高三年級上學期數學學練案（第33期）編寫人：朱老師審查人：劉老師使用日期：2023.1275空間向量及應用自主復習【查】【必備知識】1.空間向量定義在空間，具有和的量叫做空間向量．2.向量共線、共面定理(1)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ使.(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使.如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝.(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則叫做a，b的數量積，記作a·b.即a·b＝．規定：零向量與任何向量的數量積為0.(2)常用結論(a，b為非零向量)①a⊥b?.②a·a＝＝.③cos〈a，b〉＝.(3)數量積的運算律數乘向量與數量積的結合律(λa)·b＝λ()＝a·()交換律a·b＝分配律a·(b＋c)＝設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標運算法則如下表所示：運算坐標表示加法a＋b＝減法a－b＝數乘λa＝，λ∈R數量積a·b＝平行(a∥b)a∥b(b≠0)?a＝λb垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?(a，b均為非零向量)模|a|＝eq\r(a·a)＝夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))在空間直角坐標系中，設A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則(1)eq\o(AB,\s\up8(→))＝；(2)dAB＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝.7.空間中平行關系的向量表示線線平行設兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2??線面平行設l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)，則l∥α??面面平行設α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β??＝λ8.空間中垂直關系的向量表示線線垂直設直線l1的方向向量為u＝(a1，a2，a3)，直線l2的方向向量為v＝(b1，b2，b3)，則l1⊥l2??線面垂直設直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，則l⊥α???＝(λ∈R)面面垂直設平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，則α⊥β???【考試要求】1．了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置，會簡單應用空間兩點間的距離公式．2．了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．3．掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示．能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直．二、師生研學【研】[考點分類突破]考點一空間向量的線性運算【例11】如圖，在四面體中，，，，為的重心，為的中點，則（

）A．B．C． D．【例12】如圖所示，在三棱柱中，是的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量.(1)；(2)；(3).歸納總結：進行向量線性運算時，需注意以下幾個問題：一、結合圖象明確圖中各線段的幾何關系；二、要準確運用向量加法、減法與數乘運算的幾何意義(易出現用錯運算法則)；三、注意平面向量的三角形法則和平行四邊形法則在空間仍然成立?！揪毩?1】如圖所示，已知矩形，為平面外一點，且平面，、分別為、上的點，且，，求滿足的實數的值．考點二空間向量的共線、共面問題【例21】如圖，在長方體中，M為的中點，N在AC上，且．求證：與、共面．歸納總結：(1)證明點共線的方法證明點共線的問題可轉化為證明向量共線的問題，如證明A，B，C三點共線，即證明eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))共線，即證明eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→)).(2)證明點共面的方法證明點共面問題可轉化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PB,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))或對空間任一點O，有eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(OP,\s\up8(→))＋xeq\o(PB,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))或eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理實際上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件【練習21】如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，．(1)證明：、、、四點共面．(2)若，求．考點三空間向量的數量積及其應用【例31】如圖所示，已知空間四邊形ABDC的對角線和每條邊長都等于1，點E、F分別是AB、AD的中點．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．歸納總結：空間向量的數量積運算有兩條途徑，一是根據數量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算.【練習31】如圖，在平行六面體中，，，，，．求：(1)(2)的長．歸納總結：空間向量數量積的兩個應用1、求夾角設向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進而可求兩異面直線所成的角2、求長度(距離)運用公式，可使線段長度的計算問題轉化為向量數量積的計算問題.考點四向量法證明平行、垂直【例41】如圖，在直三棱柱中，3，=4，5，(1)求證；(2)在上是否存在點，使得并說明理由歸納總結：向量法解決與垂直、平行有關的探索性問題的思路(1)根據題設條件中的垂直關系，建立適當的空間直角坐標系，將相關點、相關向量用坐標表示。(2)假設所求的點或參數存在，并用相關參數表示相關點的坐標，根據線、面滿足的垂直、平行關系，構建方程(組)求解．若能求出參數的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在．【練習41】如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結論．三、提升訓練【練】1．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝()A．－1B．0C．1D．不確定2．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°．(1)求AC1的長；(2)求AC與BD1夾角的余弦值．3．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F分別是AB，PB的中點．在平面PAD內是否存在一點G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出點G坐標；若不存在，試說明理由．作業布置（見作業紙）四、師生總結【結】1、空間向量的概念、兩個定理、運算法則；2、空間向量的應用：（1）線面位置關系的證明；（2）求線段的長度或有關的夾角；3、解決探索性問題的思路。75空間向量及應用作業題題號12345678答案1．在正三棱錐中，是的中心，，則(

)A． B． C． D．2．如圖，在三棱錐中，設，，，若，，則（

）A． B． C． D．3．如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則等于（

）A． B．C． D．4．如圖所示，在棱長為1的正方形中，點P是的中點，點M，N是矩形內（包括邊界）的任意兩點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．【多選題】正方體的棱長為1，體對角線與，相交于點，則（

）A． B． C． D．6．如圖所示，在正方體中，下列各式中運算結果為向量的是______.（填序號）.①；

②；③；

④.7．在四面體OABC中，點M，N分