第十章概率（公式、定理、結論圖表）

I隨機現象,隨機試驗I

_________?__________

I樣本點：樣本空間I

______J______

隨機事隹］

++___

事件的關系藕算事件的概率

______I______

I事件的獨立性古典概型頻率的穩定性

______▼_____隨機模擬試驗

A概率的基本性質頻率估計概率

?概率.計算

?隹用概率解決實際問題

「知識梳理

1.基本事件的特點

⑴任何兩個基本事件是互斥的.

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

具有以下兩個特征的概率模型稱為古典的概率模型，簡稱古典概型.

⑴試驗的所有可能結果只有有限個，每次試驗只出現其中的一個結果.

⑵每一個試驗結果出現的可能性相同.

【特別提醒】

如果一次試驗中可能出現的結果有"個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概

率都是上如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A)=㈣.

nn

3.古典概型的概率公式

事件A包含的可能結果數

一試驗的所有可能結果數.

典例1:5張獎券中有2張是中獎的，首先由甲抽一張，然后由乙抽一張，求：

(1)甲中獎的概率P(A)；

(2)甲、乙都中獎的概率P(B)；

(3)只有乙中獎的概率P(C)；

(4)乙中獎的概率P(D).

【思路點撥】先確定事件總數，再確定四個事件中包含的基本事件個數，用古典概率公式求解.

【解析】甲、乙兩人按順序各抽一張，5張獎券分別為Ai，Az，Bi，Bz，B3,其中A1，A2為中獎券，則

IIIIZIII

基本事件為(Ai，A2),(A，Bi),(Ai，B2),(A，B3),(A2,A),(A2.B),(A，B2),(A2,B3),(B，A),(B，

IIIIZII

A2),(B，B2),(B,B3),(B2，A),(B2,A2),(B2,B),(B，B3),(B3,A),(B3,A2),(B3IB),(B3,B2),共

20種.

IIZI

(1)若"甲中獎"，則有(Ai，A2),(A，Bi),(Ai，B2),(Ai，B3).(A2.A),(A，B),(A2.B2),(A2.B3),

Q2

共8種，故P(A)=2=±.

205

21

I

(2)甲、乙都中獎含有的基本事件有(Ai，A2),(A2,A),共2種，所以「伯)=三=歷.

(3)”只有乙中獎”的基本事件有(Bi，Ai),(B2,A0,(B3,Ai),(Bi，Az),(B2,A2),(B3,A2),共6種，故

P(C)=—=—.

2010

III

⑷"乙中獎"的基本事件有(A2,A),(Bi，Ai),(B2,A),(B3,A),(Ai，A2),(Bi,A2),(B2,A2),(B3,A2),

QO

共8種，故p(z))=a=士.

205

【總結升華】

1、利用古典概型的計算公式時應注意兩點：

⑴所有的基本事件必須是互斥的；

(2)m為事件A所包含的基本事件數，求m值時，要做到不重不漏.

2、古典概型解題步驟：

(1)閱讀題目，搜集信息：

(2)判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；

(3)求出基本事件總數〃和事件A所包含的結果數加：

(4)用公式P(N)="求出概率并下結論.

n

4.事件的關系與運算

定義符號表示

如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件8B^A

包含關系

包含事件4或稱事件A包含于事件8)（或—B）

相等關系若B2A且A284=8

并事件若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，稱AUB

(和事件)此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)（或4+8）

交事件若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生,則AaB

(積事件)稱此事件為事件A與事件8的交事件(或積事件)（或AB）

互斥事件若AC8為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥AnB=0

若AC8為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件Ac\B=0

對立事件

A與事件8互為對立事件P（AUB）=1

5.概率的幾個基本性質

⑴概率的取值范圍：04P(A區1.

⑵必然事件的概率P(E)=1.

⑶不可能事件的概率P(F)=O.

⑷互斥事件概率的加法公式

①如果事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).

②若事件8與事件A互為對立事件，則P(A)=1—P(8).

典例2:經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數及相應概率如下:

排隊人數012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

⑴至多2人排隊等候的概率是多少?

⑵至少3人排隊等候的概率是多少？

【思路點撥】利用互斥事件概率加法公式計算.

【解析】記"等候的人數為0"為事件A,"1人等候"為事件B,"2人等候〃為事件C,"3人等候"為事件D,

"4人等候〃為事件E,"5人及5人以上等候”為事件F,則易知A、B、C、D、E、F互斥.

⑴記"至多2人排隊等候"為事件G,則G=AUBUC,

二P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

=0.1+0.16+0.3=0