2021年全國統一高考數學試卷（新高考n）

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.（5分）復數21在復平面內對應點所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）若全集。={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4},貝llAACuB

=（）

A.{3}B.{L6}C.{5,6}D.{1,3}

3.（5分）若拋物線f=2px（p>0）的焦點到直線y=x+l的距離為我，則p=（）

A.1B.2C.2MD.4

4.（5分）北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果.在衛星導航系統中，地

球靜止同步軌道衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000b〃（軌道高度是

指衛星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑/?為6400%?的球，其上

點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數.地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜

止同步軌道衛星點的緯度最大值為a,該衛星信號覆蓋地球表面的表面積S=2nJ（1-

cosa）（單位：kn，）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

5.（5分）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

A.20+1273B.28MC.因D.義返

33

6.（5分）某物理量的測量結果服從正態分布N（10,。2）,則下列結論中不正確的是（）

A.。越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.1）內的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于為9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中結果落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

7.（5分）己知a=log52,匕=k>g83,c=上，則下列判斷正確的是（）

2

A.c<h<aB.b<a<cC.a<c<hD.a<b<c

8.（5分）已知函數/（x）的定義域為R,.f（x+2）為偶函數，/（2A+1）為奇函數，則（）

A./(--1)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有

多項是符合題目要求的。全選對得5分，選對但不全得2分，有錯誤答案得0分）

（多選）9.（5分）下列統計量中，能度量樣本xi，X2，…，X”的離散程度的有（）

A.樣本xi,必，…，X”的標準差

B.樣本X”X2，…，X”的中位數

C.樣本xi，X2，…，X”的極差

D.樣本xi，X2，…，初的平均數

（多選）10.（5分）如圖，下列正方體中,。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為

（多選）11.（5分）已知直線/：or+by-，=0與圓C：/+_/=/,點A（a,b）,則下列說

法正確的是（）

A.若點A在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點A在圓C內，則直線/與圓C相離

C.若點4在圓C外，則直線/與圓C相離

D.若點A在直線/上，則直線/與圓C相切

（多選）12.（5分）設正整數L=oo?2°+ai設口…+延-r2*1+研2匕其中°汜{0,1},記3

（〃）=a（）+a\+"-+ak>則（）

A.3（2M）=3（?）B.3（2〃+3）=3（?）+1

C.3（8n+5）=3（4"+3）D.3（2"-1）=〃

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡上）

13.（5分）已知雙曲線止-武=1（a>0,/?>0）的離心率e=2,則該雙曲線的漸近線

2,2

ab

方程為.

14.(5分)寫出一個同時具有下列性質①②③的函數/(x)：.

?f(xi%2)=f)f(X2);②當(0,+°°)時，f(x)>0；(x)是奇函數.

15.(5分)已知向量:+E+3=G1m=1，后1=[3=2,則小芯+芯?451=.

16.(5分)已知函數f(x)=\ex-l|,Xi<0,%2>0,函數/(x)的圖象在點A(xi,/(xi))

和點B(X2,f(x2))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點，則駟，的取

iBNl

值范圍是.

四、解答題(本題共6小題，共90分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。把答

案填在答題卡上)

17.(10分)記為是公差不為0的等差數列｛斯｝的前〃項和，若。3=$5,aia4=S4.

(I)求數列｛〃“｝的通項公式斯；

(II)求使%>即成立的n的最小值.

18.(12分)在△A8C中，角A,B,C所對的邊長為a,b,c,b=a+l,c=a+2.

(I)若2sinC=3sinA,求△ABC的面積；

(ID是否存在正整數a,使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在,

說明理由.

19.(12分)在四棱錐Q-ABC。中，底面ABC3是正方形，若AO=2,QD=QA=辰,

QC=3.

(I)求證：平面QADJ_平面A8CD；

(II)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

20.(12分)已知橢圓C的方程為9+9=1(a>6>0),右焦點為尸(料，0),且離心

率為運

3

(I)求橢圓C的方程；

(H)設M,N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線7+夕=及(x>0)相切.證明：M,

N,尸三點共線的充要條件是|MN|=F.

21.(12分)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第。代，

經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個

數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P(X

=i)=p/(i=0,1f2,3).

(I)已知〃o=O.4,pi=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X)；

(II)設〃表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：

po+pix+pif+ps^ux的一個最小正實根，求證：當E(X)W1時，p=l,當E(X)>1

時，pVl；

(III)根據你的理解說明(2)問結論的實際含義.

22.(12分)已知函數/(x)=(x-1)-ax^^-h,

(I)討論/(x)的單調性；

(II)從下面兩個條件中選一個，證明：/(X)恰有一個零點.

1J

@—<a^——,b>2a；

22

②OVQV工,bW2a.

2

2021年全國統一高考數學試卷（新高考H）

參考答案與試題解析

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.（5分）復數2L在復平面內對應點所在的象限為（）

l-3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出復數所對應點的坐標得答案.

【解答】解：?.?2L=鳥》^當土衛=咨_』4「

l-3i（l-3i）（l+3i）]2+（.3）21022

???在復平面內，復數2匚對應的點的坐標為（工，工），位于第一象限.

l-3i22

故選：A.

2.（5分）若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},8={2,3,4},則ACICuB

=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6）D.{1,3}

【分析】先利用補集的定義求出CuB,再利用交集的定義求解即可.

【解答】解：因為全集￡/={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B=[2,3,4）,

所以Cu2={l，5,6）,

故4CCuB={l,6}.

故選：B.

3.（5分）若拋物線V=2px（p>0）的焦點到直線y=x+l的距離為M，則p=（）

A.1B.2C.2&D.4

【分析】求出拋物線的焦點坐標，利用點到直線的距離公式求解即可.

【解答】解：拋物線V=2px（p>0）的焦點（R,0）到直線y=x+l的距離為加，

2

l^-0+l|

可得上■尸一3解得p=2.

V27"

故選：B.

4.（5分）北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果.在衛星導航系統中，地

球靜止同步軌道衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000的？（軌道高度是

指衛星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑r為6400h〃的球，其上

點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數.地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜

止同步軌道衛星點的緯度最大值為a,該衛星信號覆蓋地球表面的表面積S=2TtM（1-

cosa）（單位：Art?）,則s占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【分析】由題意，地球靜止同步衛星軌道的左右兩端的豎直截面圖，求解cosa,根據衛

星信號覆蓋的地球表面面積可得S占地球表面積的百分比.

【解答】解：由題意，作出地球靜止同步衛星軌道的左右兩端的豎直截面圖，

地球睜止同步軌道

則OP=36000+6400=424000,那么cosa=6400

4240053

衛星信號覆蓋的地球表面面積S=2TTJ（1-cosa）,

2

那么，S占地球表面積的百分比為271r）=至_%42%.

4兀/

故選：C.

5.（5分）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

D.萼

A.20+12立B.28圾56

~3

【分析】過A作AE_L48i，得AIE=2N=1,

2

出正四棱臺的體積.

【解答】解：如圖A8CO-A向CIOI為正四棱臺，AB=2,A向=4,A4i=2.

在等腰梯形481BA中，過4作AELAiBi，可得4歸=生2=1,

2

42=也12_慶通2=^^1=痣

連接AC,AC”

AC=V4+4=2V2-AICI=<L6+16=4加,

過A作AG_LA1C1，4G=啦-2a=料,

2

AG=22==,

^AA1-A1G^2^2

正四棱臺的體積為：

s上+s=+4s上，s下

丫=-------------------Xh

o

_22+42+^22X42乂

---------3---------*亞r

=28&

3,

6.(5分)某物理量的測量結果服從正態分布N(10,。2),則下列結論中不正確的是()

A.。越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.1)內的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于為9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中結果落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

【分析】利用正態分布曲線的特點以及曲線所表示的意義對四個選項逐一分析判斷即可.

【解答】解：因為某物理量的測量結果服從正態分布N(10,。2),

所以測量的結果的概率分布關于10對稱，且方差。2越小，則分布越集中，

對于A,。越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結果落在(9.9,10.1)內

的概率越大，故選項4正確；

對于B,測量結果大于10的概率為0.5,故選項8正確；

對于C,由于概率分布關于10對稱，所以測量結果大于10.01的概率等于小于9.99的概

率，故選項C正確；

對于￡>,由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的區域大于(10,

10.3)分布在10附近的區域，

故測量結果落在(9.9,10.2)內的概率大于落在(10,10.3)內的概率，故選項O錯誤.

故選：D.

7.(5分)己知。=k)g52,b=log83,c=X,則下列判斷正確的是()

2

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【分析】可得出10比2<￡，log83>y-然后即可得出b,c的大小關系.

￡￡

【解答】解：log52-logsS?loggBAloggS?4，

.".a<c<h.

故選：C.

8.(5分)已知函數/(x)的定義域為R,/(x+2)為偶函數，/(2x+l)為奇函數，則()

A./(-A)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D./?⑷=0

2

【分析】根據/(x+2)為偶函數，可得/(x+4)=/(-X),/(2x+l)為奇函數，可得/

(-2x+l)=-f(2x+\),即可判斷選項.

【解答】解：???函數f(x+2)為偶函數，

：.f(2+x)=/(2-x),

V/(2x+l)為奇函數，

?V(1-2JV)=-f(2x+l),

用x替換上式中2x+l,得/(2-x)=-f(x),

:.f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),即/(x)—f(x+4),

故函數/(x)是以4為周期的周期函數，

'：f(2x+l)為奇函數，

：.f(1-2x)=-f(2x+l),即/(2x+l)+f(-2x+l)=0,

用x替換上式中2x+l,可得，/(x)+f(.2-x)=0,

'.f(x)關于(1,0)對稱，

又?"⑴=0,

.V（-1）=/（-1+4）=/（3）=-/<!）=0.

故選:B.

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有

多項是符合題目要求的。全選對得5分，選對但不全得2分，有錯誤答案得0分）

（多選）9.（5分）下列統計量中，能度量樣本加，X2,…，心的離散程度的有（）

A.樣本XI，X2,X”的標準差

B.樣本x\,X2>X”的中位數

C.樣本XI,X2,X”的極差

D.樣本XI，XI，X”的平均數

【分析】利用中位數、標準差、極差、平均數的定義以及含義分析求解即可.

【解答】解：中位數是反應數據的變化,

方差是反應數據與均值之間的偏離程度,

極差是用來表示統計資料中的變異量數,反映的是最大值與最小值之間的差距,

平均數是反應數據的平均水平,

故能反應一組數據離散程度的是標準差,極差.

故選：AC.

（多選）10.（5分）如圖，下列正方體中,。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為

正方體的頂點，則滿足尸的是（）

C.

【分析】對于A,設正方體棱長為2,設MN與OP所成角為0,求出tanO=Y0,

從而

2

不滿足MNLOP；對于8,C,D,作出平面直角坐標系，設正方體棱長為2,利用向量

法進行判斷.

【解答】解：對于4,設正方體棱長為2,設與。尸所成角為0,

則tan0=丁」一=返，.?.不滿足MALLOP,故A錯誤;

對2

對于8,如圖，作出平面直角坐標系，設正方體棱長為2,

則N(2,0,0),M(0,0,2),P(2,0,1),O(1,1,0),

而=(2,0,-2),QP=(1，-1，1)，

MN?0P=0，；?滿足MN,OP,故8正確；

對于C,如圖，作出平面直角坐標系，設正方體棱長為2,

則M(2,2,2),N(0,2,0),O(1,1,0),P(0,0,1),

MN=(-2,0,-2),QP=(7，-1，1)，

誦?而=0,.?.滿足MNLOP,故C正確；

對于￡>,如圖，作出平面直角坐標系，設正方體棱長為2,

則M(0,2,2),N(0,0,0),P(2,1,2),O(1,1,0),

MN=(0,-2,-2),0P=(1,0,2),

誦?而=-4,.?.不滿足MNLOP,故。錯誤.

故選：BC.

(多選)11.(5分)已知直線/：ax+by-J=0與圓C：/+/=/,點A(a,b),則下列說

法正確的是()

A.若點A在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點A在圓C內，則直線/與圓C相離

C.若點A在圓C外，則直線/與圓C相離

D.若點A在直線/上，則直線/與圓C相切

【分析】根據直線和圓相切、相交、相離的等價條件進行求解即可.

【解答】解：???點4在圓C上,

/+匕2=於,

10Xa+0Xb-r之r2

圓心C(0,0)到直線/的距離為d=

直線與圓C相切，故A選項正確,

點A在圓C內,

/+如〈出

|0Xa+0Xb-r2||「2|

圓心C(0,0)到直線/的距離為d=

2-2

a+b

直線與圓C相離，故B選項正確,

點A在圓C外,

10Xa+0Xb-r2

圓心C(0,0)到直線/的距離為d=^X<n

2-2=2-2

a+ba+b

直線與圓C相交，故C選項錯誤,

點A在直線/上,

a2+b2=r2',

|0Xa+OXb-r2|Ir2|

圓心C(0,0)到直線/的距離為d=

a2+-b2

.?.直線與圓C相切，故。選項正確.

故選：ABD.

(多選)12.(5分)設正整數”=ao?2°+ai+…+鼐-1?2*1+四?2”，其中劣6{0,1},記3

(〃)=ao+a\+-+ak>則()

A.3(2M)=3(?)B.3(2〃+3)=3(〃)+1

C.3(8"+5)=3(4"+3)D.3(2"-1)="

【分析】2〃=ao?2i+ai,2?+…+你一1?24+魂?2"1可判斷A；取〃=2可判斷8；

把8"+5和4"+3都化成n=ao^)+ai'2'+-+ak-\*2k''+ak*2k,可判斷C；

2"-l=I?2°+I?2i+?+l?2"”可判斷O.

【解答】解：方法1：2n=a(),21+a??22+,,,+ak-1,2k+ak,2A+1?co(2/1)=CD(/i)=a()+ai+,,?

+ak>對；

當”=2時,2n+3=7=P2°+l*2'+l*22,Aw(7)=3.V2=O>2o+l?2',Aw(2)=0+1

=1,Aco(7)#3(2)+1,-B錯;

34/:+3234K3

8?+5=ao-2+ai?2+*+w?2+5=1.2°+l?2+670*2+<71?2+?+ar2,

/.(i)(8"+5)="o+ai+?+aK+2.4n+3=ao*2~+ai?2',+*+az；,2^+'+3=1*2^+1,21+?o*22+ai

?23+,+W2;:+2,

；.3(4"+3)=a()+ai+?+ak+2=(8"+5).C對；

n01,,l,,

V2-l=P2+P2+?+l?2).,.w(2-l)=n,.二。對.

方法2：根據題意得n<io>—akak-\*a\ao⑵，

3(n)為"的二進制表示下各位數字之和.

對于選項A,2〃在二進制意義下為末尾添0,不改變各位數字之和.

對于選項8,2n+3是二進制意義下末尾添0,然后加上11⑵，可能會改變各位數字之和，

如10⑵-111(2).

對于選項C,8〃+5是二進制意義下末尾添101,4〃+3是二進制意義下末尾添11,各位數

字之和相等.

對于選項。，(2"-各位數字之和為七

、n個1’

綜上所述：選項4CD符合題意.

故選：ACD.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡上）

13.(5分)已知雙曲線2匕-工：=1(a>0,b>0)的離心率e=2,則該雙曲線的漸近線

22

aub

方程為v=±\/^r?

【分析】根據雙曲線離心率為2,列出關于4、匕的方程，解之得b=由雙曲線漸

近線方程的公式可得到該雙曲線的漸近線方程.

22

【解答】解：???雙曲線的方程是￥-%=l(a〉O,b>0)，

...雙曲線漸近線為y=±且x

a

又?離心率為e=￡=2,可得c=2n

a

.*.c2=4a2,BPa2+fe2=4?2.可得

由此可得雙曲線漸近線為y=±V3x

故答案為：y—±，^x

14.(5分)寫出一個同時具有下列性質①②③的函數f(x)："x)=/.

?fCxiX2)=f(x\)f(X2);②當(0,+8)時-，/(x)>0；@f(x)是奇函數.

【分析】可看出/(x)=/滿足這三個性質.

22=22;

【解答】解：f(x)=AHt,f(x1X2)=(x1X2)x1x2=f(x1)f(x2)當疣

(0,+8)時，f(x)=2x>0；f(無)=2x是奇函數.

故答案為：/(%)=?.

另解：累函數/(x)=九〃(a>0)即可滿足條件①和②；偶函數即可滿足條件③，

綜上所述，取/(X)=/即可.

15.(5分)已知向量a+b+c=0，lal=l，lbl=lcl=2,則a，b+b，4c?a=-、.

2

【分析】a+b+c=0u>a+b=-c或a+c=-b或b+c=-a，三等式兩邊平方可解決此

題.

【解答】解：方法1：由a+b+c=0得a+b=-c或a+c=-b^Kb+c=-a,

:.(a+b)2=(-c)2或(a+c)2=(-b)之或(b+c)2=(-a)2>

又??,|al=l，lbl=ld=2,.,.5+2a'b=4,5+2a，c=4,8+2b*c=1?

-*?a*b=」，a*c=」，b*c='，*"-a*b+a*c+b*c=-—?

2222

故答案為：-9.

2

方法2：0nWH1S1112-￡|2=0b44=9

222

故答案為：——.

2

16.(5分)已知函數/(k)=\^-1|,總<0,X2>0，函數/(x)的圖象在點A(xi,f(xi))

和點8(X2,/(X2))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點，則料，的取

iBNl

值范圍是(0,1).

【分析】分別求得x<0,x>0時，f(x)的解析式和導數，可得切線的斜率和方程，令

x=0,可得M,N的坐標，再由兩直線垂直的條件和兩點的距離公式，化簡整理，可得

所求范圍.

【解答】解：當x<0時，/(x)=1-導數為/(x)=-，，

可得在點4G1，1-聲)處的斜率為心=-用，

切線AM的方程為y-(1-R)=-用(x-xi),

令x=0,可得y=l-川+xiR,即M(0,1-囚+加川)，

當x>0時，f(x)=^-1,導數為/(x)=",

可得在點8(“2,”7)處的斜率為七=￡%

令x=0,可得-1-X2/2，即N(0,-九2，)，

由/(x)的圖象在A,B處的切線相互垂直，可得女次2=-4?/2=-1,

即為Xl+X2=0,XIVO,X2>0,

1AHi_Jl+e2x：(-Xi)_Ji+e_2g_

所以.—e(0,1).

時

故答案為：(0,1).

四、解答題(本題共6小題，共90分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。把答

案填在答題卡上)

17.(10分)記S”是公差不為0的等差數列｛“"｝的前”項和，若43=S5，0204=54.

(I)求數列｛%｝的通項公式4”；

(II)求使的>的成立的n的最小值.

【分析】（I）直接利用等差數列的性質和前〃項和的應用求出數列的通項公式；

（II）直接利用作差法的應用和數列的分解因式的應用求出結果.

【解答】解：（I）數列S"是公差”不為0的等差數列｛斯｝的前〃項和，若“3=S5,a244

=*54?

根據等差數列的性質，的=*=5。3,故〃3=0，

根據42a4=§4可得（。3-d）（〃3+d）=（。3-2d）+（。3-d）+。3+（。3+。），

整理得-/=-2d,可得d=2（d=0不合題意），

故斯=〃3+（〃-3）d=2n-6.

（II）-6,〃1=-4,

Sn--二X2=M-5”，

2

Sn>a”即M2-5n>2n-6,

整理可得〃2-7n+6>0,

當n>6或〃<1時，Sn>an成立，

由于”為正整數，

故〃的最小正值為7.

18.（12分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊長為a,b,c,b=a+l,c=a+2.

（I）若2sinC=3siM,求△ABC的面積：

（ID是否存在正整數a,使得aABC為鈍角三角形？若存在，求出“的值；若不存在，

說明理由.

【分析】（/）根據已知條件，以及正弦定理，可得a=4,b=5,c=6,再結合余弦定理、

三角形面積公式，即可求解，（〃）由c>6>m可推得AABC為鈍角三角形時，角CM

為鈍角，運用余弦定理可推得J-2〃-3V0,再結合a>0,三角形的任意兩邊之和大于

第三邊定理，即可求解.

【解答】解：（/）：2sinC=3sinA,

根據正弦定理可得2c=3a,

?"=a+l,c=a+2,

??々=4,Z?=5,C=6,

22222

在△ABC中，運用余弦定理可得8sC=曳*4+5-6\l

2ab2X4X5一百

Vsin2C+cos2C=l,

,'?sinC=Vl-cos2C=^l-(y)2=~^~,

'SAABCVabsinC=^X4X5義手^岑

(〃)'：c>b>a,

.二△ABC為鈍角三角形時，角C必為鈍角,

ca2+b2-c2-a2+(a+l)2-(a+2)2

cosC=-2^—―27(74)<0,

.*.a2-2a-3<0,

V?>0,

AO<^<3,

???三角形的任意兩邊之和大于第三邊,

Aa+b>c,艮|JQ+Q+1>〃+2,E|Ja>1,

Al<a<3,

,.z為正整數，

??。=2.

19.(12分)在四棱錐Q-ABCO中，底面ABCO是正方形，若A￡>=2,QD=QA=^,

QC=3.

(I)求證：平面QA。，平面ABC。；

(II)求二面角B-Q。-A的平面角的余弦值.

【分析】(I)由CJ+QJMQCZ證明co_LQZ),再由CDLAD,證明CZ)_L平面QAD,

即可證明平面QAZ)_L平面A8CD

(II)【解法1】設AO的中點為M,連接QM、BM,求出cosZQDB,cosZQDA和/

BDA,再列方程求出二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

【解法2】取AO的中點O,在平面ABCD內作OxVAD,以OD所在直線為y軸，。。

所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面AOQ的一個法向量。，平面BDQ的

一個法向量6,再求cos<a,即可.

【解答】(1)證明：△QCQ中，CD=AD=2,。。=旄，QC=3,所以Co2+Q》=Qc2,

所以CQLQ。；

XCDLAD,ADQQD=D,AOu平面Q/LD,QOu平面Q4。，所以CQ_L平面QA￡>；

又C￡>u平面A8CZ),所以平面QAO_L平面ABCZ).

(II)解：【解法1】設4。的中點為M,連接QM、BM,如圖所示：

根據題意知，2M=2,BM=旄，。8=3,BD=2近,

△BQA中，cosZQDB=-^,cosZQDA^-L,NB￡>A=45°,

V10V5

因此根據三射線定理知，二面角B-QD-A的大小滿足：

cosZBDA=cosZQDBcosZQDA+sinZQDBsinZQDAcoscp，

B|J2^2.=-1=-+--2=?-?=.?cos(p，

2V10V5V10V5

解得COS(p=2.

3

【解法2】取AO的中點O,在平面48co內作。x_LA。，

以。。所在直線為y軸，。。所在直線為z軸，建立空間直角坐標系。-孫z,如圖所示:

則O(0,0,0),B(2,-1,0),D(0,1,0),Q(0,0,2),

因為Ox_L平面ADQ,所以平面ADQ的一個法向量為五=(1,0,0),

設平面BOQ的一個法向量為8=(x,y,z),

由而=(-2,2,0),DQ=(0,-1,2),

得停乎0,即「2x+2y=0,

B?而=0l-y+2z=0

令z=l,得y=2,x=2,所以6=(2,2,1)；

所以cosV五，"X>=一°，?日■—=——2+0+0—2：

|a|?|B|ix-4+4+13

22

20.（12分）已知橢圓C的方程為"+匚=1右焦點為尸（?,0）,且離心

2,2

ab

率為逅.

3

（I）求橢圓c的方程；

（H）設M,N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線/+y2=/>2（x>0）相切.證明：M,

N,F三點共線的充要條件是|MN=b.

【分析】（I）利用離心率以及焦點的坐標，求出。和c的值，結合/=/+/,即可求

出6的值，從而得到橢圓的標準方程;

（II）先證明充分性，設直線MN的方程，利用圓心到直線的距離公式求出機的值，聯

立直線與橢圓的方程，求出|MN|即可；再證明必要性，設直線MN的方程，由圓心到直

線的距離公式求出，”和/的關系，聯立直線與橢圓的方程，求出|MN|,得到方程，求出相

和f的值，從而得到直線MN必過點凡即可證明必要性.

【解答】（I）解：由題意可得，橢圓的離心率￡=返，又cfR,

a3

所以貝！I-沙=1,

2門

故橢圓的標準方程為3—+y2=1；

3丫

（］［）證明：先證明必要性，

若M,N,b三點共線時，設直線MN的方程為》=,町，+&,

則圓心。（0,0）到直線MN的距離為d=/"2一=1，解得m2=1,

vm2+l

，x=iny+亞

聯立方程組x22，可得（m2+3）y2+2&my-l=0，

—+y=1

即4y2+2V2W-l=0,

2

所以IMN|=Vl+m+=&X華"=對；

所以必要性成立；

下面證明充分性，

當|MN|=“時，設直線MN的方程為x=0+s,

此時圓心。（0,0）到直線心N的距離d=J?=1，貝iJ，-P=l，

Vt2+i

x=ty+s

聯立方程組1V2°,可得（P+3）丁+2》+，-3=0,

[―+y=1

則△=442-4（於+3）（S2-3）=12（?-J2+3）=24,

因為|MN|=V1+t2"=V§'

tz+3

所以7=1,S2=2,

因為直線MN與曲線/+夕=序（x>0）相切，

所以s>0,則s=V^，

則直線MN的方程為乂氣丫+近恒過焦點F（V2，0），

故M,N,尸三點共線，

所以充分性得證.

綜上所述，M,N,尸三點共線的充要條件是=

21.(12分)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，

經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個

數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P(X

=z)=pf(i=0,1f2,3).

(I)已知po=O.4,pi=0.3,p2=0.2,“3=0.1,求E(X)；

(II)設〃表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，〃是關于x的方程：

po+pix+p4+ps/ux的一個最小正實根，求證：當E(X)W1時，p=l,當E(X)>1

時，p<l；

(III)根據你的理解說明(2)問結論的實際含義.

【分析】(I)利用數學期望的計算公式求解即可；

(II)對〃o+mx+p2?+溫=不進行等量代換，然后再進行因式分解，構造函數/G),由

二次函數的性質分析證明即可；

(III)由題中〃的含義，分析〃=1和p<l的含義即可.

【解答】(I)解：由題意,po=O.4,pi=0.3,p2=0.2,〃3=0.1，

故E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1；

(II)證明：由題意可知，po+pi+p2+p3=l，則E(X)=pi+2P2+3p3，

231

所以P()+P1X+P2X+P3X=X,變形為po_(1-pi)X+p2X+p3X^=Of

所以8+沖2+〃/-(po+p2+〃3)X=0，

即PO(1~X)+p2X(X-1)+p3X(X-1)(X+1)=0,

即(X-1)[p3^+(P2+P3)X-po]=O,

令/(X)=〃3)+(〃2+〃3)X-/X)，

若P3*0時，則f(X)的對稱軸為x=-W」<0,

2P3

注意到/(0)=-poWO,/(l)=2p3+0-po=pi+2/72+3p3-1=E(X)-1,

若P3=0時，/(I)=￡(X)-1,

當E(X)W1時，/(I)WO,/(x)=0的正實根xo2l,原方程的最小正實根p=l,

當E(X)>1時，/⑴=pi+2p2+3p3-1>0，

故存在xo€(0,1),使得f(x)在(xo，1)上單調遞增，f(xo)<0,

因為po=O時，微生物不會滅絕，p=0,此時p是/(x)的非負實根，

則由E(X)V0,可知po>O,

故.f(0)>0,

所以/(x)在(刈，1)上有零點，故原方程的最小正實根p=xo<l；

(III)解：當1個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經過多代繁

殖后臨近滅絕；

當i個微生物個體繁殖下一代的期望大于1