐標為：（一上，（竺，—）.

16646416

4

7.（2020信陽）如圖，在矩形。ABC中，點。為原點，邊。4的長度為8,對角線AC=10,拋物線片-一

9

x2+bx+c經過點A、C,與AB交于點D.

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP,連接PQ,設

CP=m,ACPQ的面積為S.

①求S關于m的函數表達式并求出S最大時的m值；

②在S最大的情況下，在拋物線y=-1x2+bx+c的對稱軸上，若存在點F,使ADF。為直角三角形，請

直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由.

：.C(6,0),

將八(0,8)、C(6,0)兩點坐標代入y=-±x2+bx+c,得:

9

4

c=8,——x36+6b+c=0,

9

4

解得:b=—,c=8,

3

4、4

???拋物線的解析式為：片-與2+，+8；

93

.QEAB_3

'~QC~~AC~~5

即一Q￡_=3,

10-/7：5

33

QE=—(10-m)=6——m,

55

：.S=-CPQE

2

=—m(6——m)

25

3

(m-5)2+—

102

當m=5時，5取最大值;

②拋物線片-士x?+±x+8的對稱軸為x=工,

932

可得：D(3,8),Q(3,4),

由圖可知，

3

(/)當/FDQ=90°時，Fj(-,8),

2

(//)當NFQD=90°時,尸2(—，4),

2

3

(///)當NDFQ=90。時,設F(一，n),

2

由勾股定理得：FD2+FQ2=DQ2,

即'+(8—+；+("4)2=16,

解得，n=64-sKn=6-,

22

?匚r3…幣、匚/3人用、

2222

綜上所述，點F坐標分別為F](—,8)1尸2(—?4)>F3(—,6+——)>F4(—?>6―――).

222222

8.(2020外國語)如圖，拋物線y=-Z+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐

標為(-1,0),點C的坐標為(0,3),點。和點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線A。與y軸交于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一點，點Q是坐標平面內一點，以A,M,P,Q為

頂點的四邊形是以AM為邊的矩形.若點T和點Q關于AM所在直線對稱，求點T的坐標.

【解析】解：(1)將(-1.0),(0,3)代入y=-x?+bx+c,得：

—1—b+c=0,c=3,解得：b=2,c=3,

即拋物線的解析式為：y=-x?+2x+3.

(2)由y=-X2+2X+3知,點M(l,4),

分兩種情況討論，

①當四邊形MAPQ是矩形時，過M作MHLx軸于H,則MH=4,AH=2,

易證得：ZAPO=ZMAH,

.\tanZAPO=tanZMAH,

OAMH、

H即n——=----=2,

OPAH

：.0P=-9

2

即P(0,——),

2

由4-1,0)、M(l,4),P(0,-L)得：點Q坐標為(2,-),

22

??,點7■和點Q關于AM所在直線對稱，

即點Q與點7■關于點例(1，4)對稱，

9

A7(0,-)；

2

②當四邊形AMPQ是矩形時，

Q1

綜上所述，點T的坐標為(0,-),(0,-一).

22

9.(2020焦作)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數"=*+6的圖象經過點4-2,0),與反比例函數>

x

(x>0)的圖象交于點B(a,4).

(1)求一次函數和反比例函數的表達式；

k

(2)設M是直線48上一點，過M作/VW〃x軸，交反比例函數y=—(x>0)的圖象于點N,若以4,

X

。，M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的橫坐標.

【解析】解：⑴將4-2,0)代入y=x+b,得：b=2,

即一次函數的解析式為：y=x+2,

將B(a,4)代入y=x+2,得:a=2,

即8(2,4),

將8(2,4)代入y=與得：x=8,

X

Q

即反比例函數的解析式為：y=—.

x

8

(2)設m+2),則A/(--------,m+2),

777+2

由題意知，MN//OA,則需MN=04=2時，以4,O,M,/V為頂點的四邊形是平行四邊形,

m----------=2,

"2+2

解得：2A/^—2或m=-2^/5—2(舍)或m=2G或m二一2\/3(舍)，

.?.點M的坐標為：(2>/2-2,2貝)或(24，28+2).

4.

10.(2020許昌)如圖1,二次函數y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),8(-1,0)兩點，與y

3

軸交于點C.

(1)求該二次函數的解析式；

(2)設該拋物線的頂點為D,求AACD的面積(請在圖1中探索)；

(3)若點P,Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動，其中一點到

達端點時，另一點也隨之停止運動，當P,Q運動到t秒時，AAPQ沿PQ所在的直線翻折，點A恰好落在

4

—x9+30+c=0,8

ab=—

/.\，解得：3,

4

—xl—。+c=0c=-4

3

即拋物線的解析式為：片九2-?x-4；

33

(2)過點。作DM_Ly軸于點M,

4,?,、216

=—(X-1)--，

33

?,?點D(1,-3)、點C(0,-4),

3

s&ACD=5梯形AOMD~CDM~AOC

1,…、161/16A、，1一

=-x(1+3)x---x(--4)xl--x3x4

23232

=4；

(3)四邊形4PEQ為菱形，理由如下：

E點關于PQ與4點對稱，過點Q作QF,4P于F,

?：AP=AQ=tf

：.AP=AQ=QE=EP1

???四邊形AQEP為菱形，

VFQ//OC,

.AFFQAQ

^~OA~~OC~~ACy

.AFFQt

"3"一"TV

343

??AF——11FQ二—trQ(3-—t

555

4.R

,:E在二次函數y=—x2--x-4上，

33

—(3』)2二(3』)-4,

53535

."=受或t=0(舍去)，

64

-e).

816

11.(2020新鄉)如圖，一次函數y=-；x+2分別交V、x軸于4、B兩點，拋物線y=-x2+fec+c過A,

B兩點.

(1)求這個拋物線的解析式；

(2)作垂直于x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這個拋物線于N.求當t取何值時,

MN有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的情況下，以A,M、N、D為頂點作平行四邊形，直接寫出第四個頂點。的坐標.

【解析】解：(1)在y=—gx+2得，當x=0時，y=2；y=0時，x=4>

即A(0,2),B(4,0),

把A(0,2),8(4,0)代入y=-x2+bx+c,得:

bJ

c=2,解得.

2.

T6+4/?+c=0

c=2

拋物線解析式為y=-丁+gx+2.

17

(2)由題意知,M(t,--r+2),N(t,-r+-t+2),

22

7i

：.MN=-t2+-r+2-(——r+2)

22

=-("2y+4,

.?.當t=2時,MN有最大值4.

(3)根據平行四邊形的性質，得：。點坐標為：(0,6),(0,-2)或(4,4).

12.(2020周口)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于4-1,0),8(4,0)兩點，

與y軸交于點C.

(1)求這個拋物線的解析式；

(2)設E是該拋物線上位于對稱軸右側的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過

點E作EHLx軸于點再過點F作FGJ_x軸于點G,得到矩形EFGH.在點E的運動過程中，當矩形EFG”

為正方形時，直接寫出該正方形的邊長.

【解析】解：(1);拋物線丫=￡/+隊+4與x軸交于4-1,0),8(4,0)兩點,

.J〃-。+4=0

??16〃+4/?+4=0'

解得：匕=1,

即拋物線的解析式為：y=-x2+3x+4.

(2)四邊形EFGH是矩形，

當EF=EH時，四邊形EFGH是正方形,

3

設E(m,—m2+3m+4),則F(3—m,—m2+3m+4),m>—,

2

；.EF=2m-3,fH=|-m2+3m+4|,

.'?2m—3=|—m2+3m+4|>

5+V29-5—5/29,仝、f1+V29-1—5/29，仝、

解得：m=-------或m=------------(舍)或m=--------------或m=------------(舍)

2222

,正方形的邊長￡F=2+J溝或岳一2,

綜上所述，正方形EFGH的邊長為：2+標或犧一2.

13.(2020鄭州)如圖所示，平面直角坐標系中直線y=x+l交坐標軸于點4。兩點，拋物線y=ax2+bx

-3經過A、C兩點，點C坐標為(。，5).點M為直線AC上一點，過點M作x軸的垂線，垂足為F,交

拋物線于點N.

(1)求拋物線解析式；

(2)是否存在點M,使得以點D、E、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，如果有，求點M的坐標，

如果沒有，請說明理由.

【解析】解：???直線y=x+l交坐標軸于點A、D兩點,

A4(-1,0),D(0,1),

:點C(a,5)在直線y=x+l上，

/.o=4,即C(4,5),

將4—1,0),C(4,5)代入y=ax，bx—3得：

a-b-3=0fa=l

,解得：<，

\6a+4b-3=5[b=-2

拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

(2)存在，

E(0,-3),；.DE=4,

由題意知：DE〃/WN,

...當DE=MN=4時，四邊形DENM是平行四邊形，

設N(m,m?—2m—3),則m+1),

|m+1-(m2—2m—3)|=4,

3-V4I

解得：m-0(舍)或m-3或m=3+或m_

22

5+V413-15-y/4l

綜上所述，點M的坐標為：(3,4),(“，----------),\-----------,-----------)

2222

14.(2020鄭州)如圖，已知二次函數丫=雙2_(2〃-:卜+3的圖象經過點44,0),與，軸交于點8,在

x軸上有一動點C(m,0)(0<m<4),過點C作x軸的垂線交直線AB于點E,交該二次函數圖象于點D.

(1)求。的值和直線48的解析式；

(2)過點。作DFJ_A8于點F,設AACE,△DEF的面積分別為S1，S2,若5產452，求m的值；

(3)點H是該二次函數圖象上第一象限內的動點，點G是線段AB上的動點，當四邊形DEGH是平行

四邊形，且平行四邊形OEGH的周長取最大值時，求點G的坐標.

or?-（2a-（卜+3得:3

【解析】解：（1）將44,0）代入y=Q———

4

???拋物線的解析式為：^