2023年第4章地震作用與結構抗震驗算工程結構抗震設計多質點彈性體系水平地震作用2匯報提綱豎向地震作用結構平扭耦合地震反應與雙向水平地震影響3456167概述結構非彈性地震反應分析結構抗震驗算單質點彈性體系水平地震作用第4章地震作用與結構抗震驗算

4.1概述結構由地震引起的振動稱為結構的地震反應。結構在反應的過程中產生內力，發生變形。靜力荷載：作用力不隨時間變化，作用過程無加速度；動力荷載：作用力隨時間顯著變化，作用過程有加速度，地震作用：地震釋放的能量以地震波的形式傳到地面，引起地面運動。地面在運動過程中帶動基礎和上部結構一道運動，產生強迫振動，存在加速度，振動過程中產生慣性力，該慣性力作用于結構各個部分，產生內力，發生變形。實為“地震荷載”。作用特點：隨時間發生變化，與建筑物動力特性有關，與結構自振周期、結構阻尼、質量有關，確定地震作用。十分復雜。第4章地震作用與結構抗震驗算4.2.1結構動力計算簡圖及體系自由度結構物平地而起均為連續體，連續體求解動力問題為無限自由度體系，十分冗繁；離散化的目的就是減少體系的自由度。集中質量法：把結構的質量假想地集中到若干質點，結構支承桿件看成無重彈性直桿。水塔、單層廠房可化為單質點體系。地震時假定地基不發生轉動：地面水平位移，已知；：質點相對位移，未知，待求。第4章地震作用與結構抗震驗算4.2.2單自由度彈性體系在地震作用下的運動方程在結構動力學中，確定一個體系彈性位移的獨立參數，稱為體系自由度。只需一個獨立參數即可確定彈性變形位置，即單自由度體系。水塔、單層廠房等，常常只考慮質點做單向水平振動，為單自由度體系。第4章地震作用與結構抗震驗算絕對位移[x(t)+xg(t)]引起。（2）阻尼力D

k——彈性支承桿的剛度，即質點發生單位水平位移時，需質點上施加的力。采用粘滯阻尼理論，假定阻尼與速度成正比取質點為隔離體，作用在質點上的力，有：第4章地震作用與結構抗震驗算整理可得運動方程：由達朗貝爾原理，體系處于動平衡，諸力之和等于0：（4.4）（4.5）對比擾力P(t)作用下運動方程：（4.6）第4章地震作用與結構抗震驗算引入記號：代入（4.5）化簡可得：圓頻率：臨界阻尼比：第4章地震作用與結構抗震驗算單自由度彈性體系在地震作用下的運動方程：二階常系數非齊次微分方程，解由兩部分組成：（1）齊次方程解，對應自由振動；（2）非次方程解，對應強迫振動。齊次方程解和非次方程解，構成方程通解，振動總是自由振動和強迫振動的疊加。4.2.3運動方程的解（4.7）第4章地震作用與結構抗震驗算

1.方程的齊次解―自由振動單質點彈性體系齊次方程：齊次方程通解為：令：為有阻尼自振頻率第4章地震作用與結構抗震驗算可有：由初始條件求A、B，t＝0，，，可得：

式（4.9）即為自由振動解當體系無阻尼時，ζ

＝0，ω

′＝ω

（4.9）第4章地震作用與結構抗震驗算

無阻尼自由振動：振幅不變，每一時段均重復上一時段的振動，這個時間間隔稱為周期：可做自由振動曲線：

有阻尼自由振動：振幅衰減，嚴格說非周期，時間間隔稱為周期：第4章地震作用與結構抗震驗算幾點結論：

（1）由下式可知，阻尼增大，頻率降低，周期增長；

（3）由下式可知，自振周期與體系質量剛度有關，是結構固有的屬性，又稱固有周期。

（2）實際結構，阻尼比在ζ＝0.01～0.1之間，取ζ＝0.05，ω′＝0.99875ω，相差0.125％，求頻率不考慮阻尼影響，取ω′＝ω

；第4章地震作用與結構抗震驗算2.方程的特解Ⅰ―簡諧強迫振動非齊次方程：

視為單位質量的擾力：對比質點在擾力作用下的方程：m

實為地面運動加速度，可用地震記錄表示。第4章地震作用與結構抗震驗算

將地震記錄無限細分，τ

時刻時段為dτ，對應的加速度為，即為擾力；

擾力是由一系列連續作用的加速度微分脈沖組成。求出每個微分脈沖引起的位移后，將這些位移相加即為動荷載引起的位移。

微分脈沖作用產生的效應與沖量作用相當，下面回顧一下沖量的概念。第4章地震作用與結構抗震驗算3.方程的特解‖―沖擊強迫振動

沖量：荷載P作用于單自由度體系，作用時間為△t，兩者乘積：

P·Δt

瞬時沖量：當荷載P作用時間很短，為瞬時dt時，兩者的乘積：

P·dt

沖量等于動量的改變量：

Pdt＝mv－

mv0沖擊荷載作用前，速度為0，位移為0；沖擊荷載完成瞬間，速度為v=Pdt/m，位移認為0；原體系，靜止體系；現體系，具有初速度的自由振動問題。第4章地震作用與結構抗震驗算

自由振動的解（4.9）式：令,x(0)=0,x′(0)=Pdt/m，得：此式表示一個瞬時沖量作用后，自由振動位移。（4.9）第4章地震作用與結構抗震驗算4.方程的特解Ⅲ―一般強迫振動瞬時沖量作用后，得到的自由振動位移適用于微分脈沖，把微分脈沖看作沖擊荷載，τ

時刻完畢的一個微分脈沖，在任一時刻t引起的振動位移，需做三點變換：①Pdt以替之；②取單位質量m=1；③起算時間為τ，t改為（t-τ）。可得：（4.14）第4章地震作用與結構抗震驗算總位移反應，所以微分脈沖作用效果疊加：即為非齊次方程的特解，又稱杜哈梅積分。與齊次方程構成方程通解，有阻尼自由振動衰減很快，忽略不計，剩下的就是強迫振動,又稱穩態受迫振動。

注意：①杜哈梅積分運用了疊加原理，只能用于彈性體系；②地面運動不能用解析式表達，只能數值積分求解。第4章地震作用與結構抗震驗算

4.2.4水平地震作用基本公式由前得動力平衡方程：在此基礎上討論水平地震作用基本公式。方程的解，穩態受迫振動位移：（4.4）（4.7）（4.15）第4章地震作用與結構抗震驗算作用于質點的慣性力：可得（4.4）由動力平衡方程（3.4）式：因為：再由：可略去第4章地震作用與結構抗震驗算設F為絕對增大值：令：有：

Sa取決于地面運動加速度，是結構周期T（或ω）、阻尼比ζ的函數，可通過數值積分確定地震作用。將（4.15）式代入上式，忽略阻尼對頻率影響，取ω′=ω

：第4章地震作用與結構抗震驗算4.2.5地震反應譜

對于結構設計來說，感興趣的是結構最大反應，因此在結構抗震設計中，一般并不需要求出時域上整個地震反應過程，而只要求出其中的最大絕對值。這類理論稱為地震反應譜理論。4.2.6設計反應譜1.地震系數由前：可以寫成：式中：k——

地震系數；β

——

動力系數；G

——

質點重量。下面分別加以確定。第4章地震作用與結構抗震驗算

地面的最大加速度與重力加速度的比值。地面加速度越大，地震影響越大，反映地面運動強弱程度，地震烈度I也是反映地面運動強弱程度，k-I兩者存在關系。

假如同一次地震中，有強震加速度記錄，可確定k值；同時根據該處破壞現象可評定地震烈度I，這就找到了對應關系。經過調整得到具有統計特征的關系。（1）地震系數k：表5.3地震烈度I與地震系數

k

關系地震烈度I6789

地震系數k0.050.100.200.40第4章地震作用與結構抗震驗算2.動力系數（4.26）

最大反應加速度與地面運動最大加速度的比值；質點最大加速度比地面最大加速度的放大倍數。將Sa

表達式代入，取ω

＝2π

/T，可得：第4章地震作用與結構抗震驗算

β與地面運動加速度、結構自振周期T、結構阻尼比ζ

有關。選取一條地震加速度記錄，再給定一個阻尼比，對于不同周期的單質點體系，利用式（3.26）能夠算出相應的動力系數，按周期大小的次序排序起來，得到β-T關系曲線，這就是動力系數β反應譜。動力系數是最大反應加速度與地面最大運動加速度的比值，β-T曲線實質上是加速度反應譜曲線。

當T小于Tg時，曲線波動增長；當T=Tg時，到達峰值；當T大于Tg時，曲線波動下降。當T=0

時，絕對剛體，β＝1

；當T很大時，聯系很弱，β

→0。

T

g是特征周期，結構周期與場地周期相符，地震反應最大。第4章地震作用與結構抗震驗算（1）特征周期特征周期值(s)設計地震分組場地類別Ⅰ0Ⅰ1ⅡⅢⅣ第一組0.200.250.350.450.65第二組0.250.300.400.550.75第三組0.300.350.450.650.90

特征周期Tg按場地類別，近遠震給出。土由硬到軟，Tg由小到大，峰值右移；遠震大于近震，峰值右移。第4章地震作用與結構抗震驗算3.地震影響系數表4.3水平地震影響系數最大值αmax

αmax＝kβmax①

βmax＝2.25；②k按前表的數值；

③多遇烈度約為基本烈度1/3。④罕遇烈度約為基本烈度2～3倍。地震影響6度7度8度9度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g多遇地震0.040.080.120.160.240.32設防地震0.120.230.340.450.680.90罕遇地震0.280.500.720.901.201.40第4章地震作用與結構抗震驗算4.阻尼對地震影響系數的影響

抗震結構阻尼器阻尼比大于0.05情況較多；鋼結構阻尼比通常都小于0.05，需要調整。小于0時取0小于0.55時取0.55一般情況下，阻尼比取為

ζ

＝0.05，此時γ

＝0.9。

②直線下降段的斜率調整系數η1：

③阻尼調整系數η1

：

①衰減指數γ：第4章地震作用與結構抗震驗算解：①結構自振周期：7度，αmax＝0.08，第一組，

III類場地，Tg＝0.45s。②地震影響系數：③水平地震作用：【例題4.1】單層廠房排架集中于柱頂的結構重量G＝500kN，柱抗側剛度7406×kN/m，橫梁剛度無限大，柱高h=5m，7度，第一組，III類場地，阻尼比ζ

＝0.05，計算水平地震作用。5.地震作用計算第4章地震作用與結構抗震驗算解：①衰減指數γ

：④水平地震作用：

②阻尼調整系數η2：③地震影響系數：增大7％【例題4.1】條件同上，阻尼比ζ

＝0.04，計算水平地震作用。第4章地震作用與結構抗震驗算4.3多質點彈性體系水平地震作用

4.3.1多自由度彈性體系在地震作用下的運動方程

單質點體系：水塔、單層廠房等。

多質點體系：多層房屋、不等高廠房、煙囪等多層房屋：i層質量集中到i層樓板標高處，n層房屋，n個質點。

不等高廠房：柱、墻、吊車梁質量集中到鄰近屋蓋柱頂標高處。第4章地震作用與結構抗震驗算作用在質點i

上的力：

阻尼力：

彈性恢復力：

Cir—第r質點產生單位速度，其余點速度零，在i質點產生的阻尼力；kir—第r質點產生單位位移，其余質點不動，在i質點上產生的彈性反力。第4章地震作用與結構抗震驗算根據達朗貝爾原理，得第i質點動力平衡方程：

推廣到n個質點，得多自由度彈性體系在地震作用下的運動方程：寫成矩陣形式：（4.37）（4.38）（4.40）第4章地震作用與結構抗震驗算多質點體系運動方程：（4.40）矩陣元素展開：第4章地震作用與結構抗震驗算4.3.3多自由度體系自由振動1.自由振動方程2.自振頻率以兩個自由度體系，無阻尼自由振動為例：將（4.42）代入（4.41），可得：設方程特解為：（4.43）（4.42）（4.41）振幅方程：大寫X

表示振幅小寫x表示位移下標表示質點位置第4章地震作用與結構抗震驗算振幅方程：為使振幅方程有非零解，其系數行列式應為0：頻率方程：ω1

——

第1自振頻率（基本自振頻率；數值較小者），ω2——

第2自振頻率（數值較大者）。（4.43）

可得關于ω2的兩個根，進而求出2個正實根：第4章地震作用與結構抗震驗算振幅方程：頻率方程：對于多自由度體系，當n>3時，振幅方程可寫成矩陣形式:

上式展開后即得ω2的n

方程式，解此方程可求得n個正實根，這就是n個自由度體系的n個自振頻率。（4.46）（4.47）第4章地震作用與結構抗震驗算Xji

第1個下標j振型第2個下標i質點（4.43）（4.48）質點振動時，對應各自的頻率，振幅比為定值。當ω＝ω1時：當ω＝ω2時：3.振型二個自由度體系，運用頻率方程可求出ω1、ω2，分別代入（4.43）第一式，可得：第4章地震作用與結構抗震驗算再由（4.42）式，可得對應于ω1、ω2的質點位移：當ω＝ω1時：當ω＝ω2時：在振動過程中兩質點位移比等于振幅比，位移比也為定值。第4章地震作用與結構抗震驗算

（a）在振動過程中，對應各自的頻率，位移比為定值，即在體系振動的任一時刻，兩個質點的位移比保持不變，體系將始終按某一彈性曲線振動，這種振動形式稱為主振型。（b）任一振型可看作是各主振型的線性組合，或振型疊加，高振型衰減快，剩下的是低振型。（c）主振型只取決于各質點位移之間的相對比值，與振幅大小無關，令某一個質點的位移值定為1，其余按比例放大或縮小，保持原彈性曲線不變。幾點結論：第4章地震作用與結構抗震驗算4.振型的正交性

由式（4.18）可知，結構振動過程中，任一時刻位移等于慣性力所產生的靜力位移。主振型的變形曲線，可視為體系按某一頻率振動時，其上相應質點的慣性力引起的靜力變形曲線。

作用在i質點，j振型的慣性力幅值：（4.18）第1振型第2振型第4章地震作用與結構抗震驗算

根據功的互等定理，第1振型慣性力在第2振型所做的功等于：第2振型慣性力在第1振型所做的功：整理可得：——主振型的正交性當振型不同：第4章地震作用與結構抗震驗算

對于兩個以上的多自由度體系，任意兩個振型j和k之間也具有上述正交性：表示為矩陣形式：物理意義：①

在振動過程中k振型的慣性力在j振型上不做功，動能不會轉移到其他振型上去，不會引起其他振型的振動；②

體系初始條件符合某某一振型，將始終按這一振型振動。當j=k時：第4章地震作用與結構抗震驗算可得：對第k個振型：

多自由度體系任意兩個振型對剛度矩陣也有正交性，體系按某一振型振動時，它的位能不會轉移到其他振型上去。同理，可導出剛度矩陣正交性，由振幅方程：第4章地震作用與結構抗震驗算當j＝k

時：

廣義質量當j≠

k時：

廣義剛度

為一數值由上導出得幾點結果：第4章地震作用與結構抗震驗算

上式以質點位移為坐標，展開后得到n個運動微分方程，在每一個方程中均包含所有未知的n質點位移，這個方程是聯立的，即耦合的。通過振型分解，得到n個獨立方程，給方程解耦。需做三項準備工作。4.3.3振型分解法1.運動方程的求解多自由度體系在地震作用下的運動方程：（4.40）第4章地震作用與結構抗震驗算（1）振型矩陣對n個自由度的振型體系，可求得n個主振型向量，將這些振型向量依次排列，形成n階方陣，振型矩陣，彼此正交。下標表示振型第4章地震作用與結構抗震驗算將振型矩陣轉置，并按行形成分塊矩陣，可得：將振型矩陣與質量矩陣兩邊相乘，得：第4章地震作用與結構抗震驗算

Mj為第

j振型的廣義質量

利用正交性，式中非對角線項均為零，主對角線項為第j振型的廣義質量，上式可寫成：記住：振型矩陣兩面夾乘以質量陣，可使其成為對角陣第4章地震作用與結構抗震驗算同理可得：Kj為第j振型的廣義剛度

振型矩陣的特點：與質量矩陣和剛度矩陣兩邊相乘后，可化為對角陣。記住：振型矩陣兩面夾乘以剛度陣，可使其成為對角陣第4章地震作用與結構抗震驗算也可用下式表示：（2）振型分解任一振型（質點位移）可表為各主振型的線性組合，圖示如下：第4章地震作用與結構抗震驗算寫成矩陣形式：第i質點任一時刻的位移為：（4.62）（4.63）﹛x﹜——多質點體系質點位移向量，原坐標；

[X]——振型矩陣，坐標轉換陣；﹛q﹜——線性組合系數，新坐標，以振型為基底。

線性代數中的標準變換。第4章地震作用與結構抗震驗算（3）阻尼矩陣阻尼系數很難用實驗方法確定，通常把阻尼矩陣取為質量矩陣和剛度矩陣的線性組合。這樣做的目的有二：

一是消除阻尼系數，避免麻煩；二是阻尼矩陣滿足正交條件，便于解耦。（4.65）（4.64）第4章地震作用與結構抗震驗算（4）方程解耦將代入運動方程：可得：等號兩邊左乘以[X]T第4章地震作用與結構抗震驗算將上式展開:利用振型正交性，將式（4.59）和（4.60）代入上式，得:第4章地震作用與結構抗震驗算將上式展開便得以qj為未知量的n個獨立方程:以廣義質量Mj除各項，令Kj/Mj=ω

j2得：令：再將：代入上式第4章地震作用與結構抗震驗算令：振型參與系數代入上式，可得：至此，得到n個獨立方程，方程解耦。第4章地震作用與結構抗震驗算

比照單自由度體系運動方程解，ζ改為ζj

，ω

改為ωj,等號右端多個γj：或表達為：j振型振子位移（5）方程的解第4章地震作用與結構抗震驗算坐標轉換，求原坐標下的解：（4.79）求出新坐標下的解：式中：Δj(t)——時間t的函數；Xji——質點位置的函數。多質點彈性體系任一質點的相對位移反應等于n個相應單自由度體系相對位移反應與相應振型的線性組合。只要知道個n振型和振型反應Δ

j(t)

，按式（4.79）求得的結果是精確的，當振型數目取得不夠時，結果則是近似的。第4章地震作用與結構抗震驗算對

i

質點：對整個體系：（4.80）

證明略（6）振型參與系數γj

γj為體系在地震反應中第j振型的振型參與系數，反映第j振型振動在振動中所占份額。可看作是多質點體系各質點均發生單位位移時的廣義坐標qj

值；設多自由度體系，各質點均發生單位位移，位移向量為{1},任一位移向量均可以表示成各主振型的線型組合。第4章地震作用與結構抗震驗算4.3.4多自由度彈性體系地震作用的振型分解反應譜法（1）第

i

質點水平地震作用基本公式多自由度彈性體系在地震時質點所受到的慣性力就是質點的地震作用。第i

質點上的地震作用為：將式（4.86）、（4.87）代入（4.85），可得：（4.85）（4.87）（4.86）第4章地震作用與結構抗震驗算（2）振型最大地震作用取Gi＝m

ig，再令：則（4.89）式可寫成：（4.89）（4.90）

工程上關心振型最大值，j振型，i質點上的地震作用絕對最大值為：（4.91）第4章地震作用與結構抗震驗算

式(4.91)就是振型質點上的地震作用的理論公式，也是《抗震規范》給出的水平地震作用計算公式。（4.91）式中：Fji——

相應于j振型i質點的水平地震作用最大值；

αj

——

相應于j振型自振周期的水平地震影響系數，參照反應譜確定；

Xji——

j振型i質點的振型位移幅值；

γj——

j振型的振型參與系數；

Gi——集中于質點i的重力荷載代表值。第4章地震作用與結構抗震驗算（3）振型組合

由前可得每一振型的最大地震作用，n個自由度，n個振型，各振型的最大地震作用不會在同一時刻出現，總反應不能簡單求和。

《抗震規范》假定地震時地面運動為平穩隨機過程，各振型反應相互獨立，給出“平方之和再開方”(SRSS)的組合公式。式中：S

Ek——水平地震作用標準值的效應（內力或變形）；

Sj——由振型水平地震作用標準值產生的作用效應。高振型的貢獻隨其頻率的增加而迅速減少，低振型控制著結構的最大地震反應。

實際計算中，一般采用前2～3個振型即可，T1>1.5s,或房屋高寬比>5，適當增加。（4.92）第4章地震作用與結構抗震驗算

4.3.5底部剪力法

振型分解求解地震反應能夠取得比較精確的結果，但需要計算結構體系的自振頻率和振型，運算過程十分冗繁。

底部剪力法，簡化方法，分兩部走：先算出作用于結構底部的總剪力，再按照某一規律分配給各個質點。

底部剪力法適用條件：（1）高度不超過40m；（2）質量和剛度沿高度分布比較均勻的結構；（3）剪切變形為主的結構。1.計算假定第4章地震作用與結構抗震驗算2.底部剪力的計算

j振型i

質點水平地震作用為：j振型結構底部剪力:將上式改寫成：（4.91）（4.93）（4.94）第4章地震作用與結構抗震驗算

結構總的底部剪力式中：C

——

等效總重力荷載換算系數；

Geq

——

結構等效總重力荷載代表值，0.85G；

α

1

——

對應于結構基本周期的水平地震影響系數。令：則上式可寫成：（4.95）（4.96）第4章地震作用與結構抗震驗算3.質點的地震作用

滿足底部剪力法使用條件，剪切變形為主。

地震反應以基本振型為主；基本振型接近一條斜直線

i

質點第1振型地震作用：(4.97)第4章地震作用與結構抗震驗算變換上式可得：將式（4.99）代入式（4.97），得：(4.99)

式（4.100）分母為定值，分子Gi各層相差不大，主要隨Hi變化，地震作用主要與高度成正比，呈倒三角形分布。(4.100)

結構底部剪力等于各質點水平地震作用之和，即第4章地震作用與結構抗震驗算

適用于T1≤1.4Tg，當T1＞1.4Tg時，高振型的影響，計算的結構頂部地震作用偏小。《抗震規范》將總地震作用中的一部分作用于結構頂部，再將余下部分分配給各質點。

附加集中水平地震作用可表示為：表3.4頂部附加系數

Tg(s)T1>1.4TgT1≤1.4Tg≤0.350.08T1+0.070.0<0.35~0.550.08T1+0.01>0.550.08T1-0.02

ΔFn——頂部附加水平地震作用；

δn——

頂部附加水平地震作用系數，多層混凝土和鋼結構房屋，由表4.4確定，多層內框磚房可取0.2，其他不考慮。(4.101)

余下部分按下式分配各質點：(4.102)

第4章地震作用與結構抗震驗算4.突出屋面地震作用放大

震害表明：地震作用下突出屋面的附屬小建筑物，如電梯間、女兒墻、裝飾物等，破壞嚴重；產生原因：由于小建筑物重量和剛度的突變，高振型的影響，地震反應會加大,鞭端效應；

處理措施：按底部剪力法計算，只考慮了第一振型的影響，突出屋面的小建筑物在地震中受到從屋面傳來的放大了的加速度。應對突出屋面小建筑物的地震作用效應乘以放大系數3，此放大作用不往下傳。第4章地震作用與結構抗震驗算

震害表明，地震作用下突出建筑物屋面的附屬小建筑物，如電梯間、女兒墻、附墻煙囪等，都將遭到嚴重破壞。這類小建筑物由于重量和剛度突然變小，高振型影響較大，會產生鞭端效應。第4章地震作用與結構抗震驗算

頂層框架結構設有嵌砌于柱之間窗臺墻，形成短柱，沿柱高產生脆性剪切破壞。該柱箍筋稀疏，縱筋充足，柱均被剪斷壓潰，樓蓋依靠縱筋支撐，未下沉。第4章地震作用與結構抗震驗算

綿竹市漢旺鎮人保大廈頂部附屬裝飾物地震時墜落。

該房屋為底框結構，將混凝土裝飾物支于砌體之上，與主體結構無拉結。第4章地震作用與結構抗震驗算

出屋面塔樓混凝土柱底部折斷，裝飾樓蓋柱斷裂。第4章地震作用與結構抗震驗算

出屋面樓梯間砌體傾倒，屋蓋墜落；裝飾樓蓋柱損傷；女兒墻根部斷裂倒塌。第4章地震作用與結構抗震驗算【例4.3】某三層框架結構,各層質量分別為m1=300t,m2=300t,m3=220t;設防烈度8度，第二組，I1類場地，阻尼比ζ=0.05。層高4m，用振型分解反應譜法計算該框架層間地震力。已求得該結構的主振型及自振周期如下：T1＝0.457sT2＝0.203sT3＝0.130s第4章地震作用與結構抗震驗算水平地震影響系數最大值αmax設計地震分組場地類別Ⅰ0Ⅰ1ⅡⅢⅣ第一組0.200.250.350.450.65第二組0.250.300.400.550.75第三組0.300.350.450.650.90特征周期值(s)【解】采用如下3個公式：水平地震作用最大值：組合公式：振型參與系數：第4章地震作用與結構抗震驗算（1）求各振型參與系數αjI1類場地，第二組，T

g＝0.30；設防烈度8度，αmax＝0.16

第1振型：T1＝0.457s，Tg<

T1<5

Tg，位于曲線段。第2振型：T2＝0.203s，0.1s<

T2<

Tg，位于平臺段。

第3振型：T3＝0.130s，0.1s<

T3<

Tg，位于平臺段。

第4章地震作用與結構抗震驗算（2）求各振型地震影響系數γj第1振型：第2振型：第3振型：第4章地震作用與結構抗震驗算（3）求各振型水平地震作用Fij第1振型：第2振型：第3振型：第4章地震作用與結構抗震驗算（4）求各振型層間剪力第1振型第2振型第3振型第4章地震作用與結構抗震驗算（5）求各層層間剪力Vi第1層：第2層：第3層：第4章地震作用與結構抗震驗算【例4.4】條件同例3.3,用底部剪力法求解某三層框架結構的層間地震剪力。已知結構基本自振周期

T1＝0.457s。【解】采用如下2個公式：

Tg(s)T1>1.4TgT1≤1.4Tg≤0.350.08T1+0.070.0<0.35~0.550.08T1+0.01>0.550.08T1-0.02頂部附加系數結構底部總水平地震作用：質點水平地震作用：第4章地震作用與結構抗震驗算（1）結構底部總水平地震作用結構底部剪力:基本振型：T1＝0.457s，Tg<

T1<5

Tg，位于曲線段。第4章地震作用與結構抗震驗算（2）各樓層地震作用：考慮高振型影響修正：各樓層地震作用：第4章地震作用與結構抗震驗算（3）各樓層層間剪力：第4章地震作用與結構抗震驗算1.能量法求解多質點體系基本頻率的近似方法。體系振動過程能量守恒原理：一個無阻尼的彈性體系作自由振動時，體系在任意時刻的總能量保持不變。

4.3.6結構自振周期及振型的實用計算方法計算多質點體系的水平地震作用：底部剪力法：需要確定結構的基本自振周期；振型分解反應譜法：需要確定結構的多個自振頻率及其對應的主振型，多質點體系多于3個質點，手算困難，近似計算方法。第4章地震作用與結構抗震驗算一個多質點彈性體系，體系在做自由振動時任一質點i的位移和速度為當體系振動達到平衡位置時，體系變形位能為零，動能達到最大值Tmax當體系振動達到振幅最大時，體系動能為零，位能達到最大值Umax第4章地震作用與結構抗震驗算根據能量守恒原理，Tmax=Umax假設體系的振型與體系的某個振型一致，則可求得該振型的頻率。一般來說，第一振型的振型曲線較為容易，主要用于求解體系的基本頻率。結構的基本頻率近似取為重力荷載當成水平荷載作用于質點上的結構彈性曲線。第4章地震作用與結構抗震驗算重力荷載當成水平荷載，質點i處的位移為Δi基本頻率為：結構的基本周期為：第4章地震作用與結構抗震驗算2.頂點位移法最常用的求解基本頻率的近似方法。根據結構質量分布情況將結構簡化為有限質點體系或無限質點的懸臂桿。若體系按彎剪振動基本周期可按照下式計算：Δu頂點位移，單位為m，T的單位為s.適用于質量、剛度分布均勻的框架結構、框架-剪力墻結構和剪力墻結構。α0考慮非承載磚墻影響的折減系數，框架結構取0.6~0.7；框架-剪力墻取0.7~0.8。第4章地震作用與結構抗震驗算4.4豎向地震作用

地震宏觀現象及理論分析均表明，在高烈度區，豎向地面運動的影響是明顯的。震害調查常常發現，地震時人及物體被向上拋起，某些建筑在原位迭合塌落。地震記錄充分顯示，地面豎向運動是可觀的：

1979年美國帝谷地震中記錄到的最大豎向加速度av為1.7g；豎向最大加速度av

與水平最大加速度aH的比值達0.77。

1976年前蘇聯格里茲地震記錄到的最大豎向加速度av為1.39g；豎向最大加速度av與水平最大加速度aH的比值達1.63。第4章地震作用與結構抗震驗算

汶川地震中，豎向地震作用，煙囪上拋后下落錯位。第4章地震作用與結構抗震驗算

德陽利森水泥廠生料均化庫，受到豎向地震作用，塔筒上拋后下落。第4章地震作用與結構抗震驗算

都江堰某底部框架磚房，底層為薄弱層，底層墻體疊合塌落。（9度區）第4章地震作用與結構抗震驗算

底部框架結構底層框架疊合塌落（北川11度區）。第4章地震作用與結構抗震驗算

中間層疊合塌落（日本阪神大地震）。第4章地震作用與結構抗震驗算

中間層水平裂縫

（汶川地震）第4章地震作用與結構抗震驗算

在一般的抗震設計中，人們對豎向地震作用的影響往往不予考慮，理由是豎向地震作用相當于豎向荷載的增減，結構物在豎向具有良好的承載能力和一定的安全儲備，其潛力足以承受豎向地震力，因此不再考慮這一對設計不起控制作用的情況。研究表明在烈度較高的震中地區，豎向地面運動加速度達到了較大的數值，必須在抗震設計中加以重視。我國抗震設計《規范》規定，對下列建筑應考慮豎向地震作用的不利影響：

（1）8度和9度時的大跨度結構、長懸臂結構；（2）8度和9度時煙囪和類似的高聳結構；（3）9度時的高層建筑。第4章地震作用與結構抗震驗算

4.4.1高聳結構及高層建筑的豎向地震作用

分析結果表明：高聳結構和高層建筑豎向第一振型的數值大致呈倒三角形式；高聳結構和高層建筑豎向地震作用可按與底部剪力法類似的方法計算。

（1）豎向反應譜及豎向振動周期豎向地震反應譜:與水平地震反應譜的形狀相差不大，豎向反應譜的加速度峰值約為水平反應譜的1/2至2/3。

豎向振動周期：高聳結構和高層建筑豎向振動周期較短，在0.1～0.2s范圍內，小于場地的特征周期Tg

。第4章地震作用與結構抗震驗算

（2）豎向地震作用計算——底部剪力法第一振型參與系數：各質點的豎向地震作用為：可寫成：（4.140）（4.139）（4.138）第4章地震作用與結構抗震驗算結構總豎向地震作用標準值，即基底總軸力為：將式（4.140）代入式（4.141），得式中：（4.141）（4.142）第4章地震作用與結構抗震驗算質點

i的豎向地震作用標準值。

規范要求：9度時，高層建筑樓層的豎向地震作用效應應乘以1.5的增大系數。第4章地震作用與結構抗震驗算4.4.2大跨度結構大跨度結構：跨度大于24m的鋼屋架和預應力混凝土屋架各類網架和懸索屋蓋。《抗震規范》：大跨度結構的豎向地震作用取其重力荷載代表值GE和豎向地震作用系數λv的乘積

GE——重力荷載代表值；λv——豎向地震作用系數，按表采用。結構類型烈度場地類別ⅠⅡⅢ、Ⅳ

平板型網架、鋼屋架8可不計算(0.10)0.08(0.12)0.10(0.15)90.150.150.20鋼筋混凝土屋架80.10(0.15)0.13(0.19)0.13(0.19)90.200.250.25豎向地震作用系數（括號內用于8度半地區）第4章地震作用與結構抗震驗算

懸臂結構地震作用估算:《抗震規范》：長懸臂和其它大跨度結構的豎向地震作用標準值，8度和9度可分別取該結構、構件重力荷載代表值的10%和20%。

設計基本地震加速度為0.30g時，可取該結構構件重力荷載代表值的15%。8度9度第4章地震作用與結構抗震驗算4.5結構平扭耦合地震反應與雙向水平地震影響4.5.1平扭耦合體系的運動方程

產生扭轉地震反應的原因：結構質心與剛心的偏離,考慮；地震地面運動扭轉分量,不考慮。主要原因：結構質量中心與剛度中心不重合質心：在水平地震作用下，慣性力的合力中心剛心：在水平地震作用下，結構抗側力的合力中心剛心質心

扭轉作用會加重結構的震害，《規范》規定對質量和剛度明顯不均勻、不對稱結構應考慮水平地震作用的扭轉效應。地震力結構抗力xg(t)第4章地震作用與結構抗震驗算剛心和質心不一致造成的震害

1972年2月23日尼加拉瓜首都馬那瓜地震，地震烈度為8度，1萬多棟樓房夷為平地，死亡5000多人。其中兩幢相距不遠的高層建筑，一幢為15層高的中央銀行大廈，震后拆除；另一幢為18層高的美洲銀行大廈。輕微損壞。馬那瓜中央銀行大廈馬那瓜美洲銀行大廈第4章地震作用與結構抗震驗算

美洲銀行：結構平面布置是均勻對稱的，基本的抗側力體系包括4個L形的筒體。

中央銀行：平面不規則，4個樓梯間偏置塔樓西端，西端

有填充墻，結構一端剛度大，另一端剛度小。中央銀行大廈剛度偏心，建筑雖然外形規則對稱，但抗側力系統不對稱，如將抗側剛度很大的鋼筋混凝土芯筒或鋼筋混凝土墻偏設，造成剛心偏離質心，產生扭轉破壞。第4章地震作用與結構抗震驗算

剛心和質心不一致造成震害臺灣省漳化縣富貴名門大樓，16層鋼筋混凝土住宅樓，平面為C型,

平面不規整。第4章地震作用與結構抗震驗算

天津754廠11號車間，5層鋼筋混凝土框架體系，全長l09m，房屋兩端的樓梯間采用490mm厚的磚承重墻.

房屋中央設雙柱伸縮縫，將原對稱平面分成兩個不對稱區段，結構剛心偏離質心。1976年唐山地震時，由于扭轉振動導致破壞。第4章地震作用與結構抗震驗算

每榀框架看作樓蓋彈性支座，支座反力即為恢復力，恢復力對y軸力矩之和等于其合力對y軸的力矩：

4.5.2平扭耦合體系的地震作用

（1）剛度中心抵抗水平力的構件稱為抗側力構件，如框架縱、橫框架。

房屋樓蓋在平面內視為剛性，沿y方向平移單位距離時，每個橫向抗側力構件中引起恢復力，恢復力的大小kyj。

(4.118)

第4章地震作用與結構抗震驗算

每榀框架看作樓蓋彈性支座，恢復力對x軸力矩之和等于恢復力合力對x軸的力矩：

同理,房屋樓蓋在平面內視為剛性，沿x方向平移單位距離時，每個縱向抗側力構件中引起恢復力，恢復力的大小kxi。

(4.119)

第4章地震作用與結構抗震驗算（3）偏心矩結構剛心到質心的距離稱為偏心距，樓蓋沿及方向的偏心距分別為：（2）質量中心結構的質心就是結構的重心。是地震慣性力合力作用點的位置，慣性力合力通過結構重力荷載的中心。

設結構質心的坐標為xm，ym，其位置可通過材料力學求重心的方法求出。

(4.120)

第4章地震作用與結構抗震驗算（3）運動方程對于單層結構，將全部質量集中于屋蓋處，屋蓋視作剛體。該結構在x及y方向上分別受到地面運動u0x及u0y作用。取質心m為坐標原點，令質心在x方向的位移為ux

，在y方向的位移為uy

，屋蓋繞通過質心的豎軸轉動的轉角為φ

，則第

i

個縱向抗側力構件沿x方向的位移為：（4.121

）

地震慣性力與抗側力構成一對力矩產生順時針轉動，故φ取負值，yiφ為屋蓋轉動在x方向引起位移。第4章地震作用與結構抗震驗算同理，第

j個縱向抗側力構件沿y方向的位移為：（4.122

）

地震慣性力與抗側力構成一對力矩產生逆時針轉動，故φ

取正值，xj

φ為屋蓋轉動在y方向引起位移。y第4章地震作用與結構抗震驗算

上述結構有ux

，uy，和φ

三個自由度，剛性屋蓋上作用有恢復力、恢復扭矩、慣性力和慣性扭矩。

忽略阻尼影響，由慣性力和恢復力的動力平衡條件，可得:（4.123

）

由慣性扭矩和恢復扭矩的動力平衡條件，可得:

為轉動慣量乘以角加速度，不考慮地面扭轉運動影響，等式右邊為0。（4.124

）第4章地震作用與結構抗震驗算上面三式經整理，寫成矩陣形式，得:

(4.125)或寫成:

(4.126)第4章地震作用與結構抗震驗算（4）考慮扭轉影響的水平地震作用對于考慮扭轉影響的運動方程（4.126）式，可采用振型分解反應譜法確定其地震作用，求得體系的自振周期和振型后，將位移向量｛u｝按振型分解為:

將式（4.127）代入式（4.126），并利用振型正交原理，可將方程（4.126）分解為:（4.127

）式中:[A]——振型矩陣；﹛q﹜——廣義坐標。（4.128

）第4章地震作用與結構抗震驗算僅考慮x方向地震,j振型的水平地震作用及地震扭矩分別為:式中:Fxj,Fyj,Ftj——分別為j振型的x

方向，y

方向和轉角方向的地震作用；

Xj,Yj——分別為j振型質心在x,y方向的水平位移幅值；

φ

j——j

振型的相對轉角；

r——轉動半徑，；

γxj——考慮扭轉的

j

振型參與系數。（4.129

）（4.130

）第4章地震作用與結構抗震驗算4.5.3考慮扭轉作用時的振型組合

（1）運動方程多層結構，考慮平扭耦聯振動，可將每層樓蓋視為一個剛片，各層質心取為原點，豎向軸為一個折線，每層樓蓋有兩個位移和一個轉角，n層房屋具有3n個自由度。運動方程如下：式中:——廣義質量矩陣，由樓層質量mi和樓層質量對質心的轉動慣量Ji構成；

——廣義剛度矩陣，考慮了樓層平動剛度和平扭耦聯剛度；

——廣義位移向量，包括樓層在x,y

水平位移和在樓板平面內轉角；

——地面運動水平加速度。（4.131

）第4章地震作用與結構抗震驗算

（2）水平地震作用采用振型分解法，經過與單層偏心結構振動類似的運算，可得考慮扭轉地震效應時，水平地震作用的計算公式：式中:Fxji,Fyji,Ftji——分別為j振型的x

方向，y

方向和轉角方向地震作用；

Xji,Yji——分別為j振型質心在x,y方向的水平位移幅值；

φji——j

振型的相對轉角；

ri——

i層轉動半徑，可取i層繞質心的轉動慣量除以該層質量的商的正二次方根；

γtj——考慮扭轉的

j

振型參與系數。（i=1,2,‥‥,n;j=1,2,‥‥,m)

（4.129

）第4章地震作用與結構抗震驗算

γxj

為考慮扭轉的

j振型參與系數。可按下列公式確定：當僅考慮

x方向地震時：當僅考慮y方向地震時：（4.133

）（4.134

）第4章地震作用與結構抗震驗算考慮扭轉作用時的振型組合對僅考慮平移振動的多質點體系，各振型間頻率間隔較大，可假定各振型相互獨立，采用SSRS方法進行組合；一般只需組合前幾個振型就能得到較為精確的結果。對考慮平扭耦聯振動的多質點體系，體系自由度數目增至3n，各振型的頻率間隔大為縮短，相鄰振型的頻率可能非常接近；另外有時扭轉作用較高振型影響有可能大于較低振型。因此，進行各振型作用效應組合時，應考慮相近頻率振型間的相關性，并增加參加作用效應組合的振型數量。《抗震規范》規定，考慮扭轉的地震作用效應，應按下列公式確定：（4.135

）第4章地震作用與結構抗震驗算式中：S

Ek——地震作用標準值的扭轉效應；

Sj，Sk——分別為j，k振型地震作用標準值效應，可取前9~15個振型；

ζj、ζk——分別為j、k振型的阻尼比；

ρjk——j振型與k振型的耦聯系數；

λT——k振型與j振型的自振周期比。（4.136

）第4章地震作用與結構抗震驗算

從表4.5可看出，當取阻尼比ζ=

0.05時，ρjk是λT函數，它隨兩個相關振型周期比λT的減小迅速衰減。

當λT

=1時，振型自相關(j=k)，耦聯系數ρjk=1；

當λT=0.85~0.95時，ρjk=0.273~0.791，應考慮不同振型之間的相關性；

當λT很小時，ρjk

值接近于零，表示低振型與較高振型之間相關性很小，可以忽略不計。表4.5ρ

jk與λT關系值表λT≤0.400.500.600.700.800.850.900.951.00ρ

jk≤0.0100.0190.0350.0790.1660.2730.4730.7911.000第4章地震作用與結構抗震驗算式中：S

Ek——地震作用標準值的扭轉效應；

Sj，Sk——分別為j，k振型地震作用標準值效應，可取前9~15個振型；

ζj、ζk——分別為j、k振型的阻尼比；

ρjk——j振型與k振型的耦聯系數；

λT——k振型與j振型的自振周期比。4.5.4雙向水平地震影響2010《抗震規范》單向水平地震作用下的扭轉耦聯效應，按下列公式確定：第4章地震作用與結構抗震驗算

式中，Sx、Sy分別為x向、y向單向水平地震作用按下式計算的扭轉效應：

2010《抗震規范》雙向水平地震作用下的扭轉耦聯效應，可按下列公式中的較大值確定：第4章地震作用與結構抗震驗算4.6結構非彈性地震反應分析

1.恢復力特征曲線

鋼筋混凝土結構或構件在外力作用下，隨荷載增加，將逐漸經歷混凝土開裂，鋼筋屈服，鋼筋與混凝土粘結退化和滑移，混凝土局部酥裂剝落，直至最后破壞的過程。結構或構件在外力作用下受擾產生變形時，企圖恢復原有狀態的抗力稱為恢復力。

恢復力與變形之間的關系曲線叫做恢復力特征曲線，它的形狀取決于結構或構件材料性能和受力狀態。可以表示為構件彎矩與轉角，彎矩與曲率，荷載與位移對應關系。4.6.1結構的非彈性性質第4章地震作用與結構抗震驗算

構件在周期反復荷載作用下可能發生圖所示恢復力曲線，由于曲線具有滯回性能并呈環狀，又稱其為滯回曲線或滯回環。

曲線所包面積叫作滯回面積，它的大小反映了構件的耗能能力。在反復循環荷載作用下，恢復力特征曲線就形成了許多滯回環。

目前難以從強震觀測中得到實際結構的滯回曲線，模擬震源特征由動載試驗測得滯回曲線也存一定的困難，大多采用低周反復循環加載試驗方法研究鋼筋混凝土構件的滯回特性。第4章地震作用與結構抗震驗算

(a)梭形(b)弓形(d)反S形

圖4.33典型滯回曲線

滯回曲線形狀取決于材料性能和受力狀態

受彎構件滯回曲線如圖4.33(a)，受彎構件骨架曲線保持穩定梭形，形狀豐滿，具有較強耗能能力。彎剪構件滯回曲線如圖4.33(b)，由于斜裂縫反復張開閉合，剪切剛度退化，滯回曲線中部“捏攏”，形成弓形。剪切構件滯回曲線如圖4.33(d)，剪切構件一旦出現斜裂縫，剛度急劇退化。滯回曲線“捏縮”，呈反S形。

滯回曲線反映了構件強度、剛度、延性和耗能等方面特征。第4章地震作用與結構抗震驗算圖4.35恢復力模型2.滯回模型恢復力特征曲線形狀比較復雜，只能將骨架曲線理想化，采用分段折線作為恢復力模型，使它可用數學式表達。對于混凝土結構，最基本的恢復力模型是雙線型和三線退化型。第4章地震作用與結構抗震驗算

在彈性體系中，恢復力與位移關系符合線性規律，構件剛度為常數，著眼于提高強度；

在彈塑性體系中，構件先后出現裂縫或屈服，進入塑性狀態工作，恢復力與位移不再保持線性關系，著眼于發展塑性，增加延性，提高耗能能力。

恢復力的確定與所取恢復力特征曲線有關。如取為三線退化型模型。3.恢復力特征與地震反應

地震作用是一種反復作用，在地震作用下，結構可能處于彈性階段，也可能進入彈塑性狀態。單質點體系受到地面運動的作用，無論是彈性還是彈塑性體系基本運動方程可寫成：第4章地震作用與結構抗震驗算4.6.2結構非彈性地震反應分析的逐步積分法1.運動方程當結構進入非彈性變形狀態后，結構的恢復力不再與[K]{x}對應，而與結構運動的時間歷程｛x(t)｝及結構的非彈性性質有關。因此，結構的彈塑性運動方程應表達為方程適用于結構任意時刻，對結構時刻同樣適用，則（4.147）

（4.148）

第4章地震作用與結構抗震驗算

令則將式（4-147）與（4-148）相減得：（4.149）

第4章地震作用與結構抗震驗算式（4-149）為結構運動的增量方程。如在增量時間內，結構的增量變形不大，則近似有（參見圖4-30）（4.150）

式中—結構在t時刻的剛度矩陣，由t時刻結構各構件的剛度確定。將式（4.150）代入式（4.149）得（4.151）

圖4-30增量力與增量變形的關系第4章地震作用與結構抗震驗算2.方程的求解采用泰勒（Taylor）級數展開式，由結構t時刻的位移、速度、加速度等向量、、，...，分別表示時刻的位移和速度向量，即（4.152a）

（4.152b）

假定在的時間間隔內，結構運動加速度的變化是線性的，則第4章地震作用與結構抗震驗算（4.153）

（4.154）

將式（4.153）、（4.154）代入式（4.152）得（4.155a）

（4.155b）

第4章地震作用與結構抗震驗算由上兩式可解得（4.156a）

（4.156b）

將式（4.156）代入式（4.151）得（4.157）

第4章地震作用與結構抗震驗算其中（4.158）

（4.159）

應該指出，以上計算公式是采用時間間隔內加速度線性變化假定得到的，因此，稱為線性加速度法。實用上還可采用其他加速度假定，而導得另外一套計算公式和方法，如平均加速度法、Newmark－β法、Wilson－θ法等。第4章地震作用與結構抗震驗算3.[K(t)]的確定可采用兩種分析模型確定[K(t)]，一種是層模型，如圖4-32a所示；另一種是桿模型，如圖4-32b所示。層模型適用于砌體結構和強梁弱柱型結構，桿模型則適用于任意框架結構。一般層模型自由度少，而桿模型自由度多，但計算精度高。(a)層模型圖4-32結構計算模型(b)桿模型第4章地震作用與結構抗震驗算4.6.3結構非彈性地震反應分析的簡化方法1.確定樓層屈服強度系數樓層屈服強度系數定義為（4.160）

式中—按框架或排架梁、柱實際截面實際配筋和材料強度標準值計算的樓層i抗剪承載力；

—罕遇地震下樓層i彈性地震剪力。計算地震作用時，無論是鋼筋混凝土結構還是鋼結構，阻尼比均取。第4章地震作用與結構抗震驗算任一樓層的抗剪承載力可由下式計算（參見圖4-34）（4.161）

圖4-34一個框架柱的抗剪承載力式中、—分別為樓層屈服時柱j上、下端彎矩；hj—樓層柱j凈高。第4章地震作用與結構抗震驗算圖4-35(a)強梁弱柱型節點(b)強柱弱梁型節點（c）混合型節點樓層屈服時，、可按下列情形分別計算：第4章地震作用與結構抗震驗算（1）強梁弱柱點（圖4-35a）此時，柱端屈服，則柱端彎矩為鋼筋混凝土結構（4.162a）

鋼結構（4.162b）

第4章地震作用與結構抗震驗算式中、—構件截面的寬和高；

—構件截面的有效高度；

—受壓鋼筋合力點至截面近邊的距離；

—受拉鋼筋或鋼材強度標準值；

—混凝土彎曲拉壓強度標準值；

—實際受拉鋼筋面積；

—重力荷載代表值所產生的柱軸壓力（分項系數取為1）；

—構件截面塑性抵抗矩；

—柱軸向壓力設計值；—柱截面面積。第4章地震作用與結構抗震驗算（2）強柱弱梁點（圖4-35b）此時梁端屈服，而柱端不屈服。因梁端所受軸力可以忽略，則梁端屈服彎矩為鋼筋混凝土結構鋼結構（4.163a）

（4.163b）

第4章地震作用與結構抗震驗算考慮節點平衡，可將柱兩側梁端彎矩之和按節點處上下柱的線剛度之比分配給上、下柱，即（4.164a）

（4.164b）

式中—節點兩側梁端屈服彎矩之和；、—相交于同一節點上、下柱的線剛度（彎曲剛度與柱凈高之比）。第4章地震作用與結構抗震驗算（3）混合型節點（圖4-35c）此時，相交于同一節點的梁端屈服，而相交于同一節點的其中一個柱端屈服，而另一柱端未屈服。則由節點彎矩平衡，容易得出節點上下柱的柱端彎矩為（4.165a）

（4.165b）

第4章地震作用與結構抗震驗算2.結構薄弱層位置判別

對于沿高度分布均勻的框架結構，分析表明，此時一般結構底層的層間變形最大，因而可將底層當做結構薄弱層。

對于單層鋼筋混凝土柱廠房，薄弱層一般出現在上柱。多層框架結構樓層屈服強度系數沿高度分布均勻與否，可通過參數a判別。（4.166）

第4章地震作用與結構抗震驗算其中

則如果各層判別沿高度分布均勻如果任意某層判別沿高度分布不均勻第4章地震作用與結構抗震驗算3.結構薄弱層層間彈塑性位移的計算

分析表明，地震作用下結構薄弱層的層間彈塑性位移與相應彈性位移之間有相對穩定的關系，因此薄弱層層間彈塑性位移可由相應層間彈性位移乘以修正系數得到，即其中（4.168）

（4.167）

第4章地震作用與結構抗震驗算式中—層間彈塑性位移；

—層間彈性位移；

—樓層i的彈性地震剪力；

—樓層i的彈性層間剛度；

—彈塑性位移增大系數。第4章地震作用與結構抗震驗算4.7結構抗震驗算

根據小震不壞，大震不倒的抗震設計思想，我國《建筑抗震規范》采用了二階段的設計方法。

第一階段設計是抗震承載力計算和彈性位移驗算，針對多發地震（小震），取彈性地震作用進行驗算，以滿足第一、二水準的設防要求；再由概念設計和構造措施定性地滿足第三水準要求。

第二階段設計是薄弱部位彈塑性變形驗算，對于質量、剛度明顯不均勻的結構，除進行第一階段設計外，還要進行第二階段罕遇地震作用下的彈塑性變形驗算。地震在時間、空間和強度上都有很大的隨機性。一般認為，地震時地面會發生水平運動和豎向運動，引起結構的水平振動和豎向振動；當結構體型復雜，質心和剛心不重合時，地面水平運動還會引起結構扭轉振動。

第4章地震作用與結構抗震驗算

4.7.1結構抗震計算原則（1）一般情況下的結構，沿兩個主軸方向分別考慮水平地震作用并進行抗震驗算，各方向的水平地震作用應由該方向抗側力構件承擔。

（2）有斜交抗側力構件的結構，當相交角度大于15度時，應分別考慮各抗側力構件方向的水平地震作用。

（3）質量和剛度分布明顯不對稱的結構，應考慮雙向水平地震作用下的扭轉影響。

（4）大跨度、長懸臂，高層建筑，8度和9度時的大跨度結構、長懸臂結構，9度時的高層建筑，應考慮豎向地震作用。第4章地震作用與結構抗震驗算4.7.2結構抗震計算方法的確定

（1）高度不超過40m，以剪切變形為主且質量和剛度沿高度分布比較均勻的結構，以及近似于單質點體系的結構,宜采用底部剪力法等簡化方法。

（2）除上述以外的建筑結構，宜采用振型分解反應譜法。

（3）特別不規則的建筑、甲類建筑和規范規定的高層建

筑，應采用時程分析法進行多遇或罕遇地震下的補充計算。

表4.8

采用時程分析的房屋高度范圍烈度、場地類別房屋高度范圍（m）8度、Ⅰ、Ⅱ類場地和7度>1008度、Ⅲ、Ⅳ類場地>809度>60第4章地震作用與結構抗震驗算

4.7.3重力荷載代表值荷載的四種代表值：標準值、組合值、頻遇值和準永久值，其中荷載標準值是荷載的基本代表值。（1）荷載標準值荷載在結構使用期間可能出現的最大值。

（2）荷載組合值當有兩種或兩種以上的可變荷載同時作用于結構上，此時主導荷載取標準值，其