微積分考試題庫(附答案)PAGEPAGE88考試試卷（一）一、填空1．設為單位向量，且滿足，則=2．=，=，=3．設，且當時，，則4．設，則=5．在=0處可導，則，二、選擇1．曲線繞軸旋轉一周所得曲面方程為（）。（A）；（B）；（C）；（D）2．=（）。（A）1（B）（C）0（D）3．設函數具有連續的導數，則（）（A）；（B）；（C）；（D）4．設在上連續，則在上至少有一點，使得（）（A）（B）（C）（D）5．設函數在=處取得極值，則（）（A）0（B）1（C）2（D）3三、計算題求與兩條直線及都平行且過點（3，-2，1）的平面方程。2．求下列極限（1）；（2）3．計算下列積分（1）；（2）（3）；（4）4．求下列導數或微分設，求。（2），求。（3），求。（4）設，求隱函數的二階導數。四、設，且，證明：（1）存在，使對任意實數，必存在，使高等數學（上冊）考試試卷（二）填空1、已知,則2、設,則=3、設的一個原函數為，則4、存在的充分必要條件是和5、若兩平面與互相垂直，則=二、選擇點M（2，-3，-1）關于坐標面的對稱點M1的坐標為A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1）C、（2，3，-1）（D）、（-2，-3，1）2、下列命題不正確的是A、非零常數與無窮大之積是無窮大。B、0與無窮大之積是無窮小。C、無界函數是無窮大。D、無窮大的倒數是無窮小。3、設A、B、C、D、4、,則在=0處A、存在，不存在B、存在，不存在C、，均存在但不相等D、，存在且相等5、A、0B、1C、2D、4計算題1、求下列極限（1）（2）2、求下列導數或微分設=求由橢圓方程所確定的函數y的二階導數。已知設3、計算下列積分（1）（2）（3）（4）4、求曲線所圍圖形繞軸旋轉一周所成立體的體積。證明：當高等數學（上冊）考試試卷（三）一、填空1．設=，=，=。2．設。3．過兩點（4，0，-2）和（5，1，7）且平行于軸的平面方程為。4．設。5．由曲線以及直線所圍圖形的面積由積分可表示為。二、選擇1．若則必有。（A）（B）（C）（D）2．設函數處連續，若的極值點，則必有。（A）（B）（C）不存在（D）不存在3．設。（A）1（B）（C）2（D）34．若，則。（A）（B）（C）（D）5．函數的單調增加區間為。（A）（0，）（B）（1，）（C）（，）（D）（0，）三、計算題1．求下列導數或微分設，其中在處連續，求已知設2．計算下列極限（1）（2）3．計算下列積分（1）（2）（3）（4）4．求函數在[0，3]上的最大、最小值。四、若在[0，1]上有二階導數，且，證明：在（0，1）內至少存在一點，使得高等數學（上冊）考試試卷（四）填空1、=是函數的第類間斷點，且為間斷點。2、3、若與垂直且,4、設則=5、曲線的拐點為,下凸區間為二、選擇設處可導，則必有A、2B、=2,C、=1,=2D、=3,=2已知三點A（1，0，-1），B（1，-2，0），C（-1，2，-1），則A、B、C、D、若，則A、=2,=4B、=4,=-5C、=1,=-2D、=-4,=5已知A、B、C、D、設則=A、-B、C、D、三、計算題（1）（2）求拋物線（0、-3），（3，0）處的切線所圍圖形的面積。（3）設，存在且不為0，求（4）設，求的單調區間，凸區間，極值及拐點。（5）（6）（7）A、B為何值時，平面：垂直于直線L：?(8)設，(i)為何值時，在=2處的極限存在？（ii）為何值時，在=2處連續？（9）設，求設在內可微，，且。證明：存在常數，使高等數學（上冊）考試試卷（五）填空1、__________2、設的一個原函數是,則3、方程=1在平面解析幾何中表示，在空間解析幾何中表示4、個零點。5、曲線選擇設在處可導，則A、B、C、0D、若A、有水平漸近線B、有鉛直漸近線C、D、為有界函數3、已知當時，。A、B、C、D、14、已知A、B、C、D、5、設A、B、C、D、計算題求下列極限（1）（2）求下列導數或微分（1）（2）設函數由方程確定，求計算下列積分（1）（2）設，討論在處的連續性。求曲線自至一段弧的長度。證明題證明：當設在[0，1]上連續，在（0，1）上可導，且,求證在（0，1）內至少有一點，使高等數學（上冊）考試試卷（六）一、填空拋物線在其頂點處的曲率為_______________=______________________=____________________已知，則_______________若，則________；若，則__________二、選擇若，則必有_____A、在點連續；B、在點有定義；C、在的某去心鄰域內有定義；D、設有直線與，則與的夾角為____A、；B、；C、；D、3、在處____不連續；B、連續但不可導；C、可導，但導數在該點不連續；D、導函數在該點連續已知，則____A、；B、；C、；D、廣義積分收斂，則____A、；B、；C、；D、三、計算題求下列極限（1）（2）求下列導數或微分（1），求（2），求（3）設，求（4）求由方程所確定的函數的導數（5），求求下列積分（1）（2）（3）（4）在拋物線上找一點M，使得過該點的切線與拋物線及兩坐標軸所圍圖形的面積最小。證明：與向量垂直高等數學（上冊）考試試卷（七）一、填空設，則_______________曲線的漸近線方程是______________________一平面過原點及點（6，-3，2）且與平面垂直，則此平面方程為_______已知是的一個原函數，則_________________由定積分的性質知：___________二、選擇設，，下列命題正確的是_________若,則一定連續；B、若，則；C、若，則；D、若，則；設，則___________A、；B、；C、；D、以上都不對；3、_______________A、；B、；C、；D、；4、三點（1，1，-1）、（-2，-2，2）和（1，-1，2）決定一平面，則此平面的法向量為A、（-3，9，6）；B、（-3，-9，6）；C、（3，-9，6）；D、（3，9，-6）；5、在內______________不滿足拉格朗日條件；B、滿足拉格朗日條件且C、滿足拉格朗日條件，但無法求出；D、不滿足拉格朗日條件，但有滿足中值定理的結論。三、計算題求下列極限（1）（2）求下列導數或微分設，求；（2）設，求；設，求；（4）設，求；求下列積分（1）（2）（3）（4）4、某車間靠墻壁要蓋一間高為的長方形小屋，現有存磚只夠砌20M長的墻壁，問應圍成怎樣的長方形，才能使這間小屋的面積最大？明：，為正整數。高等數學（上冊）考試試卷（八）填空1、設,則=2、設存在，則3、一平面與及都垂直，則該平面的法向量為4、5、設,且,則=二、選擇：1、設，則=0是的（A）連續點（B）可去間斷點（C）跳躍間斷點（D）振蕩間斷點2、下列各式中正確的是（A）（B）（C）（D）3、空間點A（1，2，3）和點B（4，5，6）的距離為（A）3；（B）；（C）；（D）94、設在處連續且不存在，則在處（A）沒有切線（B）有一條不垂直x軸的切線（C）有一條垂直x軸的切線（D）或者不存在切線或者有一條垂直于x軸的切線。5、設與是在區間I上的兩個不同的原函數，則（A）（B）（C）(D)三、計算題1、求下列極限（1）(2)2、求下導數或微分（1）（2）設,可微，求（3）設為的可微函數，求3、求下列積分（1）（2）（3）（4）設具有二階連續導數，且四、證明題證明：≠0時,2、設在[a,b]上連續且＞0,證明：在[a,b]內有唯一的一點，使得高等數學（上冊）考試試卷（九）一、填空1、=2、兩平行平面與之間的距離為。3、過原點作直線L與曲線相切，則L的方程為4、曲線的拐點坐標為5、二、選擇：1、設是的原函數，則=（A）(B)(C)(D)2、若,則=（A）(B)(C) (D)3、若積分（A）=0(B)=1(C)＜1(D)＞14、設時（A）與是等價無窮小；（B）是比高階的無窮小（C）是比低階的無窮小；（D）與是同階無窮小5、在曲線的所有切線中與平面平行的切線（A）只有一條（B）只有兩條（C）至少有三條（D）不存在三、計算題求極限（1）(2)2、求下列導數或微分（1），求 （2）設，求（3）設，求（4）已知,求3、求下列積分（1）（2）（3）（4）4、設是非負的連續整數，,討論的單調性。四、證明題：設滿足（1）若在取得極值，證明它是極小值（2）若，求最小的常數，使得當時有.設可導，證明的兩個零點之間一定有的零點。高等數學（上冊）考試試卷（十）一、填空1．已知，則=2．經過點（2,0,-1）且與直線平行的直線方程為3．設，則=4．函數的定義域為5．設是[a,b]上的連續函數，則有一個原函數為二、選擇1．設在[a,b]上可積，下列各式中不正確的是（A）（B）（C）（D）2．=（A）0（B）+（C）-（D）不存在3．過點（2,0,-3）與直線垂直的平面方程為（A）（B）（C）（D）4．設為的原函數，則=（A）（B）（C）（D）5．曲線的漸近線有（A）0條（B）1條（C）2條（D）3條三、計算題1．求下列極限（1）（2）2．求下列函數的導數（1）（2）3．求下列積分（1）（2）（3）（4）4．設，，且反函數為，，求。5．方程有幾個實根？四、證明題1．設，，，證明三向量共面。2.設，且0<<1，證明至少存在一點，使。高等數學（上冊）考試試卷（十一）一、填空1．直線l：和平面的夾角為2．設，當→0時，與是無窮小。3．設，則=4．廣義積分當時收斂。5．已知為的一個原函數，則二、選擇1．設是[0，+]上的連續函數，時，=(A)(B)(C)(D)2．設函數在給定區間上連續，=(A)(B)(C)(D)3．已知，,則的定義域為(A)(B)[-1,1](C)[](D)4．設向量與軸、軸、軸的正向所成的角分別為，已知=135°，，為銳角，則為(A)45°(B)30°(C)60°(D)75°5．設是內的偶函數，且是它的一個原函數，則(A)(B)(C)(D)三、計算題1．求下列極限（1）（2）2．求下列函數的導數或微分（1）設，求（2）設求（3）設，確定使在處可導，并求3．求下列積分（1）（2）（3）（4）4．討論函數的間斷點的類型5．設直線與及所圍面積為A，試求，使該梯形繞軸旋轉所得立體的體積最小。四、證明題1．設，且，記，證明：在內單調增加。設可微，且的反函數存在，證明：高等數學（上冊）考試試卷（十二）一、填空1．平面上的圓繞軸旋轉所生成的旋轉曲面的方程為2．在區間是連續的。3．廣義積分當時收斂。4．若5．設，且二、選擇題1．函數和在區間[0，1]上滿足柯西定理的等于(A)(B)1(C)(D)2．設，則(A)(B)(C)(D)3．設(A)(B)(C)(D)4．設,則=(A)(B)(C)(D)5．設平面垂直，則=(A)-1(B)1(C)±1(D)±三、計算題1．求下列極限（1）設=1,（2）2．求下列函數的導數或微分（1）設在處連續，求在處的導數。（2）設，求（3）設具有二階導數，求（4）求由方程所確定的函數的微分。3．求下列積分（1）（2）（3）（4）4．求軸上的一個給定點到拋物線上的點的最短距離。四、證明題1．設，試證在(a,b)內非負。2．設，證明:。高等數學（上冊）考試試卷（十三）一、填空1．曲線在坐標面上的投影柱面方程為，投影曲線方程為。2．設，則3．拋物線和直線()所圍成圖形繞軸旋轉所得旋轉體的體積為————4．函數的極大值點為，極小值點為5．已知二、選擇1．設，則在=1處函數（A）不連續（B）連續但不可導（C）可導且導數連續（D）可導但導數不連續2．函數的不定積分是的（A）導數（B）微分（C）某個原函數（D）全部原函數3．直線的方向向量為（A）（3,1,5）（B）（-3,-1,5）（C）（-3,1,5）（D）（3,-1,-5）4．設和均為（）上的單調減函數，則是（A）單調減函數（B）單調增函數（C）非單調函數（D）可能是單調減，也可能是單調增函數5．已知（A）(B)(C)(D)三、計算題1．求下列極限（1）（2）2．求下列導數或微分（1），求（2）設（3）設（4）設滿足條件，且，均為非零常數，問是否存在？若存在，求出3．求下列積分（1）（2） （3）（4）設，求4．長度為2的線段，兩端在拋物線上任意移動，求線段的中點最靠近軸時此中點的坐標。四、證明題1．設,在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且=0，≠0，證明：至少存在一點，使得2．證明：當>0時，高等數學（上冊）考試試卷（十四）一、填空1．點(1,2,1)到平面的距離d=2．設，則=，定義域為3．函數的一個原函數為4．設在=0處可導，且，則5．函數，與軸圍成圖形繞軸旋轉而成的立體體積為二、選擇1．設為連續函數，則下列運算成立（A）（B）（C）（D）2．已知曲線在面上的投影為，則為（A）1（B）0（C）-1（D）23．下列積分正確的是（A）（B）（C）（D）4．給定數列，下列命題正確的是（A）若存在，則存在（B）若和存在，則也存在（C）若有界，則存在（D）若無界，則不存在5．設為R上可導函數，則（A）若為偶函數，則也為偶函數（B）若為奇函數，則也為奇函數（C）若為周期函數，則也為周期函數（D）若為單調函數，則也為單調函數三、計算題1．求下列極限（1）（2）2．求下列導數或微分（1）設；（2）設（3）設=由方程確定，求3．求下列積分（1）（2）的一個原函數（3）（4）4．設，討論函數的單調區間，極值，凹凸性和拐點。5．在曲線（）上某點B處作一切線，使之與曲線、軸所圍平面圖形的面積為，試求：（1）切點B的坐標；（2）由上述所圍圖形繞軸旋轉一周所得立體的體積。四、證明題1．證明：2．設，試證：在[a,b]上必有一點，使得，(m>0,n>0)高等數學（上冊）考試試卷（十五）班級姓名_____________一、填空1．與兩直線及都平行且過原點的平面方程為。2．函數的原函數為3．函數的反函數為，反函數的定義域為4．，則的幾何意義是5．函數在區間單調增二、選擇題1．函數在給定區間上滿足羅爾定理條件（A）[-2,1]（B）[-1,1]（C）[-1,1]（D）[0,]2．雙曲拋物面面上的截痕是（A）相交于原點的兩條直線（B）拋物線（C）雙曲線（D）橢圓3．設，則有（A）極小值（B）極小值（C）極大值（D）極大值4．設積分曲線中有傾角為的直線，則的圖形是（A）平行于軸的直線（B）拋物線（C）平行于軸的直線（D）直線5．已知（A）1（B）0（C）（D）不能確定三、計算題1．求下列極限（1）（2）2．求下列導數或微分（1）設求（2）設，求（3）已知求（4）設，求3．求下列積分（1）（2）（3）（4）4．討論函數的凹凸性和拐點。四、證明題1．證明：2．設，證明在考試試卷參考答案試卷一答案一、填空：1、2、，0，不存在3、4、5、1，2、二、選擇：1、B；2、D；3、A；4、D；5、C三、計算：1．解：平面法向量垂直于，又過點（3，-2，1），則所求平面方程為即2．（1）解：（2）解：3．（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：4．（1）解：（2）解：（3）解：（4）兩端對求導：四、（1）證明：令，則故，使得，即（2）證明：設，則，由羅爾定理：，即即試卷二答案一、填空1、-12、-23、4、存在且相等。5、±1二、選擇1、B2、C3、D4、C5、C三、計算題1、求下列極限。（1）解：（2）解：2、求下列導數或微分。解：，（2）解：方程兩邊對求導：再由，兩端繼續對求導（3）解：=(4)、解：四、計算下列積分。（1）=（2）=（3）=2(4)4、解：由四、證：設故在上單調增，又=0∴當＞1時，=0,即試卷三解答一、填空：1．1，0，不存在2．43．4．5．二、選擇1．C2．C3．C4．C5．C三、計算題1．（1）解：（2）解：在，兩端對t求導：又時，（3）解：2．（1）解：（洛必達法則）原式=（2）原式=3．（1）解：在（-1，1）上為奇函數（2）解：設原式==（3）解：（4）解：4．解：可見在（0，3）內是的駐點，的不可導點。因四、證：又又,試卷四解答填空1、1，一，跳躍；2、3、13、13；4、;5、（2、2e-2）,(2,+)選擇1、B；2、A；3、B；4、A；5、A計算題解：====(2)解：兩切線方程分別為：，交點為（3）解：,（4）解：定義域為令∴單調增區間為，單調減區間為（0，2），極小值為，下凸區間為，無拐點。（5）（6）=（）（7）解：∵∴與平行，即（8）解：（i）要使在=2處極限存在,則(ii)要使在=2處連續，則，（9）解：,四、證：要證作試卷五解答一、填空1、0；2、;3、雙曲線，母線平行于軸的雙曲柱面；4、1；5、二、選擇1、B；2、A；3、B；4、D；5、D三、計算題1、求下列極限（1）解：（2）解：=2、求下列導數或微分（1）解：∴（2）解：方程兩邊對求導：∴3、計算下列積分（1）解：（2）解：=4、解：，當當5、解：==四、證明題1、證：令 2、證：設且:即：試卷六解答一、填空1、22、3、4、5、0，二、選擇1、C2、C3、B4、D5、A三、計算題求下列極限解：原極限=解：令，則當時，原極限=求下列導數或微分（1）解：當時，當時，所以（2）解： （3）解：，故（4）解：方程兩端對求導數：，故（5）解：求下列積分（1）解：原積分=（2）解：原積分==（3）解：原積分=（4）解：原積分===解：設點M的坐標為，則過該點的切線方程為，在兩坐標軸上的截距分別為，所圍成的面積為，令，得唯一的駐點，又當時，，故當時，取極小值，也是最小值。所以所求M點的坐標為四、證明：與垂直試卷7解答填空1、2、3、4、5、1/2，選擇1、B2、D3、B4、A5、B計算題求下列極限（1）解：=（2）解：=求下列導數或微分解：解：解：兩邊對求導：解：兩邊取對數：求下列積分解：設，則原積分=解：設，則原積分=（3）解：是偶函數，是奇函數 原積分=令，則原積分==（4）解：原積分===解：設長方形小屋長為，則寬為，小屋面積為由，得為唯一的駐點；又，故為極大值點，即最大值點。當長為10M，寬為5M時，小屋面積最大證：左端===右端試卷八解答一、填空1、2、3、（1,1,-3）4、25、選擇：1、C2、A3、C4、D5、D計算題：1、(1)解：===(2)解：2、（1）解：（2）解：=(3)解：3、（1）解：設，則=（2）解： =（3）解：令（4）解：==4、解：由二階可導知連續，又由知，即.又因為，記，由羅必達法則所以原式=證明題證：令；故單調增加（1）當時，，從而單調增加，又，故(2)當時，，從而單調減少，又，故∴當時,，即得證.2、證：令∵∴至少存在一點

設還有一點，試卷九解答一、填空1、e32、3、4、()5、0二、選擇1、A2、C3、D4、D5、B三、計算題求極限解：原式=解：原式=2、求下列導數或微分（1）解： （2）解：===(3)解：== (4)解：當時，，3、求下列積分（1）解：令，則原式=(2)解：當時，原式當時，原式==(3)解：原式==對于原式=（4）解：原式==()-=()-=4、解：=單調增加。四、證明題：1、（1）∵在處取極值，∴又(2)又,在x＞0時有，故,而且=1/2為所求最小常數.設，為的兩個零點，亦為的零點。又可導，故可導。由羅爾定理，或，使得，即試卷十解答一、填空1.；2.；3.；4.U5.二、選擇1.(B)2.(D)3.(D)4.(D)5.(C)三、計算題1．（1）解：原極限===（<1）（2）解：原式===2．（1）（2）3．（1）解：原積分=（2）解：原積分===（3）解：原積分==（4）解：被積函數為奇函數，積分區間為對稱區間，故積分=04．解：對兩邊求導得：…（1）∵是的反函數∴故（1）式為：∴又∴，故5．解：設，由，得，且在內，嚴格單調增；在內，嚴格單調減，故是的最大值，因此：1）若<0，即時，無實根；2）若=0，即時，恰有一實根；3）若>0，即時，由于，由的單調性及零點定理知，方程=0恰有兩個實根。四、證明題1．證：∵∴共面。2．證：設，則∵0<<1∴∴由根的存在定理知，至少存在一點（0,1）使，即()=試卷十一解答一、填空1．2.同階3.4.5.二、選擇1.(A)2.(B)3.(C)4.(C)5.(D)三、計算題1．（1）原極限=令，則時，原極限=（2）原極限=2．（1）兩邊取對數，得： ∴（2）兩邊微分，得（3）在處可導在處連續∴，即又∴當時，在處可導，且3．（1）原式=（2）原式=（3）原式===（4）原式===4．解：是的間斷點∵∴是的可去間斷點。∵∴是的無窮間斷點。5．解:V=令∴當時，體積最小四、證明題1．證：由拉格朗日中值定理：使∴又由在單調增加，于是，從而∴在內單調增加。2．證：令，則===試卷十二解答一、填空1.2.(-2,2)3.<14.5.0二、選擇1.(A)2.(A)3.(C)4.(D)5.(B)三、計算題1．（1）解：,=1/2>0，因此設，則=單調增加，且,故存在設，則:解得.因為非負，∴（2）設，在上應用拉格朗日中值定理得：，（）顯然，當時，，于是原極限=2．（1）解：∵=∴（2）解：兩邊取對數：兩邊對求導：∴（3）（4）3．（1）設，則原積分====（2）原積分==（3）為瑕點，原積分==（4）原式==4．解：設為上任一點,則令對應得考慮點（1）若=2，則。顯然，當且僅當=0時取最小值，故這時由點即(0,2)到上的點的最短距離為2；（2）若>2，由于故此時在處取最小值，且最短距離為。（3）若，由于故此時在處取最小值，且最短距離為四、證明題1．證：設，則 單調增加， 。2．證：設∵=∴(<1)取=0，則∴故試卷十三解答一、填空1．2.3．4.5.二、選擇1．（A）2.(D)3.(C)4.(B)5.(A)三、計算題1．（1）∵∴原極限=0（2）原極限=2．（1）∵∴（2）兩邊取對數：求導：得：又=1時=1，∴（3）（4）=3．（1）原積分=====（2）原積分=