對數函數的圖像與性質(二)

考向一對數函數的定義域

1、函數/(x)=/g(x-2)+」一的定義域是()

x-3

A.(2,3)B.(3,+oo)

C.[2,3)U(3,+oo)D.(2,3)U(3,+oo)

【分析】令對數的真數x-2大于0；分母X-3非0,列出不等式組，求出函數的定義域.

【解答】解：要使函數有意義，需滿足

k-2>0

解得x>2且x*3

故選：D.

2、設集合A={x|-3領反—13},集合8為函數y=/g(x—1)的定義域，則A|j8=()

A.(1,2)B.[-1,+oo)C.(1,2]D.[1,2)

【分析】先化簡集合A,8再根據并集的定義即可求出.

【解答]解：A={x|-3融x-l3}=[-1,2],

y=/g(x-l)的定義域為{x|x>l}=(l,y),

=[-i,+oo),

故選：B.

【點評】本題考查集合的并集的求法，是基礎題.解題時要認真審題.

3、函數y=,/ogo,s(4x-3)的定義域是()

A.<-,+00)B.(-,1]C.y,1]D.[1,-K?)

44

【分析】首先由根式有意義得到k>g°，(4x-3)..O,然后求解對數不等式得到原函數的定義域.

【解答】解：要使原函數有意義，則bg0.5(4x-3)..O,

a

即0<4x-3,l,解得

4

所以原函數的定義域為

故選：B.

4、對數表達式log?D(5-x)中的x的取值范圍是.

【分析】直接根據底數與真數滿足的條件求解即可.

【解答】解：?.?對數式的底數需大于0不等于1,真數大于0;

5-x>0：：；且.番的取值范圍是：

故需:2”(2,5).

故答案為：(1,2)52,5).

【點評】本題主要考查對數表達式中底數與真數所滿足的條件，屬于基礎題.

J-x2-3x+4

5、函數y=的定義域是.

/心+1)

【分析】根據函數的定義為使函數的解析式有意義的自變量X取值范圍，我們可以構造關于

自變量X的不等式，解不等式即可得到答案.

【解答】解：要使函數”與言/有意義，則需滿足

—x^—3x+4..0

x+1>0且加(x+1)o0

解之得，一1<兀,1且xwO,

...函數y=的定義域是(T,O)U(O,1].

//2(X+1)

故答案是(-1,0)50，i].

【點評】本題考查了函數定義域的求解，做這類題目的關鍵是找對自變量的限制條件.

6、若/(外=1。8“(-/+108”;1?)對任意》€(0,3)恒有意義，則實數。的范圍.

【分析】根據對數函數成立的條件進行討論，分別進行求解即可.

【解答】解：要使函數/(x)有意義，則當意xe(O,g)時，—/+108“%>。恒成立，

即log“x>x2.

若a>l時，當XE(0,；)時log.xcO,此時不成立.

若0vavl,當xe(0,g)時，作出函數y=log.x和y=父的圖象，

當x=，時，log—=—,得加二!，

2a242

即a」，

16

/.若/(X)=log”(-產+log。X)對任意XG(0,g)恒有意義，

則—,,a<1,

16

即實數〃的范圍是['/).

故答案為：[」■』).

考向二復合函數的單調性

1、已知函數f(x)=log“［(a+l)x2-x-7］在［2,3］上是增函數,則實數。的取值范圍是()

A.(―,+oo)B.(1,1)5』，+8)

494

D.(；,1)［J［2,4^0)

C.(2,+00)

【分析】先考慮函數心)=m+l*-x_7,在［2,3］上是增函數，再利用復合函數的單調

性得出2求解即可.

(a+l)22-2-7>0

【解答】解：設函數，*)=(。+1)9-%-7,

?.,a>0,

,■.x=―!—<2,

2(4+1)

:.t(x)^(a+l)x2-x-1,在［2,3J上是增函數,

2

1."函數/(x)=logu［(a+l)x-x-7］在［2,3］上是增函數,

.p>>

■'[(a+l)22-2-7>0

5

Cl>一,

4

故選：A.

考向三復合函數的單調性應用（最值與值域，解不等式）

1、已知函數f（x）=2/og|X的值域為,1],則函數/（x）的定義域是（）

5

A.[―,偽B.[-1,1]

2

]/2

C.[-,2]D.（-co,半J應，+00）

【分析】由題意可得-1張如。gM1,化簡可得」張妙2.再由x>0,求得x得范圍，即可得

22

到函數/（X）的定義域.

【解答】解：?.?已知函數f（x）=2loglx的值域為[一1,1],.?.-1領210glx1,即

22

log1（：）T融logIXlogI（?,

Q2252

化簡可得,領P2.

2

再由x>0可得[別：叵,故函數f（x）的定義域為[4，72],

故選：A.

【點評】本題主要考查對數函數的定義域和值域，關鍵在于等價轉化，屬于中檔題.

2、已知函數，。）=儂加-2》+/的值域為R,則實數。的取值范圍為（）

A.[-1,1]B.[0,1]

C.(—00,—1)(1,+oo)D.(l,+oo)

【分析】結合對數函數的值域為R,等價轉化為(0,M)是g(x)值域的子集，利用一元二次

函數的性質進行轉化求解即可.

【解答】解：函數/(x)=/g(加-2x+a)的值域為

設g(x)=or2-2x+a,則g(x)能取邊所有的正數，即(0,轉)是g(x)值域的子集，

當a=0時，8(刈=-2犬的值域為7?,滿足條件.

當4K0時，要使(0,")是g(x)值域的子集，則滿足,2八得，

[A=4-4“-..0[-掇上1

此時0<q,l,

綜上所述，噫人1,

故選：B.

【點評】本題主要考查對數函數的圖象和性質，利用對數函數的值域為A，等價轉化為

(0,”)是g(x)值域的子集是解決本題的關鍵.

3、若定義運算了(“二力='則函數外嗎(1+*)笆)1咱(1—》))的值域是()

[b,a<b

A.(-1,1)B.10,1)C.[0,+oo)D.[0,1]

【分析】f(a*6)即取。、■的較大者,求出函數/(Iog2(l+x)*log2(l-x))的表達式為分段函

數，在每一段上求函數的值域，再取并集即可.

【解答】解：由題意得/(a*0=/小

\b,a<b

y=/(Iog2(l+x)*log2(l-x))，

_Jlog2(l+jc),0?x<l

}log2(l-x),-l<x<0

當O,,x<l時函數為y=log2(l+x),

因為y=log2(l+x)在[0,1)為增函數，

所以ye[0,1),

當一1<x<0時函數為y=log2(l-x),

因為y=k>ga-x)在(-1,0)為減函數，

所以ye(0,1),

由以上可得yc[0,1),

所以函數/(Iog2(l+x)*log2(l—x))的值域為[0,1),

故選：B.

4^若函數y=k>g“(x2-or+1)有最小值，則。的取值范圍是.

【分析】先根據復合函數的單調性確定函數g(x)=f-奴+1的單調性，進而分和

0<a<l兩種情況討論：①當a>l時，考慮對數函數的圖象與性質得到Y-ar+l的函數

值恒為正；②當0<。<1時，△=〃-4<0恒成立，x2-ar+l沒有最大值，從而不能使

得函數)，=1用“(/-以+1)有最小值.最后取這兩種情形的并集即可.

【解答】解：令g(x)=f-ar+l(a>0,aW1),

①當a>l時，^=1。8。*在*上單調遞增，

要使y=log”，-ax+1)有最小值，必須g(x),而>0,

<0,

解得-2vav2

:A<a<2\

②當0<〃vl時，g(x)=x2-ar+1沒有最大值，從而不能使得函數y二b且工/一依+1)有最

小值，不符合題意.

綜上所述：1<6Z<2；

故答案為：lvav2.

5、函數y=(log1x)2-log1f+5在2效k4時的值域為.

44

【分析】利用換元法，令f=log,x由2釉4可得-掇1:-1,由題意可得

42

y=(logix)2-21og［尢+5=(/-1尸+4,又因為函數在［-1,-單調遞減，從而可求函數

442

的值域.

【解答】解：令f=k)g］X,

4

因為2殖Jr4,所以-掇1

2

則y=(logjx)2-21og1x+5=(r-l)2+4,

44

又因為函數在［-1,-g］單調遞減，

當f=-?!■是函數有最小值交，當f=-1時函數有最大值8；

24

故答案為：{田紋斜，8}

-4

【點評】本題主要考查了對數的運算性質，換元法的應用，二次函數性質的應用及函數的單

調性的應用，屬于基礎知識的簡單綜合試題.

6、若函數f(x)=log〃(x+q-4),(。>0且的值域為R,則實數a的取值范圍是.

X

【分析】函數/(幻=1。8“。+3-4),(〃>0且a*1)的值域為/?,則其真數可取實數中每一

X

個正數，將這一關系轉化為不等式求解參數的范圍即可.

【解答】解：函數/■(x)=log“(x+2-4),(a>0且awl)的值域為R,其真數可取每一個正

X

數，

即工+3—4>0不恒成立，即存在xeR使得X+2,4,又。>0且awl

XX

故可求x+@的最小值，令其小于等于4

X

?.?X+2.2石

X

2y/a?4,解得a,,4,

故實數a的取值范圍是(0,I)U(1,4]

故應填(0,1)U(1,4]

7、□^口f(x)=/og2(x-D+Jx2-2x+4,若〃x2-x+l)-2<0,則x的取值范圍為()

B.(臂,0)|J(l，￥)

A.(-00,0)U(1,4-00)

r/-石1+石、

*(292D.(-1,0)51，2)

【分析】求出函數的定義域，再求出單調性，利用單調性求解不等式即可得結論.

【解答】解：由題意可得：解得X”

即函數/(x)的定義域為(1,”),

因為在區間(1,+00)上，函數y=log2(x-l)單調遞增，函數y=Jx?-2x+4單調遞增,

2

所以函數/(x)=log2(x-1)+\lx-2x+4在區間(1,+00)上單調遞增，

又/(2)=2,所以/(冗2一次+1)一2<0,即為f(f-x+l)</(2),

所以-工+1<2,

解得-——<x<0或l<x<]+".

22

故選：B.

8、已知函數/'(x)=log2(4'+l)-x,則使得了(3%-1)+1<log25成立的x的取值范圍()

A.(―°o,—)B.(0,—)

2

C.(―,+8)D.(—00,0)(19+oo)

【分析】先利用函數奇偶性的定義得到/(%)是偶函數,/(X)是偶函數，令分=1(r>0),

則g(r)=log式「+；),利用對勾函數的單調性結合復合函數的單調性得到當x<0時，/(x)為

減函數；當X..0時，/(x)為增函數，原不等式等價于(1),所以從

而得出x的取值范圍.

v

【解答】解：fM=log2(4+1)-x=log2(4*+1)-log?2'=log,=log,(2'+城)，

xx

■.-f(-x)=log2(2-+2)=f(x),

.?./(x)是偶函數,

令2』，Q>0),

.,.g(r)=log2(f+-)，

當0<，<1時，g⑺為減函數；當時，gQ)為增函數，

則當x<0時，/(x)為減函數；當X..0時，f(x)為增函數，

?/f(3x-1)+1<log25,

/(3x-l)<log25-l,

(1),

/J3x—l|<l,

/.-1<3x—1<1>

2

解得：0<x<-?

3

故選：B.

考向四復合函數的奇偶性

1、已知/(X)是奇函數，且當XV。時，/")=—*.若/(In2)=8,貝Ijo=

【答案］一3

【解析】由題意知/(幻是奇函數，且當％<°時，

又因為ln2e(0,l)/(In2)=8

所以一e=-8,

兩邊取以e為底數的對數，得一aln2=31n2,

所以一0=3,即〃=-3.

2、若函數f(x)=ln(x，ax+l)是偶函數,則實數a的值為.

【答案】0

【解析】函數f(x)=ln(x2+ax+l)是偶函數,

所以f(x)=f(-x),即In(x2+ax+l)=ln(x'-ax+l),

所以ax=-ax在函數的定義域中總成立,所以a=0.

3、已知f(x)是定義在H上的偶函數,且用,0時，f(x)=log|(-x+l).

2

(1)求/(x)的解析式；

(2)若/m—I)<T,求實數。的取值范圍.

【分析】(1)根據函數奇偶性的性質即可求函數f(x)的解析式；

(2)若/(4—1)<一1,將不等式進行轉化即可求實數。的取值范圍

【解答】解：(1)令x>0,則一x<0,/(-x)=log,(%+1)=/(%)

2

時，f(x)=log,(x+1),

2

logt(x+l)(x>0)

則〃X)=[5

組(-彳+1)(%,0)

2

(2)(III)Vf(x)=logi(-x+1)a(^o,0]上為增函數,

2

：./(x)在(0,-K?)上為減函數

/(?-1)<-1=/(1)

.'Jtz—1|>1,

二.a>2或avO.

【點評】本題主要考查函數解析式的求解以及不等式的求解，根據函數奇偶性的性質求

出函數的解析式是解決本題的關鍵

4、已知f(x)是定義在R上的偶函數,且用,0時，/(x)=log[(-x+1)

⑴求f(3)+/(-1)；

(2)求函數f(x)的解析式；

(3)若/(a-求實數a的取值范圍.

【分析】(1)利用函數奇偶性的性質即可求/(3)+/(-D

(2)根據函數奇偶性的性質即可求函數/(x)的解析式；

(3)若將不等式進行轉化即可求實數a的取值范圍.

【解答】解：(/)???/(x)是定義在A上的偶函數，％,0時，/(x)=log,(-x+l),

2

.?./(3)+/(-1)=/(-3)+/(-I)=log,4+log,2=-2-1=-3;

22

(〃)令x>0,則-Xv0,/(-%)=log,(x+l)=/(x)

2

二.x>0時，f(x)=log)(x+1)>

2

70gl(T+1),x,0

則/⑴=|1

(x+l),x>0

2

(ni)?.?/。)=1。81(—+1)在(-8,o］上為增函數,

2

f(x)在(0,+oo)上為減函數

?.?/(6Z-1)<-1=/(1)

；.|tz-1|>1,

.?.a>2或"0

【點評】本題主要考查函數解析式的求解以及不等式的求解，根據函數奇偶性的性質求出函

數的解析式是解決本題的關鍵.

5、已知函數/(勸=1嗚(l+x)—log“(l—x),其中a>0且"1.

(1)求函數/(x)的定義域；

(2)判斷/")的奇偶性，并說明理由；

(3)若/(1=2,求使/(x)>0成立的x的集合.

【分析】(1)根據函數解析式有意義的條件即可求/(x)的定義域；

(2)根據函數的奇偶性的定義即可判斷了(幻的奇偶性；

⑶根據/。=2,可得：。=2,根據對數函數的性質即可求使/(x)>0的x的解集.

【解答】解：(1)要使函數有意義，則f+

[l-x>0

解得—I<X<1,

即函數/(x)的定義域為(-1,1)；

(2)f(-x)=log?(-X+1)-log,,(1+x)=41ogu(x+l)-log?(l-x)]=-/(x),

，/(x)是奇函數.

(3)若代)=2,

33

,log/1+-)-logrt(1--)=log.4=2，

解得：a=2f

fM=log2(I+x)-log2(l-x),

若/(X)>O,則Iog2(x+l)>log2。-X)，

/.X4-1>1-X>0,

解得0cx<1,

故不等式的解集為(0,1).

【點評】本題主要考查對數函數的定義域，奇偶性和不等式的求解，要求熟練對數函數的圖

象和性質.

6、已知函數f(x)=log]匕絲的圖象關于原點對稱，其中。為常數.

2X-1

(1)求。的值；

(2)當時，/(尤)+108](1-1)<加恒成立，求實數團的取值范圍；

2

(3)若關于x的方程/(x)=log](x+k)在[2,3]上有解，求3的取值范圍.

2

【分析】(1)函數/(x)=log1匕竺的圖象關于原點對稱，可得f(x)+/(-x)=0,整理得

2X-1

logi匕絲+logi止竺=0恒成立，即可得出答案

2X~i2-X-1

(2)x￡(l,+co)時，/(x)+log](x-l)<〃z恒成立，求出xe(l,+oo)時,/(x)+log](x-l)的最

22

大值，即可解出m的取值范圍

(3)由于f(x)=k)g]—:在[2,3]上是增函數,g(x)=log](x+Z)在[2,3]上是減函數,

/一1i

可得出，兩函數圖象在所給區間上有交點，由此可通過比較兩函數在區間端點處的函數值的

大小得出解之即可得出答案

1/(3)..^(3)

【解答】解：(1)函數/"(x)=log|a的圖象關于原點對稱，

2X-1

\/*/、八nn11一奴14-CIX

/(x)+/(-X)=0,即log|------+log,-------=0,

2X—12一1―1

.A-ax1+辦、八\-cix\+ax3

?'?/ogi(-------X-------)=0,???--------X--------=1怛成乂，

x-1-x-\x-1-x-1

即1-/*2=]_*2,即面_[沈2=0恒成立，所以片_]=0,解得”=±1,

又4=1時，/(X)=logj--竺無意義，故。=一1；

21

1Y*

(2)xe(l,+oo)時，f(x)+log((工一1)<，口恒成立，即log1——-+log1(x-1)</n,

22工―12

，log［(x+l)〈機在(l,+oo)恒成立,

由于y=log］(x+l)是減函數，故當x=l,函數取到最大值一1，

\nt.-\y即實數〃的取值范圍是機..-1；

(3)/(x)=log］匕土在［2,3］上是增函數，g(x)=log］(x+Z)在［2,3］上是減函數,

彳》一1弓

???只需要卜即可保證關于X的方程/(x)=log1(x+Z)在［2,3］上有解，下解此不等

/(3)-g(3)

式組.

log?,k)g[Q+k)

代入函數解析式得，解得-啜*1,

log[2..logM3+k)

即當-啜點1時關于x的方程f(x)=log|(x+外在［2,3］上有解.

2

【點評】本題考查函數恒成立問題的解法及對數函數性質的綜合運用，屬于有一定難度的題,

本題考查了數形結合的思想，轉化化歸的思想，屬于靈活運用知識的好題

考向五分段函數的綜合性質

log2>0

1、設函數/(x)=k)g|(r),x<0,若/■)>/(一。)，則實數。的取值范圍是

【答案】(-1,0)?(1,?)

a>0a<0

【解析】由題意"iog26?>logja或<log〕(-tz)>log2(-^z)

、2I2

a>0a<0

=>\1或(1=。＞1或一1＜。＜0,則實數。的取值范圍是（一1,0）51,”）；

a>———<-a

、aIa

2、函數f（x）=|bg3x|在區間[a,b]上的值域為[0,1],則。-a的最小值為.

【分析】先畫出函數圖象，再數形結合得到a、6的范圍，最后計算〃-。的最小值即可

【解答】解：函數f（x）=llog3x|的圖象如圖

而/（：）=/（3）=1

由圖可知1],/＞e[l,3]

io

人一。的最小值為a=—，8=1時，即匕一。=—

33

考向六復合函數性質的綜合應用

1、已知函數f(x)=/〃(》2-or+4).

(1)若/(x)定義域為R,求實數a的取值范圍；

(2)當a=4時，解不等式/(e*)..x.

【分析】(1)轉化為判別式△<(),即可；

(2)a=4,將不等式/?')./轉化為(d)2-4/+4.2,再結合定義域即可得到x范圍.

【解答】解：(1)由已知得％2-奴+4>0解集為R,

△=a2-16<0,解得T<a<4；

(2)a=4時，f(x)=ln(x2-4x+4),

f\ex)=ln[(ex)2-4ex+4]..x,

(e')2-4e'+4..e‘，

(，)2-5e，+4..O,

令e"=f,

則/_5/+4..O,

"4或f,,1,

，x../"4或％,0,

又x?-4x+4>0,

綜上，x的解集為{x|%,0或x../〃4且XH2}.

【點評】本題考查了恒成立問題，不等式的解法.主要考查分析和解決問題的能力，解題時

注意定義域優先，本題屬于基礎題.

2、己知函數f(x)=log1，-2or+3).

2

(1)若/(x)的定義域為R,求。的取值范圍；

(2)若f(T)=—3,求f(x)單調區間；

(3)是否存在實數“，使/(x)在(re,2)上為增函數？若存在，求出。的范圍？若不存在,

說明理由.

【分析】(1)f一2奴+3>0恒成立，△<()

(2)求出a轉化為二次函數問題

(3)根據符合函數單調性求解.

【解答】解：⑴?.?函數/。)=1嗚，-2依+3)的定義域為/?,

2

.,.d-2"+3>0恒成立，A<0,4a2-12<0

即。的取值范圍一6<。<百

(2)?.?/(-1)=-3,:.a=2

'：f(x)=log,(x2-4x+3).X2-4x+3>0.x<l或x>3

2

設,*(x)=x2-4x+3,對稱軸x=2,

.,.在(-00,1)上為減函數，在(3,+oo)上為增函數

根據符合函數單調性規律可判斷：

/(x)在(-00,1)上為增函數，在(3,+00)上為減函數

(3)函數函x)=k>g］，-2ar+3).

設n[x}=x2-2ax+3,

可知在(-00,a)上為減函數，在(a,+oo)上為增函數

/(x)在(ro,2)上為增函數

7

a..2且4-4。+3..0,a..2且不可能成立.

4

不存在實數”，使在(-oo,2)上為增函數.

【點評】本題綜合考察了函數的性質，結合不等式求解，對函數理解的比較透徹才能做這道

題.

3、設函數f(x)=logs(9x).k>g3(3x),且,設！k9.

(I)求/(3)的值；

(11)令『=1。8/,將f(x)表示成以r為自變量的函數；并由此，求函數/3)的最大值與最

小值及與之對應的x的值.

【分析】(I)根據函數/(x)的解析式求得f(3)的值.

(II)令"log?》，則一2附2,且/(x)=r+3r+2,令g(r)=f2+31+2=Q+62-；，利

用二次函數的性質求得g(t)的最值以及此時對應的x的值.

【解答】解：(I)?.?函數/(x)=log3(9x).Iog3(3x),且"額9.

故/(3)=log327.1og,9=3x2=6.

2

(II)令"log),則-2馴2,K/(x)=(log3x+2)(1+log3x)=t+3t+2,

3

221

^g(r)=r+3f+2=(r+-)--,

故當t=-3時，函數g⑺取得最小值為-；，此時求得x=3<=骼；

當，=2時，函數g(r)取得最大值為12,此時求得x=9.

【點評】本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，二次函數的性質，屬于中檔題.

4、設集合A={x|y=log2(x-l)},8={y|y=-*2+2x-2,xe/?)

(1)求集合A,B；

(2)若集合C={x|2x+a<0},且滿足B|JC=C,求實數”的取值范圍.

【分析】(1)集合A即函數y=log2(x-l)定義域，8即y=-x?+2x-2,xeR的值域.

(2)先求出集合C,由B|JC=C可得BqC,.解不等式得到實數。的取值范

圍.

【解答】解：(1)A={x|y=log2(x-l)}={x|(x-l)>0}=(l,+oo),

8=3y=-/+2x-2,xeR}={y|y=-(x-l)2-1,xwR}=(7,-1].

(2)集合C={x|2x+a<0}={x|x<-g},

v8|JC=C,

；.B=C,

一@>一1.1”2,.?.實數。的取值范圍(f2).

2

【點評】本題考查函數的定義域、值域的求法，利用集合間的關系求參數的取值范圍.

5、己知函數f(x)=log2(x+l)-2.

(1)若/(x)>0,求x的取值范圍.

(2)若"(T,3],求/(x)的值域.

【分析】(1)通過/(x)>0,列出不等式即可求x的取值范圍.

(2)xe(-l,3],求出x+1的范圍，利用對數函數的單調性求解求f(x)的值域.

【解答】解：(