數學第八章立體幾何初步8．6.2直線與平面垂直(二)01預習案自主學習02探究案講練互動03自測案當堂達標04應用案鞏固提升學習指導核心素養1.從相關定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關系．2．歸納出直線與平面垂直的性質定理．3．了解直線與平面、平面與平面間的距離．1.直觀想象、邏輯推理：直線與平面垂直的性質定理的理解及應用．2．數學抽象、數學運算：直線與平面、平面與平面間的距離的理解及計算．1．直線與平面垂直的性質定理平行a∥b2.線面距與面面距(1)一條直線與一個平面平行時，這條直線上__________到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．(2)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的__________到另一個平面的距離都______，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．任意一點任意一點相等垂直于同一平面的兩條直線一定共面嗎？提示：共面．由線面垂直的性質定理可知這兩條直線是平行的，能確定一個平面，兩直線一定共面．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(

)(2)若直線a∥平面α，直線b⊥平面α，則直線b⊥直線a.(

)(3)若α∥β，l為平面α內任意一條直線，則直線l到平面β的距離等于兩個平面間的距離．(

)√√√2．若空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC，BD的關系是(

)A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交解析：取BD的中點O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面AOC，BD⊥AC.又BD，AC異面，故選C.√3．若直線AB∥平面α，且點A到平面α的距離為2，則點B到平面α的距離為________．答案：24.如圖，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________．答案：6探究點1線面垂直的性質定理的應用

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.【證明】

因為AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因為AD＝AP，E是PD的中點，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因為MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.關于線面垂直性質定理的應用在證明與垂直相關的平行問題時，可以考慮線面垂直的性質定理，利用已知的垂直關系構造線面垂直，關鍵是確定與要證明的兩條直線都垂直的平面．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，求證：MN∥AD1.證明：因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因為A1D∩CD＝D，A1D，CD?平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.探究點2線面距離與面面距離[問題探究]空間中，是不是任意的直線與平面、平面與平面間都有距離？探究感悟：不是，只有當直線與平面平行、平面與平面平行時才涉及距離問題．則直線AC1與平面BED的距離為1.空間中距離的轉化(1)利用線面、面面平行轉化：利用線面距離、面面距離的定義，轉化為直線或平面上的某一點到平面的距離．(2)利用中點轉化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點(等分點)，轉化為另一點到平面的距離．(3)通過換底轉化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴展(分割)，以方便求底面積和高．√探究點3直線與平面垂直關系的綜合應用

如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F，G.求證：AE⊥SB.【證明】

因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因為AE?平面SAB，所以BC⊥AE.因為SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.(變條件)本例中“過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F，G”改為“過A作AF⊥SC于點F，過點F作EF⊥SC交SB于點E”，結論不變，如何證明？證明：因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因為AE?平面SAB，所以BC⊥AE.因為AF⊥SC，EF⊥SC，AF∩EF＝F，所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.綜合應用線面垂直的判定、性質證明線線垂直時，一是根據已知的垂直關系，確定需要證明的直線和平面；二是思路調整，比如要證明直線a垂直于平面α內的直線b，往往需要證明直線b垂直于直線a所在的平面β.已知斜邊為AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分別為垂足，如圖．(1)求證：EF⊥PB；(2)若直線l⊥平面AEF，求證：PB∥l.證明：(1)因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因為△ABC為直角三角形，所以BC⊥AC.因為PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因為AF?平面PAC，所以BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.因為PB?平面PBC，所以AF⊥PB.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF.又EF?平面AEF，所以EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，所以PB∥l.1．已知平面α∥平面β，a是直線，則“a⊥α”是“a⊥β”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件√2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l與B1B所在直線不重合，直線l⊥平面A1C1，則有(

)A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B與l異面 D．B1B與l相交解析：因為B1B⊥平面A1C1，l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.√3．在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，若點A1到平面ABCD的距離為4，則平面ABCD到平面A1B1C1D1的距離為________．解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且點A1到平面ABCD的距離為4.所以所求距離為4.答案：44．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD.求證：l∥AE.證明：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，