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5.4第1課時新授課二項式定理的推導

根據多項式的乘法法則，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,如果稱等式的右邊為左邊的展開式，那么如何求出(a+b)n的展開式？1.能用多項式法則和計數原理推導出二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.請計算(a+b)2，(a+b)3和(a+b)4，分析其運算過程，并用組合數表示各項系數.知識點一：二項式定理根據多項式乘法法則，項的形式：展開式共有：當

時，2個(a+b)都不選b.a2的系數為,即a2系數為1；

3項當

時，當

時，1個(a+b)中選a，另一個(a+b)中選b.2個(a+b)都選b.ab的系數為,即ab系數為2；

b2的系數為,即b2系數為1.展開式共有：項的形式：系數為系數為4項3個(a+b)都選a.2個(a+b)中選a，1個(a+b)中選b.系數為系數為1個(a+b)中選a，2個(a+b)中選b.3個(a+b)中都選b.a4a3bab3b4a2b2問題：根據以上分析，猜想(a+b)n的展開式是怎樣的？各項是從n個因式中各取一個字母相乘得到關于a,b的n次單項式，有項的形式：展開式共有：n+1項.從n個因式中都取b，系數為從n個因式中取k個b，系數為從n個因式中取2個b，系數為從n個因式中取1個b，系數為從n個因式中都不取b，系數為項的系數：…………二項式定理：(a+b)n的二項展開式上式可簡寫成二項式系數概念生成式中的用Tk+1表示，稱為二項展開式中第（k+1）項，又稱為二項式通項，

記作二項式定理：知識點二：二項式定理的應用例1

求

的展開式.解：根據二項式定理，例2

求

的展開式.解：根據二項式定理，例3

求

的展開式.解：根據二項式定理，例4

求

的展開式中x4y3的系數.解：設展開式中的第k+1項為含x4y3的項，令7-k=4,得k=3,則∴x4y3的系數為

求二項展開式的特定項的系數的一般步驟：歸納總結1.寫出通項公式，其所有的字母的指數恰好都是題目要求的項；2.合并通項公式中同一字母的指數；3.根據具體要求，令字母的指數符合題目要求；4.再計算求得二項展開式的特定項的系數.求

的展開式中x3的系數.練一練解：設展開式中的第k+1項為含x3的項，令9-2k=3,得k=

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