2022-2023學年第一學期期末西寧市六校聯考高二數學試題一、單選題（每題5分，共12題，小計60分）1.經過兩點A(2,3)，B(－1，x)的直線l1與斜率為－1的直線l2平行，則實數x的值為（）A.0 B.－6 C.6 D.3【答案】C【解析】【分析】根據點A(2,3)，B(－1，x)求得直線l1與斜率，再令斜率為－1求解.【詳解】直線l1的斜率k1＝＝，由題意可知＝－1，∴x＝6.故選：C2.過點且垂直于直線的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得直線的斜率為，由垂直得垂直直線的斜率，然后由點斜式寫出直線方程，化為一般式可得結果．【詳解】解：由題意可得直線的斜率為，則過點且垂直于直線的直線斜率為，直線方程為，化為一般式為．故選：A．3.正三棱錐的底面邊長為2，側面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結合已知條件可知，正三棱錐為正方體的一部分，然后利用三棱錐的體積公式求解即可.【詳解】由題意可知，正三棱錐為正方體的一部分，如下圖所示：則所求的正三棱錐為，且，由正方體性質可知，，所以，從而.故選：C.4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側面積是（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據三視圖判斷出立體圖形并根據圓錐側面積公式即可求解.【詳解】根據題意，該幾何體為圓錐，圓錐的底面半徑為1，高為3，則該幾何體的側面積是故選：B.5.已知橢圓C：的左右焦點為F1,F2離心率為，過F2的直線l交C與A,B兩點，若△AF1B的周長為，則C的方程為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】若△AF1B的周長為4,由橢圓的定義可知,,,,，所以方程為，故選A.考點：橢圓方程及性質6.在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D7.設A、B、C、D是球面上的四個點，且在同一平面內，，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知，根據題意，分別設出為球半徑，為四邊形外接圓半徑，為球心到平面的距離，根據題意，且根據即可求得，然后直接求解球的體積即可.【詳解】由已知，A、B、C、D在同一平面內，且，所以四邊形為正方形，設為球半徑，為四邊形外接圓半徑，為球心到平面的距離，根據球心到該平面的距離是球半徑的一半，可知，，而正方形邊長為，所以，由，解得，所以.故選：A.8.設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，不妨設點在軸上方，代入得，，所以.故選：B9.若直線與圓有兩個不同的交點，則a的范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題，直線與圓相交，則直線到圓心距離小于圓半徑.【詳解】由題，圓心坐標為，半徑為1，直線與圓相交.則圓心到直線距離，得，即，解得.故選：B10.已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】∵y2=2px的焦點坐標為,∴過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.故選B.11.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則C的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據漸近線方程得到，根據共焦點得到，解得答案.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，則.橢圓與雙曲線有公共焦點，則雙曲線的焦距，即，則，解得，，則雙曲線C的方程為.故選：B.（理）12.設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】【分析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯立方程求得，兩點坐標，即可求得，根據的面積為，可得值，根據，結合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設為在第一象限，在第四象限聯立，解得故聯立，解得故面積：雙曲線其焦距為當且僅當取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.（文）13.設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】設點，由依題意可知，，，再根據兩點間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數的性質求出最大值．【詳解】設點，因為，，所以，而，所以當時，的最大值為．故選：A．【點睛】本題解題關鍵是熟悉橢圓的簡單幾何性質，由兩點間的距離公式，并利用消元思想以及二次函數的性質即可解出．易錯點是容易誤認為短軸的相對端點是橢圓上到上定點B最遠的點，或者認為是橢圓的長軸的端點到短軸的端點距離最大，這些認識是錯誤的，要注意將距離的平方表示為二次函數后，自變量的取值范圍是一個閉區間，而不是全體實數上求最值.．二、填空題（每題5分，共4題，小計20分）14.過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為____________.【答案】x+y=3或y=2x【解析】【詳解】試題分析：：①當所求的直線與兩坐標軸的截距不為0時，設該直線的方程為x+y=a，把（1，2）代入所設的方程得：a=3，則所求直線的方程為x+y=3即x+y-3=0；②當所求的直線與兩坐標軸的截距為0時，設該直線的方程為y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，則所求直線的方程為y=2x即2x-y=0．綜上，所求直線的方程為：2x-y=0或x+y-3=0考點：直線方程15.若一個圓錐軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的側面積是_____________．【答案】【解析】【分析】設母線為，底面半徑為，即可得到且，從而求出、，再根據側面積公式計算可得.【詳解】解：由題意圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，設母線為，底面半徑為，則，且，，，，所以圓錐的側面積．故答案為：．16.若圓C過三個點，，，則圓C方程為____________．【答案】【解析】【分析】設圓的方程為，根據圓過點，，，代入求解.【詳解】解：設圓的方程為，因為圓過點，，，所以，解得，所以圓的方程為，即.故答案為：17.已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④m，n是兩條異面直線，若，則．上面的命題中，真命題的序號是____________．（寫出所有真命題的序號）【答案】③④【解析】【分析】利用平面與平面平行的判定和性質可判斷各命題的真假．【詳解】若，則m與n平行或異面，故①錯誤；，但m與n不一定相交，不一定成立，故②錯誤；若，則，又由，則，故③正確；m，n是兩條異面直線，若，則過m的平面與平面相交于直線，有，過n的平面與平面相交于直線，有，m，n異面，一定相交，，如圖所示，由面面平行的判定可知，故④正確；故答案為：③④三、解答題（共六題，小計70分）18.已知的三個頂點分別為．求：（1）邊上的中線所在直線的方程；（2）的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題可得AC中點坐標，結合中線過B點，可得答案；（2）由兩點間距離公式可得邊長，由點到直線距離公式可得高.【小問1詳解】設AC邊上中點為D，則，即，故AC邊上的中線BD所在直線的方程的斜率為，故為：，即．【小問2詳解】邊AC所在直線的方程為：，且，點B到直線AC的距離為：，故的面積：19.已知圓：（）與直線相切．（1）求圓的方程；（2）過點的直線截圓所得弦長為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用直線與圓相切可得到關于的方程，求解即可；（2）分類討論直線的斜率存在與否兩種情況，結合圓的弦長公式即可得解.【小問1詳解】∵直線與圓：相切，∴圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，∴．∴圓的方程為．【小問2詳解】∵直線截圓所得弦長為，∴圓心到直線的距離．當直線的斜率不存在時，即，符合；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，∴，解得，∴直線的方程為，即，故直線的方程為或．20.已知在四棱錐中，底面，且底面是正方形，F、G分別為和的中點.（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連接AC，通過證明，利用線面垂直的判定可得答；（2）通過證明面可得答案.【小問1詳解】連接AC，由已知F、G分別為和的中點，，又面ABCD，面ABCD，平面；【小問2詳解】底面是正方形，，又底面，面ABCD，，面，面，面，又面，.21.（1）已知拋物線的焦點為，設過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，求線段的長．（2）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，求雙曲線C的離心率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）聯立方程，利用拋物線的焦點弦長度公式和韋達定理計算弦長；（2）利用雙曲線的定義得到，，然后利用余弦定理得到的關系，進而求得離心率.【詳解】（1）拋物線的焦點為，直線的斜率為，則直線的方程為，設點、，聯立可得，，由韋達定理可得，因此，.（2）因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.22.如圖，在四棱錐中，，，，平面底面，，和分別是和的中點．求證：（1）底面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質定理即可；（2）首先證明出四邊形為矩形，從而得到，，再利用線面垂直的判定定理得到平面，再利用線面垂直的性質定理得到，再次證明平面，從而，最后利用三角形中位線性質和面面垂直的判定定理即可證明.【小問1詳解】因為平面底面，，平面底面，平面，所以底面.【小問2詳解】，，為中點，，則四邊形平行四邊形，，所以四邊形為矩形，，.底面，平面，.又平面，且，平面，平面，.和分別是和的中點，，.又，，平面，平面，平面，平面平面.（理）23.已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點在橢圓的內部，過點的直線交橢圓于、兩點，為線段的中點，且.①求直線的方程；②求橢圓的標準方程.【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】【分析】（1）由可證得結論成立；（2）①設點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由可得出，利用平面向量數量積的坐標運算可得出關于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當在橢圓的內部時，，可得.設點、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以