高考立體幾何與空間向量（易中難）專項訓練

立體幾何與空間向量

?彼面角月?

目錄

一、異面直線所成角

二、直線與平面所成角

三、二面角問題

四、面面夾角

五、存在性問題與折疊問題（綜合）

一、異面直線所成角

注意向量的夾角與異面直線所成的角的區別：當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角

時，就是此異面直線所成的角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直

線所成的角.

1、如圖，在四棱錐中，底面46（小為直角梯形，AD//BC,BAD=90,PAL

底面/笈/，且E4=AD=AB=2BC,〃為/T的中點.

（1）求證：PB1DM,

（2）求〃,與知所成角的余弦值.

2、如圖(1)是將一副直角三角尺拼成的平面圖形，已知8C="，ZACB=45°,ZD=60°,

現將ABC沿著8c折起使之與△88構成二面角，如圖(2).

(1)(2)

(1)當三棱錐A-8CD體積最大時，求三棱錐A-BCO的體積;

(2)在(1)的情況下，求AC與8。所成角的余弦值.

3、如圖，在三棱錐月/及7中，為，底面48G/劭0=90°.點〃，E,/V分別為棱為，PC,

8。的中點，材是線段4。的中點，刈=4C=4,AS=2.

(1)求證：/加〃平面8〃￡；

(2)已知點〃在棱身上，且直線A"與直線原所成角的余弦值為雪，求線段力〃的長.

4、如圖，在幾何體A8CDE中，底面A8C為以AC為斜邊的等腰直角三角形.已知平面

平面ACD,平面ABC2平面8CE,。石平面A5C,AT>，￡>E.

(D證明：OEJ,平面ACQ；

⑵若AC=28=2,設M為棱BE的中點，求當幾何體ABCDE的體積取最大值時AM與8

所成角的正切值.

5、如圖，在四棱錐尸-ABCD中，已知平面/時，且四邊形/灰力為直角梯形,

⑴證明：AB1PD；

(2)線段CP上是否存在一點也使得直線4"垂直平面故?，若存在，求出線段4M的長，若

不存在，說明理由；

(3)點0是線段8。上的動點，當直線々與如所成的角最小時，求線段園的長.

二、直線與平面所成角

利用向量求直線與平面所成的角有兩個思路：①分別求出斜線和它在平面內的射影直線的

方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；②通過平面的法向量來求，即求出斜

線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.

注意夾角的取值范圍：若直線/與平面。的夾角為0,直線/的方向向量】與平面。的法向

nn

量〃的夾角為￡,則。=”■一￡或。=萬一-

1、已知四棱錐P-/WCZX如圖)，四邊形4時為正方形，面面ABCI),PA=PB=AB=2,

M為4〃中點.

(1)求證：PCL3M；

(2)求直線與平面PBM所成角的余弦值.

2、如圖，四棱錐尸-4%/中，底面］靦為菱形，PD=PB,H為PC上的點,過/〃的平面分

別交陽，PD于點M,N,且如〃平面41幽：

(1)證明：，極LAG

(2)設〃為27的中點，PA=PC=/iAB,為與平面被力所成的角為60°,求4〃與平面

所成角的正弦值.

3、如圖，在三陵錐P—A3C中，AE4c為等腰直角三角形，PA=PC,AC=2,AABC

為正三角形，。為AC的中點.

(1)證明：平面平面P4C；

(2)若二面角P-AC-B的平面角為銳角，且棱錐尸一ABC的體積為立，求直線小與

6

平面PCB所成角的正弦值.

TT

4、已知在直三棱柱ABC-44G中，E,尸分別為棱和AG的中點，若N84C=:，

4

AC=2y/2,AB=3.

c

(1)證明：平面CEF_L平面ACG4；

(2)若直線EG與平面C所所成角的正弦值為正且AA<3,求直三棱柱ABC-A百匕的體

3

積.

5、如圖，在正三棱柱ABC-4用G中，〃為棱A%上的點，E,F,G分別為/C,AG,BB,

的中點，AC=AA=2.

(1)求證：FG1AC

(2)若直線AG與平面板所成角的正弦值為立，求/〃的長.

6、在直四棱柱A8CQ-AAG。中，底面A8CO是菱形，AC交BD于點、0,

/84。=60。,48=2石.

(1)若AA=3,求證：平面4。。1平面BOQ；

⑵若直線功與平面A3所成角的正弦值為年’求四棱柱板…BCQ的高.

7、如圖，在直三棱柱ABC-AAG中，AB=AC,點尸是用G的中點，點￡滿足

C]E=AC]C(O<A<]).

5,

⑴求證：AFL&E；

(2)若AB1AC,A8=；A4,,直線4尸與平面AgE所成的角為60。，求2的值.

三、二面角問題

利用向量法計算二面角大小的常用方法

找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量

的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.

找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩

個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

注意：求余弦值時需加絕對值，再判斷是鈍二面角還是銳二面角

1、如圖，直四棱柱4a?-的底面是菱形，44=4,AB=2,NBAD=60",E,M,N

分別是6GBB\,4〃的中點.

(1)證明：劭V〃平面G班'；

(2)求二面角作物「V的正弦值.

AB

2、如圖，已知圓錐P-A8C,4?是底面圓。的直徑，且長為4,。是圓0上異于46的一

點，PA=26設二面角P-AC-8與二面角P—8C—A的大小分別為a與4.

(2)若tan夕=Jitana，求二面角A-PC-3的余弦值.

3、如圖所示，在四棱錐尸一/靦中，底面/靦為平行四邊形，平面為平面/時，△必〃

是邊長為4的等邊三角形，BCLPB,￡是/。的中點.

(1)求證：BE1PD；

(2)若直線4?與平面為〃所成角的正弦值為寧，求平面序〃與平面所成的銳二面角的

余弦值.

A

4、如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，PO_L底面ABCD,AB//CD,AD1CD,

AD=AB=l，BC=6-

(1)求證：平面PHDJ_平面PBC；

(2)設H為CD上一點，滿足CH=2HO，若直線PC與平面PBD所成的角的正切值為逅,

3

求二面角H—P3-C的余弦值.

5、如圖，四邊形/以力是圓柱底面的內接四邊形，AC是圓柱的底面直徑，PC是圓柱的母

線，￡是〃1與即的交點，AB=AD,ZBAD=60°.

(1)記圓柱的體積為匕，四棱錐尸-ABC。的體積為匕，求9；

V2

(2)設點尸在線段上，PA=4PF,PC=4CE,求二面角尸-8-尸的余弦值.

6、如圖，邊長為2的正方形ABC。所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CO上

異于C，。的點.

(1)證明：平面平面創紇；

(2)當三棱錐M-A8C體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

7、如圖，在四棱錐尸—ABCD中，四邊形ABCO是直角梯形，ADJ.AB,AB//CD,

PB=CD=2AB=2AD,PD=0AB,PC1DE,E是棱28的中點.

(1)證明：平面ABC。；

(2)若AF^ZAB,求平面DEF與平面PA/)所成的銳二面角的余弦值的最大值.

8、如圖，在等腰直角ABC中，N84C=90,08和EC都垂直于平面A8C,且.

EC=8C=3。8=6,尸為線段AE上一點，設4尸=2AE(O</1<1).

(D當X為何值時，。尸〃平面A8C；

(2)當二面角石-。/-C的余弦值為姮時，求四棱錐尸-8CE。的體積.

11

園?引

四、面面夾角問題：設平面與平面的夾角為。，則|cose|=bE代入求解，與求二面角不

阿?陶

同不需要觀察，公式中一定有絕對值.

1.如圖，在多面體ABCDE中，已知A8〃￡>f,ABA.BD,AE=CE,AB=BD=2DE=2,

△BCD為等邊三角形.

C

(1)求證：AC±BE；

(2)求平面ACE與平面BCE夾角的余弦值.

2、如圖在幾何體ABC-A^O中，..ABC是等邊三角形,直線0C，平面4與0,平面A410c1

平面8月OC,A4,/IBBJIOC,AAt=BBi=10C.

(1)證明：OA±OB1；

(2)在“①。M〃平面ABC；②CMJ?平面BBQC”兩個條件中任選一個，補充到下面問題

中，并解答.

點歷為線段AA上的一點，滿足,直線QM與平面A/0所成角的大小為30,求

平面A8C與平面MBQ的夾角的余弦值.

(請在答題紙上注明你選擇的條件序號)

3、如圖，在正三棱柱ABC-A#G中，AB=2,。是棱A8的中點.

4c

B

(1)證明：平面AC。，平面A8MA；

(2)若A4,4,2],求平面\CD與平面ACG的夾角余弦值的取值范圍.

4、如圖，直角梯形A8C￡>中，CD=2AB=2BC,ABJ.BC,AB//CD,點E為的中

點，VADE沿著AE翻折至V4>E,點〃為PC的中點，點N在線段8c上.

(1)證明：EM_L平面P8C；

BN

(2)若平面PAEL平面MCE,平面EMN與平面PR的夾角為30，求訴的值.

BC

五、存在性問題與折疊問題(綜合)

存在性問題：在設存在性問題過程中，要學會減少未知數個數，學會用向量的共線方法去設

折疊性問題：要注意在折疊翻轉過程中的不變量

1、已知在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCO是邊長為4的正方形，△P4O是正三角形,

⑦1平面PAD,E,F,G,。分別是PC,PD,BC,AD的中點.

(I)求證：砥平面ABCD；

(II)求平面甌;與平面A8CD所成銳二面角的大小；

(HD線段Q4上是否存在點M，使得直線GM與平面EFG所成角為若存在，求線段

6

的長度；若不存在，說明理由.

2、已知如圖1直角梯形ABC。，ABIIICD,NZMB=90。，AB=4,AD=CD=2,

￡為48的中點，沿EC將梯形ABC。折起(如圖2),使平面平面AECO.

(1)證明：6E1平面AECO；

(2)在線段CD上是否存在點F,使得平面FAB與平面EBC所成的銳二面角的余弦值為|,

若存在，求出點尸的位置；若不存在，請說明理由.

3、如圖1,在.ABC中，NACB是直角，CA=CB=2五,尸是斜邊A3的中點，M,N分別

是P8,PC的中點.沿中線CP將C4P折起，連接AB,點。是線段AC上的動點，如圖2

所示.

(1)求證：MN//平面ABC；

(2)從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個條件作為已知，當二面角Q-MV-C的余弦值

為迫■時.求gg的值.

3AC

條件①：BP1AC；條件②：AB^AC.

4、已知矩形488中，9=4,BC=2,E是C。的中點，如圖所示，沿8E將.8CE翻折

至4BFE,使得平面8在1"!_平面ABCD.

(2)若。尸=彳。8(0</1<1)是否存在；1,使得PF與平面短EF所成的角的正弦值是如？若

3

存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

5、如圖①，已知正方形46(力的邊長為4,E,尸分別為"，a'的中點，將正方形彼切沿

所折成如圖②所示的二面角，且二面角的大小為60°,點M在線段48上(包含端點)，連接

AD.

(1)若"為48的中點，直線，監'與平面4龐的交點為0,試確定點〃的位置，并證明直線仍

〃平面EMC；

(2)是否存在點M使得直線應1與平面￡必所成的角為60°?若存在，求此時二面角"的

廠的余弦值；若不存在，說明理由.

圖①圖②

6、如圖(1),邊長為2的正方形/W防中，D，C分別為EF、上的點，且ED=CF,

現沿。。把ACO尸剪切、拼接成如圖(2)的圖形，再將ABEC,\CDF,A46。沿BC，

CD,8。折起，使E、F、A三點重合于點A',如圖(3).

⑴求證：BA'±CD；

(2)求二面角3—CD—A'最小時的余弦值.

7、如圖①，中，AB=BC=2,ZABC=90°,E,尸分別為邊48,〃1的中點，以歷1為

折痕把△力斯折起，使點1到達點夕的位置(如圖②)，且用=應：

(1)證明：牙工平面分氏

(2)設N為線段%上的動點(包含端點)，求直線與平面5所成角的正弦值的最大值.

圖①圖②

8、如圖，正三棱柱ABC-DE/中，AB=AD^2,點G為線段8E上一點(含端點).

(1)當G為BE的中點時，求證：COJ?平面AFG

(2)是否存在一點G,使平面AFG與平面ABC所成角的余弦值為匕？若存在，請求出意

13BE

的值，若不存在，請說明理由.

9、圖1是直角梯形力閱9,AB//CD,?￡>90?,四邊形力腔1是邊長為4的菱形，并且

ZBC￡=60°,以跳1為折痕將BCE折起，使點，到達G的位置，且A&=2遙，如圖2.

圖1圖2

(1)求證：平面BCE，平面/質；

(2)在棱力G上是否存在點只使得一到平面ABQ的距離為手？若存在，求出直線砂與

平面4BG所成角的正弦值.

高考立體幾何與空間向量(易中難)專項訓練參考答案

一、異面直線所成角

1、【分析】以AB,AD,AP為基底，利用向量法求解.

(1)兩條直線垂直可轉化為兩個向量垂直，利用兩個非零向量數量積為零可得兩向量垂直;

(2)兩條直線的夾角可轉化為兩個向量的夾角，利用向量數量積求夾角.

【詳解】(D證明：結合圖形，知PB=AB-AP，，

DM=-(DP+DC]=-\AP-AD+AB--AD\=-AP+-AB--AD

2、，2)224

因為底面ABC￡>,所以P4_L43,PAA.AD,

WPAAB=O>PAAD=O.

一,UUHULIU1

又/BAQ=90°,所以A8-AO=0.

所以PBDM=[AB-AP)\-AP+-AB--AD\=-^AB'

5(,AB=AP,所以AB?=Ap2，PBDM=0.

所以PBLDM.

(2)設2=AD="=2BC=2a,

因為PD=A￡>-”，AC=AB+^AD

所以|p*|A￡>-AP『=網,-2A￡hAP+|AP[=8°2,|叫=2億.

|AC|=AB+^AD=AB2+ABAD+^AD：=5/,|AC|=&

PO.AC=(AO-AP)(AB+gAO)=gAO。=2/

記直線AC和P。所成角為6,

ACPD2a2_Th)

貝I]cos"

AC^PD石ax2-Jla10

所以直線AC和P￡>所成角的余弦值為巫.

10

2、【分析】(1)作AO工8C,根據題意先求得C。，40的值，折起過程中，△88面積不

變，當A。為三棱錐A-BCD的高時，三棱錐A-BCD體積最大，再根據三棱錐的體積公式

求解即可；

(2)在(1)的情況下建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】(1)如圖，作AO18C,

由題意C￡>=0，A0=日，

折起過程中，△BCD面積不變，當A。為三棱錐A-8CD的高時，三棱錐A-BCD體積最大,

1v4clV6-V2x/6&

V

A-BCD=§SBCD-AO--------------=-?

,0,0,D當Go,

7

設AC,BD所成的角為凡

3旦

62四4

???AC與皿所成角的余弦值為手.

3、解：如圖，以4為原點，分別以荔，AC,前的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間

直角坐標系.依題意可得加0,0,0),8(2,0,0),<7(0,4,0),尸(0,0,4),0(0,0,

2),￡(0,2,2),M0,0,1),Mb2,0).

zp

(1)證明：應'=(0,2,0),礪=(2,0,-2).

設〃=(x,y,z)為平面應無的法向量，

n?證0=,12y=0,

則《即L°八

[〃?礪=0,限-2z=0.

不妨設z=l,可取〃=(1,0,1).

又訪三(1,2,-1),可得筋V、〃=0.

因為也W平面BDE,

所以助V〃平面BDE.

(2)依題意，設4〃=;;(0W/?<4),則〃(0,0,A),

進而可得礪=(-1,-2,/?),雄=(一2,2,2).

由已知，得Icos(Nil,BE)|=>''

胸應|

|2A-2_^7

一、斤+5X2小一21，

整理得10萬一21方+8=0,解得人=名或力=〈.

□Z

所以，線段4〃的長為.或)

0乙

4、【分析】(1)先做一條輔助線，再通過面面垂直的性質得到/X)，平面ABC,再根據DE

平面ABC,可得進而根據線面垂直的判定定理即可證明.

(2)過點E作ENJL8c交8c與點N,連接QN,通過題目條件和小問1結論證明四邊形

ODEN為平行四邊形，然后把多面體ABSE分為兩個三棱錐求體積，令

DE=x(O<x<l),把求體積的最大值轉化為求關于x的函數的最大值.構造函數f(x),通

過導函數判斷其單調性，進而得到/(X)的最大值，求出此時的X值.然后以點。為原點建立

空間直角坐標系O-^z,通過向量法求AM與。力所成角的正切值.

【詳解】⑴過點。作交AC與點。，

平面A8C1平面ACD,且兩平面的交線為AC

DO1平面ABC又DE!平面ABCDOA.DE

又且49cZ）O=￡）￡>E_L平面AC。

（2）過點E作&V_L8C交BC與點N,連接ON

平面48C1平面5CE,且兩平面的交線為BC

,?.￡7V_L平面ABC又.DE，平面ABC.1。，后到平面ABC的距離相等

ADOEN且DO=EN,0%_1_平面4。。;.CO=ON,DE=ON

二匕?￡=y^e+V…中NS.+射'A8=gEN+；DEDO=；DO(l+DE)又

DO2+DE1=DO1+CO2=CD2=1,令DE=x(04E)

則Vs=/（x）=1DO（lD￡）=軍（"X），,（x）=^=70-2x）.

+

所以〃x）在（o，￡|上單調遞增，在U上單調遞減，

即―出邛，當且僅當時取得最大值.

如圖所示，以點。為原點建立空間直角坐標系。-孫z,

則?一50,0）,8（-扛0）上哈乎，嗚,0,0）,￡>0,0,[

所以書,AM=（；（韋,8=（一；,0書.

\AMCDJ37

設A例與C。所成角為a,則cosa=j~--=彳7，則tana=6,即當幾何體ABCDE體

|AM|.|CC

積最大時，AM與C。所成角的正切值為6.

5、【分析】（1）通過定義法證明線面垂直，即可證出兩線垂直.

（2）通過建立空間直角坐標系，表達坐標點，進而根據線面垂直的性質，證明直線4V與C。

和PD都垂直，求出點”的坐標，進而求出線段4"的長.

（3）通過向量關系表達出8。，再表達出CQ,列出直線C0與分所成的角的表達式，求

出最值和最值成立的條件，進而求出線段8。的長.

【詳解】（1）由題意，

在四棱錐中，

24面ABCD,ABu面ABC。，ADu面ABC￡）,

APA^AB,PAYAD

TT

在直角梯形ABC。中，AB±AD,/ABC=NBAD=-

2

,/ADu面ADP,APu面AOP

AB_L面AOP

POu面ADP

，ABA.PD

（2）由題意及（1）得，存在一點M,使得直線4"垂直平面AN,

在四棱錐P-AB8中，PA=AD=2,AB=BC=\

作出空間直角坐標系如下圖所示：

X

由幾何知識得，A(0,0,0),3(1,0,0),c(l,l,o),￡>(0,2,0),尸(0。,2),

PC=(1,1,-2),CD=(-1,1,0),PD=(0,2,-2),

設M(X|，x，Z|),則PM=(X|,y,Z|-2),

?土=2L=AZZ=.

I1-2

M+2),AM—It+2)

若4月_面PCD

AMCD=T+/+0=07

{‘、解得：”2

AMPD^0+2t-2(-2t+2)=03

(3)由題意及(1)(2)得,

OP=(0,-2,2),CB=(O,T,O),BP=(T,0,2)

設BQ=2BP=(-2,0,2A)(O<A<1)

CQ=CB+BQ=(-A,-1,2A),

CQDP|1+22|

MS(CQ,OP)卜

CQ^DP~V10/l2+2

設1+24=",1<//<3,

55〃2-10〃+92_5

〃一§

9?

當且僅當〃=：即4=:時,

在y=cosx中，(0,熱上是減函數，

kos(CQ,OP)|最大時，直線S與〃。所成的角最小，

V|BP|=>/l2+22=y/5,

??.[BQ|=]|BP卜竽，

當直線。與分所成的角最小時，求線段制的長為竽.

二、直線與平面所成角

1、【分析】(1)運用面面垂直性質定理證得20上面4必9,以。為原點建立空間直角坐標系，

運用空間向量坐標法證明線線垂直.

(2)運用空間向量坐標法求線面角的正弦值，再運用同角三角函數的平方關系可得其余弦

值.

【詳解】(1)證明：取四中點。，連接0P,并過點。作8。的平行線0E,交.CD干反則

,:PA=PB=AB,；.為等邊三角形，又為四中點，P0L45,

又：面PA8_L面相<笫，面PABc面ABC￡)=AB,POu面E48,

P01面ABCD,：.POVOE,

以。為原點，OB,0E,8所在直線分別為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標系，

因為PA=A8=2.

則30,0,0),尸(0,0,6)，M(-1,1,O),C(l,2,0),

PC=(1,2,-73),=(-2,1.0),

所以「CBM=lx(-2)+2xl+卜石卜0=0,

所以PC_L8M.

(2)PM=(-l,l,->/3),PC=(1,2,-5/3),

設平面陽獷的一個法向量為"=(x,y,z),則有

PM-n=0f-x+y-\/3z=0

，即I

BMn=0l-2x+y=0

令x=l,則y=2,z=迫，所以〃=[1,2,回

3I3J

設直線PC與平面為V所成角為。，則

附."|lx"2x2+fx(一6)

sin0=|cos(PC,“卜

|PC|,HJ1+4+：xJl+4+34

所以直線用平面包物所成角的余弦值為畫.

4

2、解：⑴證明：如圖①，連接四交劭于點。，連接AQ

圖①

因為四邊形力崎為菱形,

所以應且。為即的中點.

因為PD=PB,所以PO_LBD,

因為/。1尸6>=0,且47,平面為C,

所以初_1_平面PAC.

因為ACt平面為G所以即上PC.

因為劭〃平面4眼V；且平面4"VA平面加=腑，所以初〃也V,所以,腸歸_和

⑵由⑴知做_L/C且POVBD,

因為力=PC,且。為〃'的中點,

所以尸0J_4C,所以尸。_1_平面力比〃

因為月與平面｛犯9所成的角為/月“所以N〃W=60°,所以刈，P0=

因為必所以的=

以。為坐標原點，而，~0D,而J方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖②所

示的空間直角坐標系，記*=2,則。(0,0,0),4(1,0,0),彳0,—平，o),C(-l,0,

o),zfo,當,o),Ao,o,小),I，o,坐)，

Xy

圖②

所以的=（o,乎,0）荔=（一|,0,乎）,葩=（一1,平，0）

2-

n?~BD=Q,37=0>

設平面4助W的法向量為〃=（x,y,z）,則j即

.?9o,一沁坐z=0,

令x=2,解得尸0,z=2小,所以片（2,0,2#）是平面4J例的一個法向量.

記與平面4/V所成角為0,

所以｛〃與平面所成角的正弦值為半.

3、【解析】（1）證明：???PA=PC,。為AC中點，.?.AC,PQ,

又AABC為等邊三角形，BA=BC,AC1BDt

BDPD=D,；.AC工平面PDB，

ACu平面PAC,二平面P4C_L平面P￡>8；

（2）由（1）知點P在平面ABC內的射影O在直線BD上,又二面角P-AC-B的平面角為

銳角，..?°在射線08上，x4=百，VP_ABC=iS“BC?PO=§，：#0二；，

450Z

又PD=l,，OD=g,即。為BO中點，取AB中點E,連接OE,則OE//AD,

2

，OE±平面POB,：.OE,OB,OP兩兩互相垂直,

以。為坐標原點，。^，。^。2所在直線分別為8軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,

、

,0,c,P

2。，。彳

77

PB=0,^-,--,BC=(-l,-V3,0)

設平面PCB的法向量為n=(x,y,z)

81n

n-PB-0

由，得〈2.2

n-BC=0

-x-y/3y=0

令y=i,得平面PCB的一個法向量為〃=(一行,1,6),

(i)

又24=X~2~2，設出與平面PC8所成角為。，

ri'PA2曲弧

則sina=cos(n,PA)=

V7-V2-7

直線PA與平面PCB所成角的正弦值為二二.

7

4、【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面瓦平面AACC”

(2)利用直線EG與平面￡7&所成角的正弦值求得AA一再根據柱體的體積公式即可得解.

【詳解】(1)如圖所示，以A為原點為丫軸和z軸的正方向在平面ABC內，

過A作曠軸的垂線為x軸建立空間直角坐標系，設A4=2a,

則A(0,0,0),C(2,2,0),F(l,1,2a),￡(0,3,a),A(0,0,2a),C,(2,2,2a),

所以CE=(-2,l,a),CF=(-l,-l,2a),AC=(2,2,0),A4,=(0,0,2a),

設平面EFC的法向量為"=(X],%,zj,

nCE=—2x,+y,+az.—0

則,令演=1,故w=1.1,-

a

n?CF=-x]一y+2az1=0

設平面AACC1的法向量為加=(毛,％"2),

tn-AC=2x,+2y2=0..

則?，令馬=]，故m=。,一1,。)，

tn?AA}=2az2=0

由于力〃=(1,-1,O>(1,1,3=0,所以〃u”，

a

所以平面ER7，平面4ACG;

（2）EC}=（2,-l,tz）,由（1）知平面EFC的一個法向量為〃

由直線EC與平面碇所成角的正弦值為孝,

得卜。s（EG，"）上克

3，

整理得2/-7°2+5=0,由于AA<3,所以解得。=1,即A4,=2,

S詆=；x2&x3x等=3，

所以直三棱柱ABC-ABG的體積V=gx3x2=2.

5、【分析】（1）由己知可得EE〃BG,所以反F、B、。四點共面，再證明AC1平面EEG5即

可證明；

（2）以E為原點，建立空間直角坐標系E-孫z,設AD=m,求出廣G,平面BCD的一個法向

量，由向量的夾角公式建立方程即可求解.

【詳解】（1）在正三棱柱ABC-AB?中，CC,1平面ABC,

因為￡,F,G分別為AC,AC，網的中點，所以EF//CQ,又BGHCC、,

所以EF//BG,所以其F、B、G四點共面，￡尸工平面ABC,：.EF1AC,

又因為BELAC,且EFBE=E,又EF,BEu平面EFGB,

所以AC_L平面EFGB,又FGu平面EFGB,所以對入AC.

（2）以E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系E-型，設4。=小，

則尸（0,0,2）,G（0,A/3,1）,.-.FG=（0,>/3,-l）.

B（0,^,0）,C（-l,0,0）,D（l,0,w）

CB=（1,A/3,0）,CD=（2,0,m）

n-CB=O

設平面3。的一個法向量為〃=（x,y,z）,則＜

n-CD=O

X+A/3J=0

>令x=\[?>mf則y=—m,z=—2>/3,>/3/w,—m,-2y/3j

2x+/wz=0

設直線FG與平面SCO所成角的大小為。,

|FG-72|卜鬲+2國6

所以sin6=cos(FG,n

|FG|-|/Z|2xJ3"/+加2+]24

\—m+2|?-1

即/1=1,(-/n+2)~=w+3,解得加=一

4府+34

故初的長L

4

6、【分析】（1）由線面垂直性質定理證得A4,，80,由線面垂直判定定理及性質定理證得

BD1A.O,由平面幾何知識證得進而證得AQ，平面8OG，再由面面垂直判

定定理證得結果.

（2）以。為原點建立空間直角坐標系，運用線面角公式計算即可.

【詳解】（1）證明：連接。和，因為底面ABCQ是菱形，所以AC1BO,

又AA，平面ABCQBDu平面ABCO,所以的，8。，

又A4,AC=A,所以8D2平面AOA,，

又AOu平面4。4,所以BOLAQ,

又AB=AD=2g,/BAD=60。，所以△ABD是等邊三角形，所以49=3,

在RtAOA中，又A0=M=3,所以NAOA=45。，同理NCOq=45°,

所以NAOG=90。，即

又BD。。|=。，所以4。，平面8DG，

又A。U平面4。9,所以平面A。。1平面BDC,.

（2）以。為坐標原點，向量04,08,A4,的方向分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的

空間直角坐標系O-DZ,設441=〃，

則0(0,0,0),A(3,0,h),B\(0,百,〃),D\(0,-6h),

所以出=(3,0,/i)，AA=(—3,g,0),0〃=(0,-V3,/z).

設平面AOBi的一個法向量為m=（x,y,z）,

，?格=0得1+⑨=。,3

由，取y=y/3，則fn=\.

m-OA)=03%+Zzz=0,h

設直線。。與平面4。耳所成的角為e,

sin^lcos^OD；^^^.

則7,

3

解得人=石或;，

即四棱柱ABCD-AB￡。的高為G或去3

7、【分析】（1）通過證明4尸，平面8CG4得證AFLB,E；

（2）建立空間直角坐標系求得向量4尸與面ABE的法向量，用線面角公式求得；I的值.

【詳解】（1）因為三棱柱ABC-AB?是直三棱柱，

所以CG_L平面A8G，

因為AFu平面ABC，

所以

因為AB|=AG，點?是B,G的中點，

所以AFJLB￡,

B￡CC,=C,,耳￡匚平面8。。力，CRu平面BCC百，

所以AF,平面BCC4，

因為點《是棱C￡上異于端點的動點，

所以耳Eu平面8CG耳，

所以AF，4E.

(2)不妨設715=1,則例=2.

因為三棱柱ABC-AMG是直三棱柱，

所以A4,_L平面A4G，

因為Agu平面A4G，AGu平面

所以M-LAC1.

又Afi，4C,所以A與，AG，

如圖，以A為坐標原點，直線4月，AG，A%分別為了軸、y軸、z軸，建立空間直角坐

標系，

則4(0,0,0),B,(1,0,0),C,(0,1,0),《；，；，。)，A(0,0,2),E(0,l,2A),

則4尸=(1，0)，4E=(-l,l,2/l),B,A=(-1,0,2).

..m-B,A=-x+2z=0

設平面ABE的法向量為機=(x,y,z),則，令x=2,則

m-B1E=-x+y+22z=0

m=(2,2-22,1).

所以sin60。=|cos^，AF)|=常±-=且

所以?'"那?"+(20FX*21

12

整理得4萬+82—5=0,解得或九=一：(舍去),

所以日.

三、二面角問題

1、【解】⑴證明：連接臺G,監:因為也￡分別為能，8C的中點，所以ME〃BC且必

又因為N為4,的中點，所以A分=，口

////

由題設知可得

//

故MEJD,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，則/ED.

又也W平面EDG,所以.W〃平面QDE.

（2）由己知可得DEVDA.以〃為坐標原點，應的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標系2xyz,則4(2,0,0),4(2,0,4),M1，小,2),Ml,0,2),AA=(0,0,

-4),j>=(—1,小,一2),X-V=(-l,0,—2),加三(0,0).

m?4脈=0,—x+y[3y-2z=0,

所以

叫_—4z=0.

JD,44=0.

可取皿=（M§,1,0）.

\n?MN=。,

設〃=（P，q,r）為平面4.腸￥的法向量，則j

[z??—0?

所以「弧=°'

可取A=(2,0,—1).

—p-2r=0.

必■z?2m

于是cos5、ri)

~ni\\n-2X5

所以二面角4-彬1i-〃的正弦值為里可

2、【分析】(1)作出從而求得廠1一+1二的值.

tan-atanp

(2)建立空間直角坐標系，利用平面PAC和平面P8C的法向量，計算出二面角

的余弦值.

【詳解】(1)連結尸O.

因為點尸為圓錐的頂點，所以P。1平面ABC.

分別取AC,8c的中點M,N,

連接PM,OM,PN,ON,則在圓。中，OM1AC.

由尸0/平面ABC,得「OLAC.

又POOM=O,故AC_L平面PM0,

所以ACLPM.

所以NPM0=a.

同理，APNO=/3.

(2)因為tan/3=5/3tana?即——=>/3,