上節小結：目標規劃的基本概念1.目標值和正、負偏差變量

目標值是預先給定的某個目標的一個期望值。實現值是當決策變量x1、x2、…、xn選定以后目標函數的對應值。偏差變量：實現值和目標值之間的差異值，用d＋和d－表示。

d＋——超出目標的差值，稱正偏差變量；

d－——未達到目標的差值，稱負偏差變量；

2.絕對約束與目標約束

絕對約束又稱系統約束，是指必須嚴格滿足的等式和不等式約束。

目標約束：對那些不嚴格限定的約束，連同原線性規劃建模時的目標函數轉化為的約束，稱為目標約束。

由此決策者可根據自己的要求構造一個使總偏差量為最小的目標函數，稱為達成函數，記為

即達成函數是正、負偏變量的函數。有三種形式：

3．目標規劃的目標函數－－達成函數實際值恰好等于目標值，即正、負偏變量盡可能地小，這時函數是：實際值大于目標值，即負偏變量盡可能地小，這時函數是：實際值小于目標值，即負偏變量盡可能地小，這時函數是：

在一個目標規劃的模型中，如果兩個不同目標重要程度相差懸殊，為達到某一目標可犧牲其它一些目標，稱這些目標是屬于不同層次的優先級。優先級層次的高低可分別通過優先因子P1，P2，…表示，并規定Pk＞＞Pk＋1，符號“＞＞”表示“遠大于”，表示Pk與Pk＋1，不是同一各級別的量，即Pk比Pk＋1有更大的優先權。

對屬于同一層次優先級的不同目標，按其重要程度可分別乘上不同的權數。權系數是一個個具體數字，乘上的權系數越大，表明該目標越重要。4.目標的優先級與權系數5.滿意解

目標規劃問題的求解是在不破壞上一級目標的前提下，實現下一級目標的最優。因此，這樣最后求出的解就不是通常意義下的最優解，我們稱它為滿意解。§5.2應用舉例[例1]某電子廠生產錄音機和電視機兩種產品，分別經由甲、乙兩個車間生產。已知除外購件外，生產一臺錄音機需甲車間加工2h，乙車間裝配1h；生產一臺電視機需甲車間加工1h，乙車間裝配3h；兩種產品需檢驗、銷售環節，每臺錄音機檢驗銷售費用需50元，每臺電視機檢驗銷售費用需30元。又甲車間每月可用工時為120h，車間管理為80元/h，乙車間每月可用工時為150h，車間管理為20元/h。估計每臺錄音機利潤100元，每臺電視機利潤75元，又估計下一年度內平均每月可銷售錄音機50臺，電視機80臺。該廠的月度目標為

P1：檢驗銷售費用每月不超過4600元；

P2：每月銷售錄音機不少于50臺；

P3：甲、乙車間每月工時要充分利用（權數按每小時費用比例確定）；P4：甲車間加班不超過20h。P5：每月銷售電視機不少于80臺P6：兩車間加班總時間要控制（權數按每小時管理費用比例確定）

解設錄音機、電視機的產量分別為x1,x2；甲、乙工時比例為4：1，于是得到目標規劃模型為檢驗銷售費用每月不超過4600元，P1minZ=P1d1+x1+d2-

–d2+＝50x2+d3-

–d3+＝8050x1+30x2+d1-

–d1+＝

4600+P2d2-

+P5d3-d4++d6-

–d6+＝20每月銷售錄音機不少于50臺，P2；每月銷售電視機不少于80臺，P52x1+x2+d4-

–d4+＝120

x1+3x2+d5-

–d5+＝150x1,x2，di-,di+

≥0

+P3(

4d4-+d5-)甲、乙車間每月工時要充分利用，P3甲車間加班不超過20h，P4

+P4d6+

+P6(4d4+＋d5+)兩車間加班總時間要控制，P6最后得x1=50，x2=40，d1-

=900，

d4+=20，d5+=20，即每月生產錄音機50臺，電視機40臺，利潤額可達到8000元

[例2]某制藥公司有甲、乙兩個工廠，現要生產A、B兩種藥品均需在兩個工廠生產．A藥品在甲廠加工2h，然后送到乙廠檢測包裝2.5h才能成品，B藥在甲廠加工4h，再到乙廠檢測包裝1.5h才能成品．A、B藥在公司內的每月存貯費分別為8元和15元．甲廠有12臺制造機器，每臺每天工作8h，每月正常工作25天，乙廠有7臺檢測包裝機，每天每臺工作16h，每月正常工作25天，每臺機器每小時運行成本：甲廠為18元，乙廠為15元，單位產品A銷售利潤為20元，B為23元，依市場預測次月A、B銷售量估計分別為1500單位和1000單位．該公司依下列次序為目標的優先次序，以實現次月的生產與銷售目標．P1：廠內的儲存成本不超過23000元．P2：A銷售量必須完成1500單位．P3：甲、乙兩工廠的設備應全力運轉，避免有空閑時間，兩廠的單位運轉成本當作它們的權系數．P4：甲廠的超過作業時間全月份不宜超過30h．P5：B藥的銷量必須完成1000單位．P6：兩個工廠的超時工作時間總和要求限制，其限制的比率依各廠每小時運轉成本為準．試確定A、B藥各生產多少，使目標達到最好，建立目標規劃模型并化成標準型§5.2目標規劃的圖解法和線性規劃問題一樣，圖解法雖然只適用于兩個決策變量的目標規劃問題，但其操作簡便，原理一目了然，并且有助于理解一般目標規劃問題的求解原理和過程。

圖解法解題的步驟為：1.確定各約束條件的可行域，即將所有約束條件(包括目標約束和絕對約束，暫不考慮正負偏差變量)在坐標平面上表示出來；

2.在目標約束所代表的邊界線上，用箭頭標出正、負偏差變量值增大的方向；

3.求滿足最高優先等級目標的解；4.轉到下一個優先等級的目標，在不破壞所有較高優先等級目標的前提下，求出該優先等級目標的解；5.重復4，直到所有優先等級的目標都已審查完畢為止；6.確定最優解或滿意解。下面通過例子來說明目標規劃圖解法的原理和步驟。例1用圖解法求解目標規劃問題：解

確定各個約束條件的可行域。在x1Ox2坐標平面上，暫不考慮每個約束方程中的正、負偏差變量，將上述每一個約束方程用一條直線表示出來，再用兩個箭頭分別表示上述目標約束方程中的正、負偏差變量。

4x1≤164x2≤122x1+3x2+d1-

–d1+=12x1－x2+d2-–d2+=02x1+2x2+d3-

–d3+=12

x1+2x2+d4-

–d4+=8x1,x2，di-,di+

≥0例1用圖解法求解目標規劃問題：

4x1≤164x2≤122x1+3x2+d1-

–d1+=123x1－4x2+d2-–d2+=02x1+2x2+d3-

–d3+=12

x1+2x2+d4-

–d4+=8x1,x2，di-,di+

≥01x1x2430215623456ABCd1+d1-d2-d2+d3-d3+d4+d4-EDF3x1-4x2=0x1+2x2=8得x1=3.2，x2=2.4例2用圖解法求解目標規劃問題：

10x1+12x2+d1-

–d1+＝62.5x1+2x2+d2-

–d2+=102x1+x2

≤8

x1,x2，d1-,d1+,d,2-,d2+

≥01x1x2430215623456d1-d1+d2+d2-D(0.625,4.6875)C(0,5.2083)于是，C,D兩點及CD線段上的所有點(無窮多個)均是該問題的最優解。其中：C點對應的解為：x1=0，x2=5.2083；D點對應的解為：x1=0.6250，x2=4.6875；

例3、用圖解法求解線性規劃模型

30x1+12x2+d1-

–d1+＝25002x1+x2+d2-

–d2+=140

x1,x2，di-,di+

≥0

x1+d3-

–d3+＝60

x2+d4-

–d4+＝100

minZ=P1d1-

+P2(2.5d3++d4+)

+P3d2+于是，確定D點的坐標x1=60，x2=58.3為所求的滿意解。即D(60,58.3)驗算將x1=60，x2=58.3代入約束條件，有

以上驗算表明，若A、B的計劃生產量分別為60件和58.3件，所需甲種原料的數量超過了現有庫存量。這就意味著，在現有資源條件下，求得的為非可行解。為了使這個解能成為可行解，工廠領導必須采取先進的技術手段和有效管理措施降低A、B產品對甲種原料的消耗量。顯然，A、B產品每件所需甲種原料量應變為原有消耗量的78.5%(140/178.3=78.5%)，才能使求得的生產方案(x1=60，x2=58.3)成為可行方案。

30x1+12x2+d1-

–d1+＝25002x1+x2+d2-

–d2+=140

x1,x2，di-,di+

≥0

x1+d3-

–d3+＝60

x2+d4-

–d4+＝100

minZ=P1d1-

+P2(2.5d3++d4+)+P3d2+分析在上述兩個例子中，前一個例子求得的結果為可行解，后一個例子求得的結果為非可行解。這就表明目標規劃模型的求解結果可以是非可行解。而這正是目標規劃模型與線性規劃模型在求解思想上的差別，即線性規劃立足于求滿意解。目標規劃模型的滿意解雖然可能是非可行解，但它卻有助于了解問題的薄弱環節以便有的放矢改進工作。練習：用圖解法求解下列目標規劃問題

(2)(3)(4)(1)CD結論：有無窮多最優解。C（2，4），D（10/3，10/3）2、用圖解法解下列目標規劃模型x1=400,x2=0,Z=80p3x2

1002003004005000x1100200300400最滿意解為x1=400,x2=0§5.4目標有優先級的目標規劃解法--加權法產品A產品B產品C條件利潤（萬元/噸）941總利潤最大化耗用原料（噸/噸）425耗用原料總量不超過38噸排放污染（m3/噸）213排放污染總量不超過26m3銷售價格（萬元/噸）301020銷售總額不低于100萬元總產量（噸）111總產量不低于18噸如果以利潤為目標函數，線性規劃模型為：maxz=9x1+4x2+x3s.t.4x1+2x2+5x3≤38 （1）原料總量約束2x1+x2+3x3≤26 （2）排放污染約束30x1+10x2+20x3≥100 （3）銷售總額約束x1+x2+x3≥18 （4）總產量約束x1,x2,x3≥0例：線性規劃解得：x1=1,x2=17,x3

=0，maxZ=77目標規劃如果利潤期望值為77，將利潤、耗用原料等五個因素作為目標，確定各目標的理想值以及偏差變量如下：目標產品A產品B產品C目標的理想值正偏差變量負偏差變量利潤（萬元/噸）94177d1+d1-耗用原料（噸/噸）42538d2+d2-排放污染（m3/噸）21326d3+d3-銷售價格（萬元/噸）301020100d4+d4-總產量（噸）11118d5+d5-如果目標大于理想值，正偏差變量大于0，小于理想值，負偏差變量大于0。因此，對第i個目標，有

如果各目標無優先級，要使所有的目標總偏差最小，即無優先級的目標規劃模型為：同一個目標的正負偏差變量，不可能兩個同時大于0。這一結果的實際意義也是很清楚的：任何一個目標，不可能既大于理想值，又小于理想值。

用單純形法，得到目標規劃的最優解、各目標的值以及偏差變量的值產品A產品B產品C目標的理想值正偏差變量負偏差變量產量（噸）0100RHSdi+di-達到的目標值利潤（萬元）4077037耗用原料（噸）3038018排放污染（m3）1026016銷售價格（萬元）10010000總產量（噸）101808最優解實現值偏差變量目標有優先級的目標規劃產品A產品B產品C目標的理想值正偏差變量負偏差變量產量（噸）0100RHSdi+di-達到的目標值利潤（萬元）4077037耗用原料（噸）3038018排放污染（m3）1026016銷售價格（萬元）10010000總產量（噸）101808在上面的例子中，利潤、耗用原料、排放污染、銷售額、總產量等五個目標是一視同仁的，最優解是使偏離五個目標的總偏差之和最小。在實際問題中，這些目標往往是有輕重緩急的。

目標產品A產品B產品C優先級Pi目標的理想值正偏差變量負偏差變量利潤（萬元/噸）941177d1+d1-

耗用原料（噸/噸）425438d2+d2-排放污染（m3/噸）213326d3+d3-銷售價格（萬元/噸）3010205100d4+d4-總產量（噸）111218d5+d5-確定五個目標的優先級Pi（Pi=1，2，3，4，5），數字越小優先級越高目標規劃的模型為：優先級Pi14352

目標產品A產品B產品C優先級權重理想值正偏差負偏差利潤（萬元/噸）941110000077d1+d1-耗用原料（噸/噸）425410038d2+d2-排放污染（m3/噸）2133100026d3+d3-銷售價格（萬元/噸）30102051