2007年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）數學（理工農醫類）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．如果的展開式中含有非零常數項，則正整數的最小值為（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．102．將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．3．設和是兩個集合，定義集合，如果，，那么等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．平面外有兩條直線和，如果和在平面內的射影分別是和，給出下列四個命題：①； ②；③與相交與相交或重合；④與平行與平行或重合．其中不正確的命題個數是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．已知和是兩個不相等的正整數，且，則（）A．0 B．1 C． D．6．若數列滿足（為正常數，），則稱為“等方比數列”．甲：數列是等方比數列； 乙：數列是等比數列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7．雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為，焦點為與的一個交點為，則等于（）A． B． C． D．8．已知兩個等差數列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數的正整數的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．59．連擲兩次骰子得到的點數分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A． B． C． D．10．已知直線（是非零常數）與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數，那么這樣的直線共有（）A．60條 B．66條 C．72條 D．78條二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應位置上．11．已知函數的反函數是，則；．12．復數，且，若是實數，則有序實數對可以是．（寫出一個有序實數對即可）13．設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為 ．（毫克）（小時）14．某籃運動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率 ．（用數值作答）（毫克）（小時）BBVADC19．（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點．（I）若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．AABxyNCO（此題不要求在答題卡上畫圖）20．（本小題滿分13分）已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）．21．（本小題滿分14分）已知為正整數，（I）用數學歸納法證明：當時，；（II）對于，已知，求證，求證，；（III）求出滿足等式的所有正整數．

參考答案與解析一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算．每小題5分，滿分50分．1．答案：選Ｂ解析：由展開式通項有由題意得，故當時，正整數的最小值為5，故選Ｂ點評：本題主要考察二項式定理的基本知識，以通項公式切入探索，由整數的運算性質易得所求。本題中“非零常數項”為干擾條件。易錯點：將通項公式中誤記為，以及忽略為整數的條件。2．答案：選Ａ解析：法一由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對對應點，，則，帶入到已知解析式中可得選Ａ法二由平移的意義可知，先向左平移個單位，再向下平移2個單位。點評：本題主要考察向量與三角函數圖像的平移的基本知識，以平移公式切入，為簡單題。易錯點：將向量與對應點的順序搞反了，或死記硬背以為是先向右平移個單位，再向下平移2個單位，誤選Ｃ3．答案：選Ｂ解析：先解兩個不等式得，。由定義，故選Ｂ點評：本題通過考察兩類簡單不等式的求解，進一步考察對集合的理解和新定義的一種運算的應用，體現了高考命題的創新趨向。此處的新定義一般稱為兩個集合的差。易錯點：對新定義理解不全，忽略端點值而誤選Ａ，以及解時出錯。4．答案：選Ｄ解析：由射影的概念以及線線垂直關系的判定方法，可知①②③④均錯,具體可觀察如圖的正方體：但不垂直，故①錯；但在底面上的射影都是故②錯；相交，但異面，故③錯；但異面，故④錯點評：本題主要考察空間線面之間位置關系，以及射影的意義理解。關鍵是要理解同一條直線在不同平面上的射影不同；線在面內，線面平行，線面相交的不同位置下，射影也不相同。要從不用的方向看三垂線定理，充分發揮空間想象力。易錯點：空間想象力不夠，容易誤判③、④正確，而錯選Ｂ或Ｃ5．答案：選C解析：法一特殊值法，由題意取，則，可見應選C法二令，分別取和，則原式化為所以原式=（分子、分母1的個數分別為個、個）點評：本題考察數列的極限和運算法則，可用特殊值探索結論，即同時考察學生思維的靈活性。當不能直接運用極限運算法則時，首先化簡變形，后用法則即可。本題也體現了等比數列求和公式的逆用。易錯點：取特值時忽略和是兩個不相等的正整數的條件，誤選B；或不知變形而無法求解，或者認為是型而誤選B，看錯項數而錯選D6．答案：選B解析：由等比數列的定義數列，若乙：是等比數列，公比為，即則甲命題成立；反之，若甲：數列是等方比數列，即即公比不一定為，則命題乙不成立，故選B點評：本題主要考察等比數列的定義和創新定義的理解、轉換。要是等比數列，則公比應唯一確定。易錯點：本題是易錯題。由，得到的是兩個等比數列，而命題乙是指一個等比數列，忽略等比數列的確定性，容易錯選C7．答案：選A解析：由題設可知點同時滿足雙曲線和拋物線的定義，且在雙曲線右支上,故由定義可得故原式 ，選A點評：本題主要考察雙曲線和拋物線的定義和性質，幾何條件列方程組，消元后化歸曲線的基本量的計算，體現數形結合方法的重要性。易錯點：由于畏懼心理而胡亂選擇，不能將幾何條件有機聯系轉化，缺乏消元意識。8．答案：選D解析：由等差數列的前項和及等差中項，可得，故時，為整數。故選D點評：本題主要考察等差數列的性質，等差中項的綜合應用，以及部分分式法，數的整除性是傳統問題的進一步深化，對教學研究有很好的啟示作用。易錯點：不能將等差數列的項與前項和進行合理轉化，胡亂選擇。9．答案：選C解析：由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當點位于直線上及其下方時，滿足，點的總個數為個，而位于直線上及其下方的點有個，故所求概率，選C點評：本題綜合考察向量夾角，等可能事件概率的計算以及數形結合的知識和方法。易錯點：不能數形直觀，確定點的位置，或忽略夾角范圍中的，而誤選A10．答案：選A解析：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標軸不垂直，不過坐標原點，而圓上的整數點共有12個，分別為，，前8個點中，過任意一點的圓的切線滿足，有8條；12個點中過任意兩點，構成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過原點（圓上點的對稱性），故滿足題設的直線有52條。綜上可知滿足題設的直線共有條，選A點評：本題主要考察直線與圓的概念，以及組合的知識，既要數形結合，又要分類考慮，要結合圓上點的對稱性來考慮過點的直線的特征。是較難問題易錯點：不能準確理解題意，甚至混淆。對直線截距式方程認識不明確，認識不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對圓上的整數點探索不準確，或分類不明確，都會導致錯誤，胡亂選擇。二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應位置上．11．答案：解析：由互反函數點之間的對稱關系，取特殊點求解。在上取點，得點在上，故得；又上有點，則點在點評：本題主要考察反函數的概念及其對稱性的應用。直接求反函數也可，較為簡單。易錯點：運算錯誤導致填寫其他錯誤答案。12．答案：或滿足的任意一對非零實數對解析：由復數運算法則可知，由題意得，答案眾多，如也可。點評：本題主要考察復數的基本概念和運算，有一般結論需要寫出一個具體結果，屬開放性問題。易錯點：復數運算出錯導致結果寫錯，或審題馬虎，只寫出，不合題意要求。13．答案：解析：由約束條件得如圖所示的三角形區域，令，顯然當平行直線過點時，取得最小值為點評：本題主要考察線性規劃的基本知識，考察學生的動手能力作圖觀察能力。易錯點：不能準確畫出不等式組的平面區域，把上下位置搞錯，以及把直線間的相對位置搞錯，找錯點的位置而得到錯誤結果。14．答案：解析：由題意知所求概率點評：本題考察次獨立重復試驗中，某事件恰好發生次的概率，直接用公式解決。易錯點：把“恰好投進3個球”錯誤理解為某三次投進球，忽略“三次”的任意性。15答案：（I）（II） 解析：（I）由題意和圖示，當時，可設（為待定系數），由于點在直線上，；同理，當時，可得（II）由題意可得，即得或或，由題意至少需要經過小時后，學生才能回到教室．點評：本題考察函數、不等式的實際應用，以及識圖和理解能力。易錯點：只單純解不等式，而忽略題意，在（II）中填寫了其他錯誤答案。三、解答題：本大題共6小題，共75分．16．本小題主要考查平面向量數量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數的性質等基本知識，考查推理和運算能力．解：（Ⅰ）設中角的對邊分別為，則由，，可得，．（Ⅱ）．，，．即當時，；當時，．17．本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計總體分布的統計方法，考查運用概率統計知識解決實際問題的能力．解：（Ⅰ）分組頻數頻率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合計1001.00樣本數據樣本數據頻率/組距1.301.341.381.421.461.501.54（Ⅱ）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為．（Ⅲ）總體數據的期望約為．18．本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數學問題的能力．解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）過點在平面內作于，則由（Ⅰ）知平面．連接，于是就是直線與平面所成的角．在中，；設，在中，，．，ADBCHADBCHV又，．即直線與平面所成角的取值范圍為．解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．ADBCVxyz（Ⅱ）設直線與平面所成的角為，平面ADBCVxyz則由．得可取，又，于是，，，．又，．即直線與平面所成角的取值范圍為．解法3：（Ⅰ）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，于是，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，則由，得ADBCVxADBCVxy于是，，，．又，，即直線與平面所成角的取值范圍為．解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．設．ADBCVxADBCVxyz，即．，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）設直線與平面所成的角為，設是平面的一個非零法向量，則取，得．可取，又，于是，，關于遞增．，．即直線與平面所成角的取值范圍為．19．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．解法1：（Ⅰ）依題意，點的坐標為，可設，NOACByx直線的方程為，與聯立得消去得．NOACByx由韋達定理得，．于是．，當時，．（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，NOACByxlNOACByxl，，，．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得，又由點到直線的距離公式得．從而，當時，．（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．設直線與以為直徑的圓的交點為，則有．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．20．本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力．解：（Ⅰ）設與在公共點處的切線相同．，，由題意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，則．于是當，即時，；當，即時，．故在為增函數，在為減函數，于是在的最大值為．（Ⅱ）設，則．故在為減函數，在為增函數，于是函數在上的最小值是．故當時，有，即當時，．21．本小題主要考查數學歸納法、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力．解法1：（Ⅰ）證：用數學歸納法證明：（ⅰ）當時，原不等式成立；當時，左邊，右邊，因為，所以左邊右邊，原不等式成立；（ⅱ）假設當時，不等式成立，即，則當時，，，于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當時，不等式也成立．綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對一切正整數，不等式都成立．（Ⅱ）證：當時，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當時，，．即．即當時，不存在滿足該等式的正整數．故只需要討論的情形：當時，，等式不成立；當時，，等式成立