2022年福建省泉州市高考數學質檢試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.(5分)若集合A={xpc<l},B={x\x<-2},則AC(CRB)=()

A.0B.RC.(-2,1)D.[-2,1)

2.(5分)已知向量或=(3,1),7=(1,3),Ji(a+b)±(a-Xb),則入的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

3.(5分)已知雙曲線C：—--=1(a>0,b>0)的焦距為2遙，點P(2,1)在C的

一條漸近線上，則。的方程為()

A./一4=1B,——y2=l

44?

3x23y2x2y2

C.——一=1D.---=1

205164

4.(5分)(7-x+l)(x+1)6的展開式中/的系數為()

A.5B.6C.7D.15

5.(5分)已知圓錐SO的底面半徑為1,若其底面上存在兩點A,B,使得NASB=90°,

則該圓錐側面積的最大值為()

A.夜乃B.2TTC.2&兀D.4K

6.(5分)已知函數/(x)=sin(3x+*)(a)>0)在(0,今有且僅有一個零點，則3的

值可以是()

A.1B.3C.5D.7

7.(5分)已知函數/'(%)=aj?-bx+c,若log3Q=3"=c>1,則()

A.f(tz)<fCb)</(c)B./(c)</(/?)<fCa)

C.于(b)<fCa)</(c)D.f(b)<f(c)</(?)

8.(5分)1883年，德國數學家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.如圖是其構造過程

的圖示，其詳細構造過程可用文字描述為：第一步，把閉區間[0,1]平均分成三段，去掉

中間的一段，剩下兩個閉區間[0,3和g，1]；第二步，將剩下的兩個閉區間分別平均分

]21278

為二段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區間：[0,[-,-],[-,-],[-,1]；如

993399

此不斷的構造下去，最后剩下的各個區間段就構成了二分康托集.若經歷n步構造后，

第1頁共26頁

2021

痂不屬于剩下的閉區間，則〃的最小值是（）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分。

（多選）9.（5分）已知點M在直線/：y-4=k（x-3）上，點N在圓O：/+/=9上，則

下列說法正確的是（）

A.點N到/的最大距離為8

B.若/被圓O所截得的弦長最大，則

7

C.若/為圓。的切線，則2的取值范圍為{0,—}

24

D.若點M也在圓。上，則。到/的距離的最大值為3

（多選）10.（5分）設zi，Z2為復數，則下列命題正確的是（）

A.若|zi-z2|=0,則zi=z2

B.若團|=|Z2|,則Z『=Z22

C.若Zl+Z2>0,則Z2=.

D.若ziZ2=0,則zi=0或Z2=O

（多選）11.（5分）某校高三1班48名物理方向的學生在一次質量檢測中，語文成績、數

學成績與六科總成績在全年級中的排名情況如圖所示，“★”表示的是該班甲、乙、丙三

位同學對應的點.從這次考試的成績看，下列結論正確的是（）

第2頁共26頁

六科總成績在年級排名

45O

并44Q

學

35O

登

30O

哈

25O

一S

&K0Q

芥lO

5

僅iO

左0

5O

100200300400500

六科總成績在年級排名

A.該班六科總成績排名前6的同學語文成績比數學成績排名更好

B.在語文和數學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是語文

C.數學成績與六科總成績的相關性比語文成績與六科總成績的相關性更強

D.在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其六科總成績名次靠前的學生是甲

2X-1,%G[0,1)

(多選)12.(5分)已知函數人x)的定義域為［0,+8),且滿足次x)=

1。。2(3_%)，xe[1,2)

當x52時，/(x)=N(X-2),人為非零常數，則下列說法正確的是()

A.當入=-1時，f(log280)

B.當人＞0時，f(x)在［10,11)單調遞增

C.當入＞-1時，f(x)在［0,4/?］(nGN*)的值域為［入2”-1,入2"-2］

D.當入＞0,且入#1時，若將函數g(x)=2號與/5)的圖象在［0,2n］(〃€N*)

m個交點記為(xt,yt)(i—1,2,3,…，m),則工/(X/+yj=n2+Xn-1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

,,sin201

13.(5分)則tanO=

'COS23+13'

第3頁共26頁

14.（5分）寫出一個滿足-1）為偶函數，且在（0,+8）單調遞增的函數/（%）=.

15.（5分）已知拋物線E：/=人的焦點為F,準線為/,過F的直線機與E交于A,8兩

點,4F的垂直平分線分別交I和x軸于P,Q兩點.若/AFP=/AFQ,則k.

16.（5分）己知三棱錐A-BCD的所有頂點都在球。的球面上，AB=AC=DB^DC,AD

=2BC=4,則球O的表面積的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（10分）在平面四邊形ABCQ中，AB=1,BC=3,ZB=60°,ZACD=30°.

（1）若AD=亨，求/AOC；

（2）若BD=CD,求△AC。的面積.

第4頁共26頁

18.（12分）體育課程的實施可以有效地促進學生身體的正常發育，提高身體的健康水平.某

校對高一年男生進行1000米測試，經對隨機抽取的100名學生的成績數據處理后，得到

如下頻率分布直方圖：

（1）從這100名學生中，任意選取2人，求兩人測試成績都低于60分的概率；

（2）從該校所有高一年男生中任意選取3人，記70分以上的人數為S，求；的分布列和

期望；

（3）從樣本頻率分布直方圖中發現該校男生的1000米成績X近似服從N（山。2）,已

知樣本方差S2=116.44,高一年男生共有1000人，試預估該校高一年男生1000米成績在

89.2分以上的人數.

附：“16.44y10.8.

第5頁共26頁

19.（12分）已知數列｛斯｝滿足.1?g1.......0n1=—.

ala2anan

（1）求｛〃〃｝的通項公式；

（2）在四和以+i（垢N*）中插入無個相同的數（-1）*”?匕構成一個新數列｛仇｝：

1,42，-2,-2,43，3,3,3,44，…，求伯〃｝的前100項和S100.

第6頁共26頁

20.(12分)如圖，多面體A8CEF中，AB=AC,BF±CE,。為8c的中點，四邊形AOEF

為矩形.

(1)證明：BELCE-,

(2)若AB=2,ZBAC=\20°,當三棱錐E-8C尸的體積最大時，求二面角A-Bf-E

的余弦值.

第7頁共26頁

21.(12分)已知點Fi(-1,0),Fi(1,0),M為圓O：f+y2=4上的動點，延長為加

至N,使得FiN的垂直平分線與&N交于點P,記尸的軌跡為

(1)求「的方程；

(2)過尸2的直線/與「交于A,B兩點，縱坐標不為0的點E在直線x=4上，線段OE

分別與線段AB,「交于C,D兩點,且|OZ>F=|OC|.|OE|,證明：\AC\=\BC].

第8頁共26頁

22.(12分)已知函數/'(x)=(x-m)sinx+cosx,x6[0,—].

(1)當mW*時，討論/(x)的單調性；

(2)若m=0,f(x)(x-IT),求。.

第9頁共26頁

2022年福建省泉州市高考數學質檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.(5分)若集合4={x以<1},B={x\x<-2},貝！|AC(CRB)=()

A.0B.RC.(-2,I)D.1-2,1)

解：???集合A={xk<l},8={4x<-2},

.,.CRB={4X2-2}.

...An(CRB)={x|-2WX<1}=[-2,1).

故選：O.

2.(5分)已知向量;=(3,1),片=(1,3),且G+力)_L(一―/),則人的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

解：?.響量]=(3,1),b=(1,3),且(；+6)1(a-Ah),

/.(a+b)?(a—Ab)=a2+(1-A)a-b—Ah2=10+(1-入)(3+3)-10A=0,

A=1,

故選：C.

x2y2

3.（5分）已知雙曲線C/一記=1（心°,b>0）的焦距為2后，點P（2,1）在C的

一條漸近線上，則C的方程為（）

X21

A.?W=1B.一—/=

4

3x23y2x2y2

C.---=1D.---

205164

x2y2

解：雙曲線C：———=1(a>0,b>0)的焦距為2遮，點P（2,1）在C的一條漸

azbz

近線上,

可得：Va2+b2=V5,并且2A-a=0,

解得〃=2,b=l.

y2

所求的雙曲線方程為：——y2=l.

4

故選：B.

4.（5分）（/-x+1）（x+1）6的展開式中/的系數為（）

第10頁共26頁

A.5B.6C.7D.15

解：用f-x+l中的前2項分別與(x+1)6展開式中的5次項、6次項相乘然后相加得

/,盤-X，C"6.1=5X7,

...(x2-x+1)(x+1)6的展開式中/的系數為5.

故選：A.

5.(5分)已知圓錐S。的底面半徑為1,若其底面上存在兩點A,B,使得NASB=90°,

則該圓錐側面積的最大值為()

A.&7TB.2TtC.2\[2nD.4n

解：因為圓錐的軸截面是等腰三角形，其底面上存在兩點4,8,使得N4S8=90°,

可知母線1〈區V2,

1

所以圓錐的側面積為：-x2TTX/=n/<V27T,當且僅當圓錐的軸截面是等腰直角三角形

時，側面積取得最大值.

故選：A.

■TTTC

6.(5分)已知函數/?)=sin(u)x+p(u)>0)在(0,-)有且僅有一個零點，則3的

42

值可以是()

A.1B.3C.5D.7

TTTT

解：f(x)=sin(⑴工+彳)，VxG(0,—),

7TTTTTTT

：.-V3X+一〈為+半

4424

"TTTT

..?函數/(x)=sin(s+4)(<D>0)在(0,—)有且僅有一個零點，

把+

7T一>71

得

可|m2437

+兀,解可得,—<T(O<7T.

一

五4<27r22

選

艮

故

7.(5分)已知函數/(X)=cu?-hx+cf若log3a=3"=c>l,貝lj()

A./(〃)<f(Z?)</(c)B./(c)</(/?)<f(a)

C./(/?)</(?)<f(c)D./⑹<f(c)V/(〃)

解：:log3Q=3"=C>L

/?a>3,b>0,c>]f且a>c>Zb

又?.?二次函數f(x)=ox2/x+c的對稱軸為x=/滿足ov/vi,

第11頁共26頁

二次函數/■(x)uo^-bx+c在(一，+°°)單調遞增,

2a

：.f(/?)</(c)<f(a),

故選：D.

8.（5分）1883年，德國數學家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.如圖是其構造過程

的圖示，其詳細構造過程可用文字描述為：第一步，把閉區間［0,1］平均分成三段，去掉

12

中間的一段，剩下兩個閉區間［0,?和］，1J;第二步，將剩下的兩個閉區間分別平均分

121278

為二段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區間：［0,-J,1-，-1，1J；如

993399

此不斷的構造下去，最后剩下的各個區間段就構成了二分康托集.若經歷n步構造后，

2021

——不屬于剩下的閉區間，則n的最小值是（）

□□□□□□□□

A.7B.8C.9D.10

解：第一次操作剩下：［0,1］;

第二次操作剩下:［0,m，［|,［|,［|,1］；

第三次操作剩下：［0,升榜,金津芬得，如。，別第芻，犀

制［羿*

觀察剩余區間的最后一個區間可以寫為：［1-^,11］,即［審24-1，1］,要使;2;0而21不屬于

。O乙U乙乙

3n-l2021

剩下的閉區間，則只需

3n2022

解得：3">2022,

又因為37>2187>2022,所以〃的最小值是7.

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分。

第12頁共26頁

（多選）9.（5分）已知點M在直線/：y-4=k（x-3）上，點N在圓。：?+/=9±,則

下列說法正確的是（）

A.點N到/的最大距離為8

B.若/被圓。所截得的弦長最大，貝麟=?

7

C.若/為圓O的切線，則k的取值范圍為{0,—}

D.若點M也在圓。上，則。到/的距離的最大值為3

解：直線/：廠4=無（x-3）恒過定點。（3,4）,當。。_L/時，圓心。到直線/的距離

最大，

最大距離為J（3—0（+（4-0）2=5,故N到直線/的最大距離為5+3=8,故A正確；

4

-

/被圓。所截得的弦長最大時，貝心過圓。的圓心0,所以0-4=%（03

故B正確；

若/為圓。的切線，7IMI==3,解得k=74故C錯誤；

V/c2+l24

若點例也在圓。上，則圓O與直線/有公共點，當直線/與圓相切時，圓心到直線的距

離為圓的半徑3,

所以。到/的距離的最大值為3,故。正確.

故選：ABD.

（多選）10.（5分）設zi,Z2為復數，則下列命題正確的是（）

A.若|zi-Z2|=O>則zi=Z2

B.若|zi|=|z2|,則Z12=Z2?

C.若Zl+Z2>0,則Z2=Zi

D.若Z1Z2=O,則Z1=O或Z2=0

解：對于A,設zi="+6i,a,bG,R,Z2=c+di,c,deR,

'?'|zi-Z2l=0,/.|zi-Z2|=J（a—c）2+（b—d）2=（）,

?北一廣？，，zi=Z2,故A正確：

3—d=0w=a

對于8,令zi=LZ2=i,

則|Z1|=|Z2|=1,此時Z/RZ??,故8錯誤；

對于C,令zi=l+i,Z2=-i,

則zi+z2=1>0,此時Z2±zi,故C錯誤;

第13頁共26頁

對于￡>,設zi=a+〃i,a,h&R,zi=c+di,c,JGR,

則ziZ2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i—0,

.(ac—bd=0.(ac=bd.2,2,

'^ad+bc=O'"lad=-be-acd--bcd'

若c=4=0,則01cd=-廿c”成立，此時Z2=O,

若c=0,d#0,由ac=bd,知6=0,由a"=-bc知，a=0,此時zi=0,

同理可知:當cWO時,dWO,由a2cd=-得/=-愣，

.'.a—b=O,此時zi=O,

綜上，若ziz2=0,則zi=O或Z2=O,故￡＞正確.

故選：AD.

(多選)11.(5分)某校高三1班48名物理方向的學生在一次質量檢測中，語文成績、數

學成績與六科總成績在全年級中的排名情況如圖所示，“★”表示的是該班甲、乙、丙三

位同學對應的點.從這次考試的成績看，下列結論正確的是()

六科總成績在年級排名

件

言

送

^

^

笠

苗

與

左

O

5。。

六科總成績在年級排名

A.該班六科總成績排名前6的同學語文成績比數學成績排名更好

B.在語文和數學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是語文

C.數學成績與六科總成績的相關性比語文成績與六科總成績的相關性更強

第14頁共26頁

D.在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其六科總成績名次靠前的學生是甲

解：A：由圖可得，該班六科總成績排名前的同學數學成績比語文成績排名更好，故A

錯誤；

B-.由右圖可得丙同學的總成績排在班上倒數第三名，其語文成績排在250到300名之間，

從左圖可得其數學成績排在400名左右，故8正確；

C：數學成績與六科總成績的相關性比語文成績與六科總成績的相關性更強，因為右圖的

點的分布較左圖更分散，故C正確；

D；由左圖可得甲的總成績排在班上第7名，年級名次100多一點，

對應到右圖可得，其語文成績排在年級近100名，故甲的語文成績名次比其六科總成績

名次靠前；

由左圖可得甲的總成績排在班上第27名，年級名次接近250名，

對應到右圖可得，其語文成績排在年級250名之后，故乙的語文成績名次比其六科總成

績名次靠后，故。正確；

故選：BCD.

(多選)12.(5分)已知函數次x)的定義域為［0,+8),且滿足—L1),

［log2(3—x),x6［1/2)

當工22時，f(x)=Xf(x-2)9人為非零常數，則下列說法正確的是()

A.當入=-1時，f(log280)=今

B.當人＞0時，f(x)在［10,11)單調遞增

C.當人＞-1時，f(x)在［0,4n］(nGN*)的值域為［入2"-1,A2"-2］

x-X

D.當人＞0,且入W1時，若將函數g(x)=2-2一與/(工)的圖象在［0,2n］(〃WN*)的

機個交點記為(孫%)(i=l,2,3,…，〃?)，則(爸+%)=M+入〃-1

解：對于A,當人=-1時，/(x)=-/(x-2),則/(x+4)=-/Cc+2)=/(x),

:.當%22時，f(x+4)=f(x),f(x+2)=-f(x),

f(log80)=f(log5)=/(Zo^1+2)=-f(log^=一⑵喏一

2/(/O5280-4)=222

l)=-1+l=-^?A錯誤；

對于8,當人＞0時，/(x)在［0,1)上的單調性與在［2〃，2?+1)(nGN*)的單調性相同，

,：f(x)在［0,1)上單調遞增，.?./■(X)在［10,11)上單調遞增，B正確；

第15頁共26頁

對于C,由/(x)=V(X-2)得：f(x+4)=V(A+2)=Ay(x),

依次類推可得：/(x+8)=入4/1(x),f(x+12)=入％(x),…,

則/Cx+4n)=Wf(x)；

VA<-1,：.f(x)在[0,1]和4n+l](nGN*)上單調遞增，在[4〃-3,4n-1]

(nGN*)上單調遞減；

當xRO,4n](nGN*)時,

f(x)min=f(4n-1)="("T)f(4n-1-4(n-1))=儲⑺叫(3)=如=斤/)=如…,

n2n2

f(x)max=/(4n-3)="(n-i)f(4n-3-4(n-1))=?(T)f(l)=A-,

：.f(x)在[0,4n](nGN*)上的值域為[￥"7,A2M-2],C正確；

對于D,由圖象可知：g(x)=2P與f(x)的圖象在[0,2n](nGN*)有"個交點，且

Xi=2i-1,

y(==1,2,3,…，ri),

?.?入＞0且入Wl,.??數列⑻是等差數列，數列舊｝是等比數歹|J,

n(l+2n-l)1-An

|=污+，。錯誤;

￡建1(々+%)=Silixi+Ek[％=2l-i

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

八#sin2011

13.(5分)若——--=ri則ltan8=—.

COS23+13—3—

—sin2912sin0cos6i

解：-------=一=-----——=tan0,即tan0=亍,

COS20+132COS203

故答案為：

3

14.(5分)寫出一個滿足f(x-1)為偶函數，且在(0,+8)單調遞增的函數促X)=(1+1)

2

解：根據題意，若/(x-1)為偶函數，則函數/(X)的圖象關于直線X=-1對稱,

第16頁共26頁

又由/(x)在(0,+8)單調遞增，可以考查對稱軸為x=-I,開口向上的二次函數，

則滿足題意的函數可以為/(x)=(x+1)2,

故答案為：(x+1)2.

15.(5分)已知拋物線E：_/=敘的焦點為F,準線為/,過尸的直線機與￡交于A,B兩

16

點，A尸的垂直平分線分別交/和x軸于P,。兩點.若則|AB|=_y_.

解：因為P。垂直平分ARZAFP=ZAFQ,

所以以=PF=FQ.

在四邊形B4QF中，對角線A尸與PQ垂直,

所以四邊形以Q廠是菱形，

由拋物線的定義可知：AF=PA,

所以以=AF=PF,

所以AAPF為等邊三角形，

所以/AFP=60°,

故尸。=60°,

所以依引=后島而_2x2_16

-哈2-3?

故答案為：—.

16.(5分)已知三棱錐A-BCQ的所有頂點都在球。的球面上，AB=AC=DB=DC,AD

=2BC=4,則球。的表面積的最小值為16n

解：取BC、4。的中點E和F,

連接AE、DE、BF.CF,

如圖所示：

第17頁共26頁

由于AB=8。，AC=DC,BC=BC,

所以△ABC絲△O8C,

所以AE=OE,

故EF為A。的垂直平分線，

同理，EF為BC的垂直平分線，

所以球心0在直線E尸上，設其半徑為R,

所喝「裝,,故心2,

當且僅當點。為的中點時，R=2,

此時球O的表面積取得最小值，

最小值為4?TT?R2=161T.

故答案為：16TC.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(10分)在平面四邊形A8CD中，AB=\,BC=3,ZB=60°,ZACD=30°.

(1)若ZD=爭，求NAQC；

(2)若BD=CD,求△ACQ的面積.

解：(1)在△ABC中，由余弦定理有ACZuAm+BC5-ZXABXBCXcos/Bnl+g-ZXI

1

X3x^=7,

：.AC=y/7,

TH廠

ADAC~T~A/7

在△AC￡＞中，由正弦定理有-=-，一二=解得sinZADC=

stn^ACDsinz.ADC-sin^ADC

2

V3

2，

第18頁共26頁

VO0<ZADC<\5O°,，NA￡>C=60°或N4OC=120°；

(2)在中，由余弦定理有cosZACB=囑/，=1+旻=哥

...sinNAC8=

AcosZBCD=cos(ZACB+300)=cosZACBcos300-sinZACBsin30°=親乂空一

731V3

后9v=萬’

在△BCD中，由余弦定理有3￡>2=CZ)2+BC2-2X8CXCZ)XCOSN8C￡>,,:BD=CD,

.?.9-6C￡>x^=0,8=亭，

.c1/=V211773

??S^CD=2xV7x-X2=~8--

18.（12分）體育課程的實施可以有效地促進學生身體的正常發育，提高身體的健康水平.某

校對高一年男生進行1000米測試，經對隨機抽取的100名學生的成績數據處理后，得到

如下頻率分布直方圖：

（1）從這100名學生中，任意選取2人，求兩人測試成績都低于60分的概率；

（2）從該校所有高一年男生中任意選取3人，記70分以上的人數為S，求§的分布列和

期望；

（3）從樣本頻率分布直方圖中發現該校男生的1000米成績X近似服從N（因。2）,已

知樣本方差S2=116.44,高一年男生共有1000人，試預估該校高一年男生1000米成績在

89.2分以上的人數.

附：“16.44?10.8.

若X?N（p,。2）,貝ij。（日-o<X<“+。）=0.6826,P（口-2。<X<u+2。）=0.954.

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故兩人測試成績都低于60分的概率為長=——.

*o1650

(2)從該校所有高一年男生中任意取1人,其成績70分以上的概率為(0.04+0.022+0.018)

X10=0.8,

若70分以上的人數為貝子?B(3,0.8),

故P(6=0)=C^0.23=0.008,P笆=1)=程0.22*o.8=0.096,

=2)=CfO.21x0.82=0.384,

P(f=3)=C^0.83=0.512.

故s的分布列為：

0123

P0.0080.0960.3840.512

E(?)=3X0.8=24.

(3)由頻率分布直方圖可得，

H=10X(45X0.001+55X0.002+65X0.017+75X0.04+85X0.022+95X0.018)=78.4,

故P(X>89.2)=P(X>78.4+10.8)=1一蜉=0.1587,

故預估該校高一年男生1000米成績在89.2分以上的人數為0.I587X1000^159.

19.(12分)已知數列｛斯｝滿足四二?限二?之己=」-.

(1)求｛即｝的通項公式;

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(2)在四和4&+i(髭N*)中插入攵個相同的數(-1)*'A,構成一個新數列｛b〃｝：a\9

1,。2,-2,-2,?3,3,3,。4，…，求｛m｝的前100項和Sioo.

解：(1)???數列]〃〃｝滿足巴」?亥」..............,

G]012Q?iQ?i

...〃》2時，也二.心.….%1二=」_,相除可得：色二=J_x&A

ala2an-lan-lanan1

化為：斯-4〃-1=1，

〃=1時，——=—，解得的=2.

Q]

???數列｛斯｝是等差數列，公差為1,首項為2.

，。〃=2+(〃-1)=〃+1.

(2)在四和次+1(依N*)中插入2個相同的數(-1)k+'，k,構成一個新數列｛b〃｝：

1,。2，-2,-2,。3，3,3,3,。4，…，浜，(-1)…,(-1)*'?!<,,。葉1，其

項數為A+1+(1+2+…+A)=(4+1)(*+1)no。,解得力213.

13x14

%=12時，到像+1項的項數為：——=91,其后面還有9項，為13,13,13,13,13,

13,13,13,13.

即2,1,3,-2,-2,4,3,3,3,5,…，14,13,13,13,13,13,13,13,13,

13.

｛bn｝的前100項和S100=2+1+3-2-2+4+3+3+3+5+…

+14+13+13+13+13+13+13+13+13+13

=(2+3+—+14)+1-2X2+3X3-4X4+-+11X11-12X12+13X9

=13X(^+14)+12-22+32-42+-+92-102+112-122+13X9

=104+(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+(9-10)(9+10)+(11-12)(11+12)+117

=104-(1+2+―+9+10+11+12)+117

=221_12X(1±12)

=143.

20.(12分)如圖，多面體ABCEf'中，AB=AC,BFLCE,。為BC的中點，四邊形4OEF

為矩形.

(1)證明：BE±CE；

(2)若AB=2,N84C=120°,當三棱錐E-3CF的體積最大時，求二面角A-8F-E

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的余弦值.

證明：（1）:四邊形4OEF為矩形，

又AB=4C,。為8C中點，

：.AD±BC,

,:BC,￡>Eu平面8CE,BCCDE=D,AAZ）±￥ffiBCE,

'：AD//EF,

平面BCE,

又CEu平面BCE,

：.EFLCE,

"：BFLCE,BFCEF=F,BF,EFu平面BE尸，

；.CE_L平面BEF,

又BEu平面BEF,

J.BELCE.

解：（2）'：AB=AC=2,ZBAC=\20°,：.AD=EF=^AB=1,BC=2BD=2W,

由（1）知：BCE,

VE-BCF=VF-BCE=尹ABCE-EF=^BE-CE-EF=^BE-CE<―（BE2+CF2）=

^BC2=1（當且僅當BE=CE=倔寸取等號），

即8E=CE時，三棱錐E-BCF的體積最大，

又。為8C中點，J.ED1.BC,

則以力為坐標原點，DA,DB,法為方》z軸可建立如圖所示空間直角坐標系，

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則4(1,0,0),B(0,V3,0),F(l,0,V3),C(0,-V3,0),E(0,0,V3),

：.AF=(0,0,V3),AB=(-1,V3,0),CE=(0,技?

由（1）知：CE_L平面BEF,平面BEF的一個法向量為81=（0,近,回

設平面AB尸的法向量/=(x,y,z),

則二一"z一°，令y=l,解得：x=y[3,z=0,

{AB-n=—x+V3y=0

：.n=(V3,1,0),

I_CE%_厲

cos{CEfn|CE|-|n|&2

由圖形可知：二面角A-BF-E為鈍二面角，

二面角A-BP-E的余弦值為—乎.

21.（12分）己知點Q（-1,0）,尸2（1,0）,M為圓O：7+y2=4上的動點，延長

至M使得|MN|=|MQ|，QN的垂直平分線與尸W交于點P,記尸的軌跡為

（1）求「的方程；

（2）過@的直線/與「交于A，8兩點，縱坐標不為0的點E在直線x=4上，線段OE

分別與線段AB,「交于C,。兩點，且|。冽2=|00?|0回，證明：\AC\=\BC\.

解：（1）連接例。，PFi,

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是NFi的垂直平分線，：.\PF[\=\PN\</.\PFiI+IPF2I=|PN|+|PF2|=INF2I;

,：M,O分別為NF”TF2中點,：.\NF^=2\MO\=4,

；.|PF1|+|尸尸2|=4>/1/2I，

二尸點軌跡是以Fl，尸2為焦點,長軸長為4的橢圓,即4=2,c=\,：,b2=3,

、.x2y2

點軌跡「的方程為：一+77=1；

43

■?,?,|00|\OE\\x\lx|

證明：(2)\'\OD^\OC\\OE\,即焉=舄，，盧D=卜稱￡，

\OC\\OD\\xc\\xD\

由題意知：xc>0,XE=4,'.XQ—4xc,

(1)當直線/斜率不存在時，即/：x=l,此時xc=l，XD<2,止匕時歐=4女不成立;

(2)當直線/斜率存在時，設/：y=k(x-1),A(xi，yi),B(初，”)，

8k2

y2Xi+x

由彳+可=1得:(3+4k2)x2-8k2x+4fc2-12=02-3+4必

y=k(x-1)4/一12

=

3+4/7

,一一”,一、，Xi+%24k2

：.AB中點的橫坐標為(二1=--7),

23+4/c2

設直線OE的方程為：y=k'x(/W0),

由｛；［儲—1)得：“占，即此=占；

(y=krx

1212

由％2y2_得：X2=即培=

(彳+至=13+4必3+4/c2

由培=生得：豆12赤=力4k;‘整理可得：k'=T0，

k4k2

x