南通西藏民族中學2023-2024學年第一學期期中考試九年級數學一、選擇題（本大題共12小題，共36分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．下面所列圖形中是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．下列事件是必然事件的是（

）A．明天一定下雪 B．拋擲一枚普通硬幣，得到正面朝上C．經過有信號燈的路口，遇見綠燈 D．直角三角形的兩個銳角互余3．關于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．只有一個實數根 D．沒有實數根4．在平面直角坐標系中，以點為圓心，半徑為5作圓，則原點一定（

）A．在圓外 B．在圓內 C．在圓上 D．與圓相交5．若二次函數的圖象經過點P（1，a），則a的值為（）A． B．1 C．2 D．46．如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉，得到，若點的對應點；恰好落在線段上，則線段的長為（）A． B． C．3 D．7．據國家統計局發布的《2022年國民經濟和社會發展統計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．8．如圖，圓上依次有四個點，交于點，連接，若，，則圖中度數為的角是（

）

A． B． C． D．9．設，，是拋物線上的三點，則、、的大小關系為（）A． B． C． D．10．如圖，的半徑為5，弦，，垂足為點P，則CP的長等于（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．411．已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心O到直線l的距離，則直線l與的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．平行12．如圖，二次函數圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為，結合圖象給出下列結論：

①；②；③；④關于x的一元二次方程的兩根分別為和1；⑤若點，，均在二次函數圖象上，則；其中正確的結論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題（本大題共6小題，共18分）13．若，則點關于原點對稱的點的坐標為．14．王芳拋一枚硬幣10次，有8次正面朝上，當她拋第11次，正面朝上的概率．15．如圖，圓周角，則圓心角的度數是為．

16．如圖，二次函數的圖象過點且對稱軸為直線，則關于的一元二次方程的解為．17．若a、b是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值為．18．如圖，二次函數與軸交于、兩點，與軸交于點，在拋物線的對稱軸上有一動點，連接和，則的最小值是．

三、解答題（本大題共9小題，共66分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19．解方程：．20．如圖，中，弦與相交于點H，，連接、．求證：．

21．某種病毒傳播非常快，如果一個人被感染，經過兩輪感染后就會有64個人被感染．求每輪感染中平均一個人會感染幾個人．22．如圖．已知的頂點的坐標分別是．

(1)作出關于原點中心對稱的圖形；(2)將繞原點O按順時針方向旋轉后得到，畫出．(3)寫出點的坐標，點的坐標．23．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，．(1)求的取值范圍；(2)當時，求的值．24．學生社團是指學生在自愿基礎上結成的各種群眾性文化、藝術、學術團體．不分年級、由興趣愛好相近的同學組成，在保證學生完成學習任務和不影響學校正常教學秩序的前提下開展各種活動．某校就學生對“籃球社團、動漫社團、文學社團和攝影社團”四個社團選擇意向進行了抽樣調查（每人選報一類），繪制了如圖所示的兩幅統計圖（不完整）請根據圖中信息，解答下列問題：(1)扇形統計圖中______，并補全條形統計圖；(2)已知該校有1200名學生，請估計“文學社團”共有多少人？(3)在“動漫社團”活動中，甲、乙、丙、丁四名同學表現優秀，現決定從這四名同學中任選兩名參加“中學生原創動漫大賽”，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲、乙兩位同學的概率．25．小李在景區銷售一種旅游紀念品，已知每件進價為6元，當銷售單價定為8元時，每天可以銷售200件．市場調查反映：銷售單價每提高1元，日銷售將會減少10件，物價部門規定：銷售單價不能超過12元，設該紀念品的銷售單價為（元），日銷量為（件），日銷售利潤為（元）．（1）求與的函數關系式；（2）求日銷售利潤（元）與銷售單價（元）的函數關系式，當為何值時，日銷售利潤最大，并求出最大利潤．26．如圖，是的直徑，是延長線上的一點，點在上，，交的延長線于點，交于點，且點是的中點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．27．如圖，拋物線過點．

(1)求拋物線的解析式；(2)設點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標平面內一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．答案與解析1．C【分析】根據中心對稱圖形的定義“在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形”，逐個進行判斷即可．【詳解】解：A、B、D不能找到一點，使其繞該點旋轉180度后與原來圖形重合，故A、B、D不是中心對稱圖形，不符合題意；C能找到一點，使C繞該點旋轉180度后與原來圖形重合，故C是中心對稱圖形，符合題意；故選：C．2．D【分析】根據確定事件和隨機事件的定義來區分判斷即可，必然事件和不可能事件統稱確定性事件；必然事件：在一定條件下，一定會發生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會發生的事件稱為不可能事件；隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件．【詳解】解：A.明天一定下雪，是隨機事件，故A不符合題意；B.拋擲一枚普通硬幣，得到正面朝上，是隨機事件，故B不符合題意；C．經過有信號燈的路口，遇見綠燈，是隨機事件，故C不符合題意；D．直角三角形的兩個銳角互余，是必然事件，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的定義，掌握定義是解題的關鍵．3．A【分析】對于，當,方程有兩個不相等的實根，當,方程有兩個相等的實根，,方程沒有實根，根據原理作答即可．【詳解】解：∵，∴，所以原方程有兩個不相等的實數根，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．4．C【分析】本題主要考查了點與圓的位置關系，求出原點到圓心的距離，再與半徑作比較，即可解答．【詳解】解：根據題意可得：原點到圓心的距離，∵半徑為5，∴原點在圓上，故選：C．【點睛】5．C【詳解】把點P（1，a）代入二次函數即可解得a=2，故答案選C．6．D【分析】由含角直角三角形的性質可得，由勾股定理可得，首先根據旋轉的性質得到是等邊三角形，由此得到旋轉角是，然后證明是等邊三角形即可求解．【詳解】解：在中，，，，，∵將繞點逆時針旋轉，得到，，，是等邊三角形，，∵將繞點逆時針旋轉，得到，，是等邊三角形，，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質、含角的直角三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理，得出是等邊三角形，由此得到旋轉角是，是解此題的關鍵．7．B【分析】設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，根據題意列出一元二次方程即可．【詳解】設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，根據題意得，．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵．8．C【分析】根據同弧所對的圓周角相等可得，再利用外角可得即可得到結論．【詳解】解：，，，．故選：C．【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等及外角的性質，熟練掌握相關知識是解題關鍵．9．C【分析】本題考查了二次函數的性質，先求出拋物線的對稱軸為直線，再根據點到對稱軸的距離從小到大為A，B，C，依據拋物線開口向上，則點到對稱軸的距離越小，對應的y值越小，即可得到、、的大小關系．【詳解】解：∴拋物線對稱軸為直線，∵，，∴到對稱軸的距離從小到大為A，B，C，∵拋物線開口向上，∴到對稱軸的距離越小，對應的y值越小，∴、、的大小關系為故選：C．10．A【分析】如圖，連接，由垂徑定理得，，由題意知，由勾股定理得，，根據，計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

由垂徑定理得，，由題意知，由勾股定理得，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．11．C【分析】先求方程的根，可得r的值，由直線與圓的位置關系的判斷方法可求解．【詳解】∵，∴，，∵的半徑為一元二次方程的根，∴，∵，∴直線l與的位置關系是相離，故選：C．【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．12．B【分析】根據拋物線的開口方向、與y軸的交點情況及對稱軸即可判斷①；根據對稱軸得，進而可判斷②；將代入原函數即可判斷③；根據拋物線與x軸的一個交點為，結合對稱軸可得另一個交點坐標，進而可判斷④；根據點，，到對稱軸的距離結合拋物線的開口向上，即可判斷⑤．【詳解】解：①∵二次函數圖象開口向上，且與y軸負半軸相交，，，又對稱軸，，，故①正確；②由①得：，則，則②錯誤；③∵二次函數圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為，∴當時，，故③正確；④根據拋物線與x軸的一個交點為，對稱軸為可知：拋物線與x軸的另一個交點為：，∴關于x的一元二次方程的兩根分別為和1，故④正確；⑤點到對稱軸的距離為：，點到對稱軸的距離為：，點到對稱軸的距離為：．∵拋物線開口向上，，故⑤錯誤，則結論正確的個數有3個，故選B．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，正確掌握二次函數的圖象和性質是求解本題的關鍵．13．【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標和絕對值非負性的應用：先根據，得，則點關于原點對稱的點的坐標的對應的橫坐標互為相反數，對應的縱坐標互為相反數，據此即可作答．【詳解】解：∵∴∴點關于原點對稱的點的坐標是故答案為：14．【分析】根據一枚硬幣只有正反兩面，拋擲硬幣正反出現的概率是相同的即可得到答案．【詳解】解：一枚硬幣只有正反兩面，拋擲硬幣正反出現的概率是相同的，拋擲一枚硬幣，硬幣落地后，正面朝上的概率是，當她拋第11次，正面朝上的概率，故答案為：．【點睛】本題考查的是概率的公式，注意拋硬幣只有兩種情況，每次拋出的概率都是一致的，與次數無關．15．【分析】作所對的圓周角，如圖，先利用圓內接四邊形的性質得到，然后根據圓周角定理得到的度數．【詳解】解：作所對的圓周角，如圖，

四邊形為的內接四邊形，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓內接四邊形的性質．作所對的圓周角是解決問題的關鍵．16．，【分析】根據二次函數的對稱性求得拋物線與x軸的另一個交點，然后根據圖象即可求得時x的取值范圍．【詳解】解：由圖像可知：拋物線與x軸交于，對稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一交點為：，∴的解為，，故答案為：，．【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，二次函數與方程的關系，求得拋物線與x軸的交點是解題的關鍵．17．2【分析】根據根與系數的關系得到，由此即可得到答案．【詳解】解：∵a、b是一元二次方程的兩個實數根，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數根，則．18．【分析】作點C關于拋物線對稱軸的對稱點D，可得，由此可解．【詳解】解：如圖，作點C關于拋物線對稱軸的對稱點D，連接，連接交對稱軸于點，

則，令，解得，，．令，則，．又拋物線對稱軸為直線，點C與點D關于對稱軸對稱，．，的最小值是．【點睛】本題考查拋物線的對稱性，拋物線與x軸的交點坐標，線段的最值問題，兩點間距離公式等，解題的關鍵是掌握拋物線的對稱性．19．【分析】根據因式分解法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：，∴，∴或，解得：．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．20．見解析【分析】利用證明，得出．【詳解】證明：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了同弧或等弧所對的圓周角相等，三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．21．每輪感染中平均一個人會感染7個人【分析】設每輪感染中平均一個人會感染x個人，根據題意列出關于x的一元二次方程，再求解取出符合題意的值即可．【詳解】設每輪感染中平均一個人會感染x個人，由題意得，，即，∴，∴或，∴，（舍去），答：每輪感染中平均一個人會感染7個人．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，理解題意，找出等量關系，正確列出方程是解題的關鍵．22．(1)見解析(2)見解析(3)；【分析】（1）分別作點A，B，C關于原點的對稱點，再依次連接即可；（2）分別將三個點繞原點順時針旋轉，得到三個點，再依次連接即可；（3）觀察圖象得到點和的坐標即可．【詳解】（1）解：即為所求作的三角形，如圖所示．

（2）解：即為所求作的三角形，如圖所示．

（3）解：點的坐標為和的坐標．故答案為：；．【點睛】本題主要考查了作旋轉圖形，作中心對稱圖形，找到圖形的頂點是作圖的關鍵．23．(1)(2)2【分析】根據根的判別式的意義得到，然后解不等式即可；根據根與系數的關系得到，然后解關于的方程即可．【詳解】（1）根據題意得，解得，即的取值范圍為；（2）根據根與系數的關系得，，，解得，而，的值為．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，解題的關鍵是懂得方程有兩個不相等的實數根時，根的判別式大于0．24．(1)20；補全圖形見解析(2)300人(3)【分析】（1）用類別人數除以其占總人數的比例可得總人數，再求出類別的人數，由的人數可得其所占百分比，由得人數即可補全條形圖；（2）用1200乘以文學社團所占得比例即可；（3）首先根據題意列出表格，再從中找到符合條件的結果數，利用概率公式計算可得．【詳解】（1）解：本次調查的總人數為（人）,類別人數為：,則,．補全圖形如下：；（2）解：估計“文學社團”共有（人）；（3）解：列表得：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12種等可能的結果，恰好選中甲、乙兩位同學的有2種情況，恰好選中甲、乙兩位同學的概率為.【點睛】本題考查的是條形統計圖與扇形統計圖、用列表法或畫樹狀圖法求概率，列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，需要注意概率=所求情況數與總情況數之比．25．（1）；（2）；當為12時，日銷售利潤最大，最大利潤960元．【分析】（1）根據題意得到函數解析式；（2）根據題意得到，根據二次函數的性質即可得到結論．【詳解】解：（1）根據題意得，，故與的函數關系式為；（2）根據題意得，，，當時，隨的增大而增大，當時，W最大，答：當為12時，日銷售利潤最大，最大利潤960元．【點睛】本題考查了二次函數的運用，利用總利潤=單個利潤×銷售數量建立函數關系式，進一步利用性質的解決問題，解