?8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

基礎過關練

題組一圓柱、圓錐、圓臺的表面積

1.（2020湖南長沙一中第二次階段性考試）已知圓錐的母線長為5,高為4,則這個圓

錐的表面積為（）

A.217TB.247rC.337rD.397r

2.（2022上海控江中學期中）已知圓柱的上、下底面的中心分別為01、02,過直線

0。2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的側面積為

（）

A.8加B.8V2TTC.127TD.10V2TT

3.（2022江西宜春月考）若圓臺的高為3,下底面半徑是上底面半徑的2倍，其軸截面

的一個底角為451則這個圓臺的側面積是（）

A.277rB.27V2KC.9近兀D.36/兀

4.（2022江蘇南通如皋中學期末）攢尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構樣式，多見

于亭閣或園林式建筑.如圖是一頂圓形攢尖,其頂部可近似看作一個圓錐，其軸截面

（過圓錐軸的截面）是底邊長為6,頂角為等的等腰三角形，則該屋頂的面積為（）

A.3V3KB.6V3TTC.12V37TD.6兀

5.（2022上海松江二中期中）已知一個圓柱的底面直徑為4,其表面積等于側面積的|,

則該圓柱的軸截面周長為.

題組二圓柱、圓錐、圓臺的體積

6.（2022四川樂山期末）已知圓錐的表面積為12%且它的側面展開圖是一個半圓，則

這個圓錐的體積為（）

A.47rB.土烏r

3

C.87TD—H

3

7.（2022廣東汕頭金山中學期末）如圖，已知圓臺下底面的半徑為2,高為2,母線長為

遍,則這個圓臺的體積為（）

A.-y1T4CB.7，r

147

C丁D.”

8?若一圓柱與圓錐的高相等，且軸截面面積也相等,則圓柱與圓錐的體積的比值

為.

題組三球的表面積和體積

9.（2022陜西寶雞金臺期末）一根細金屬絲下端掛著一個半徑為1cm的金屬球，將

它完全浸沒在底面半徑為2cm的圓柱形容器內的水中,現將金屬絲向上提起，當金

屬球被拉出水面時,容器內的水面下降了（金屬絲的體積忽略不計）（）

4331

A-cmB,—cmC-cmD-cm

31643

10.64個直徑都為士的球,記它們的體積之和為V甲,表面積之和為S甲;1個直徑為a

4

的球,記它的體積為V乙，表面積為S乙則（）

人丫甲＞丫乙且5甲＞5乙BV甲乙且S甲＜S乙

CV甲二V乙且S甲＞8乙D.V甲二V乙且S甲二S乙

11.（2022山東濰坊期末）牙雕套球又稱“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當繁

復,工藝要求極高.現有某“鬼工球"，由外及里的兩層是表面積分別為647rcn?和

36兀cn?的同心球（球壁的厚度忽略不計）,在外球表面上有一點A,在內球表面上有

一點8,連接A3,則線段AB長度的最小值是（）

A.lcmB.2cmC.3cmD.V41cm

12.有三個球與一個正方體，球01與正方體的各個面相切，球。2與正方體的各條棱

相切，球。3過正方體的各個頂點，則球01,。2,。3的表面積之比為（）

A.1：2：3B.l：V2：V3C.l：2V2：3V3D.l：V2：3

題組四簡單組合體的表面積和體積

13.（2022河南潺河高級中學月考）一個直角梯形的兩底邊長分別為2和5,高為4,

繞其較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體的表面積為（）

A.52兀B.34兀C.45TTD.487T

14.（2022江西安義中學等六校期末聯考）金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存

在的最堅硬物質,它的結構是由8個等邊三角形組成的正八面體，如圖，若某金剛石

的棱長為2,則它的體積為（）

E

4V2

AAVC.

15.（2022黑龍江大慶中學期中）如圖，某種“籠具”由內、外兩層組成，無下底面，內

層和外層分別是圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作

時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為24兀

cm,高為30cm,圓錐的母線長為20cm.

⑴求這種“籠具”的體積;

⑵現要使用一種紗網材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需

多少元?

能力提升練

題組一圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積

1.（2022福建福州期末）已知一張邊長為2的正方形紙片繞著它的一條邊所在的直

線旋轉;弧度，則該紙片掃過的區域形成的幾何體的表面積為（）

A.27rB,K+8C.2兀+8D.4TT+8，、P349定點i

2.（2022湖北武漢武昌質檢）已知圓錐底面圓的圓心到母線的距離為2,當圓錐的母

線長取最小值時，圓錐的側面積為（）

A.85TB.16TIC.8應兀D.4/兀P349定點1

3.已知某圓柱的底面直徑與某圓錐的底面半徑相等，且它們的表面積也相等，圓錐

的底面積是圓錐側面積的一半，則此圓錐與圓柱的體積之比為（）

A.8V3：15B.4V3：15

C.2V3：5D.4V3:33AP350定點2

4.（多選）（2021浙江A9協作體期中）某圓錐的底面半徑為3,母線長為4,則下列關于

該圓錐的說法正確的是（）

A.該圓錐的側面展開圖的圓心角為:

B.該圓錐的體積為9K幾

C.過該圓錐的兩條母線所作截面的面積的最大值為8

D.該圓錐軸截面的面積為甲AP350定點2

5.（2022浙江紹興諸暨中學期中）如圖所示的圓臺002,在軸截面ABCD

中,C0=2AB,且則該圓臺的體積為，側面積為..

P349定點1

6.（2021鄂西北六校期中聯考）如圖所示,已知母線長為4方的圓錐AO,其側面展開

圖為半圓.

⑴求圓錐的底面面積;

⑵在該圓錐內按如圖所示的方式放置一個圓柱，當圓柱的側面積最大時，求圓柱的

體積.

P350定點2

題組二球的表面積和體積

7.（2022黑龍江哈爾濱師范大學附屬中學期中）已知直三棱柱ABC-AIBICI的頂點

都在一個球的球面上，若AC=匹M=2,Z.ABCq則該球的表面積為（）

A.127TB.8兀C.47TD.2兀；P351定點3

8.（2022湖北省級示范高中模擬）已知△ABC中,乃C=3,AC=5,以4c所在直線

為軸旋轉一周得到一個旋轉體，則該旋轉體的內切球的表面積為（）

A49「576廠576―69

A?B記兀C.mD.『LP351定點3

9.（2022四川成都三診）已知三棱臺ASC-AIBICI的六個頂點都在球O的球面

±.,AA=CCi=710,/\ABC和△AiBG分別是邊長為百和28的正三角形，則

球。的體積為（）

A32nn20V5TT

A.—B.--------

33

小「40國71

C.36兀D,--------AP351定點3

3

10.（2020重慶八中月考）古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個“圓柱容球”

的幾何體,就是圓柱容器里放了一個球，這個球與圓柱的側面及上、下底面均相切,

如圖,若記這個球的表面積和體積分別為S和％,圓柱的表面積和體積分別為52

和W狽爛填">”或"二”）,49定點I

S?卜2

11.（2022河南安陽聯考）將大小不同的兩個空心鐵球02/01依次放入一倒置、有蓋

且裝滿水的圓錐形容器中，其軸截面如圖所示.已知兩球相切,兩球均與圓錐形容器

的側面相切,且上面的大球Q與圓錐形容器的上蓋也相切.圓錐形容器的軸截面是

邊長為6的正三角形ABC,則放入兩球后溢出的水的體積為,*351定點3

題組三簡單組合體的表面積和體積

12.（2021江蘇無錫月考）斗拱是中國古典建筑最富裝飾性的構件之一，并為中國所

特有,圖一、圖二是北京故宮太和殿斗拱實物圖，圖三是斗拱構件之一的斗的幾何

示意圖，圖中的斗由棱臺與長方體形凹槽（長方體去掉一個長相等,寬和高分別為

原長方體一半的小長方體）組成若棱臺兩底面面積分別是400cm）900cn?,高為9

cm,長方體形凹槽的高為12cm,斗的密度是0.50g/cm：那么這個斗的質量是（）

A.3990gB.3010g

C.6900gD.6300g

13.（2022河北武安第一中學五調）阿基米德多面體，也稱為半正多面體，是指至少由

兩種類型的正多邊形為面構成的凸多面體.如圖，從正四面體的4個頂點處截去4

個相同的正四面體，若得到的幾何體是由正三角形與正六邊形構成的阿基米德多

面體，且該阿基米德多面體的表面積為78，則該阿基米德多面體外接球的表面積

為.AP351定點3

14.（2022四川眉山第一中學月考）如圖所示，在四邊形ABCD

中,Z.DAB=9014Aoe=1351AB=5,。=2&/。=2,求四邊形ABCDAD所在直

線旋轉一周所形成的幾何體的表面積及體積.P350定點2

AR

答案與分層梯度式解析

基礎過關練

1.B由題意得,圓錐的底面半徑為后二不=3,則底面圓的面積為9兀,圓錐的側面

積是卜2兀x3x5=15%所以圓錐的表面積為15兀+97r=24兀故選B.

2.A設圓柱的底面半徑為〃母線長為/,

依題意得2r1=8,得r/=4,

故圓柱的側面積5=2兀力=8兀故選A.

3.B設圓臺上底面半徑為八,下底面半徑為-2,母線長為/,則r2=2八①,/=3=

sin45

3V2,r2=ri+/cos45°=為+3②,

由①②得為=3,力=6,

.?.S到=兀（八+-2）/=兀（3+6）x3加=27V2TT.

故選B.

4.B畫出屋頂的軸截面,如圖，

c

其中AB=6,ZACB=—NC43=，4O=3,

36

?e?AC—~-qi—3x—p—2A/^.

cos-V3

6

，圓錐的側面積S=7txAOxAC=3兀x2g=6V3X

故選B.

5.答案16

2

解析設圓柱的高為九則該圓柱的表面積為27rx（；）+4兀%=8兀+4加九側面積為4九九

由題意可得8兀+4兀/2=|乂4兀九解得h=4.

該圓柱的軸截面的周長為4x2+2/z=16.

6.D設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,則兀/=2口,即l=2r,

,?,圓錐的表面積為12%.,.++"/=12兀，解得尸2,/=4,

?,?圓錐的高hZl2一八-2^3,

圓錐的體積U^Tr/Z^WTr.故選D.

7.A設圓臺上底面的半徑為r,則有(迷尸=(2-力2+22,解得r=l或尸3(舍去).

.??圓臺的體積V=，x2x(22+12+2x1)=崇:.故選A.

8.答案；

4

解析設圓柱與圓錐的底面半徑分別為廠,尺高均為九則2rh《xZRh,：.R=2r,

.?.圓柱和圓錐的體積的比值為沖=

2

-TTR2九-nx4rh4

33

9.D設水面下降了//cm.由題意得］T3F22.九解得。三.故選D.

10.CV甲=64x，x(q)=W_,s甲=64、4兀＞＜(±)=4兀*v乙=￡兀=吧_,§乙

3\8/6\8/3\2/6

=4兀x(l)=兀〃2,故y甲=丫乙且s甲＞S乙，故選C.

11.A設外球和內球的半徑分別為R和尸,則4兀7?2=64兀,4兀產=36%解得

R=4(cm),『3(cm),

易知當A,B與球心在同一直線上，且3在A與球心之間時,AB的長最小，

：.AB長度的最小值是R『l(cm).

故選A.

12.A設正方體的棱長為2,則球(9i的半徑為棱長的一半，為卜2=1,表面積

51=4兀X12=4兀.

球。2的半徑就是正方體中相對棱的距離，即面對角線長的一半，為［加不=V2,

表面積S2=47rx(應)2=8兀

球03的半徑為體對角線長的一半，為\X)22+22+22=8，表面積

S3=4兀X(b)2=12兀.

所以球。,。2,。3的表面積之比為S：S2：53=1：2：3.

13.A由題意可知所得幾何體是圓柱和圓錐組成的組合體,如圖，

貝ij/ii=5-2=3//i2=2,7?=4,

表面積S-TiR^+lTtRhi+TtRylR2+h[-16TT+167r+207r=527r.A.

14.C如圖,設底面ABCD的中心為。，連接CO,EO,貝ijCOV2,EO=VEC2-OC2=

^22—(V2)2=V2.

15.解析⑴設圓柱的底面半徑為rem,高為/?cm,圓錐的母線長為Icm,高為歷cm,

則〃=30,/=20,

由2兀尸24兀,得r=12,所以h1=V202—122=16,

故體積丫=兀/。-，/。1=122*30兀-，122x1671=35527r(cm)

⑵圓柱的側面積51=2兀泌=7207T(cm2),圓柱的底面積52=71^=1447T(cm2),

圓錐的側面積53=7rr/=2407r（cm2）,

所以“籠具”的表面積5=S+52+S3=l104兀（cn?）,

所以制作50個“籠具”共需11*50X8=料2元）

能力提升練

1.C由題意得形成的幾何體是底面半徑-2,高h=2的圓柱的八分之一，

所以其表面積5=:（2兀泌+2兀戶）+22、2]（2兀'2x2+2兀x2?）+8=2兀+8.故選C.

2.C設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,高為九則r>2.

由圓錐的底面圓心到母線的距離為2,得ax2l=京所，即吟.

又尸=3+用所以公戶+當即及=m=貴，

薦-7

由》2彳H3=_信_丁+[W±

當W；，即『2魚時，/取最小值，為4.

此時圓錐的側面積為兀r/=2企><4加=8企兀

故選C.

3.A設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,高為歷，則兀*=*"/,所以/=2〃所以圓錐的

高加=7^〃圓錐的體積為，///尸爭/.

由題意知,圓柱的底面半徑為條設圓柱的高為h2.

因為圓錐與圓柱的表面積相等,所以兀戶+兀所2尸2兀（9+2/加72,解得力2=|r,

2

所以圓柱的體積為碓）h2=）內

所以圓錐與圓柱的體積之比為4"3:：15.故選A.

38

4.AC因為圓錐的底面半徑為3,母線長為4,所以圓錐的高4用二^=V7.

對于A,因為圓錐的底面半徑為3,所以圓錐的底面周長為2兀、3=6兀,又因為圓錐的

母線長為4,所以圓錐的側面展開圖的圓心角為r=等，故A選項正確.

42

對于B,由題意得圓錐的體積V^=1x7rx32x-/7=377%故B選項不正確.

對于C,設圓錐的兩條母線的夾角為，過這兩條母線所作截面的面積為94x4xsin

6=8sin，易知過圓錐母線的截面中，軸截面三角形對應的0最大，此時cos

42+42—62一,所以。最大是鈍角.所以當小引寸，截面的面積有最大值，最大值為

e二--------------------

2X4X482

8,故C選項正確.

對于D,易知圓錐的軸截面的面積為:x6x近=3近做D選項不正確.

故選AC.

5咨案字;6兀

解析解法一:將圓臺看成以圓0I為底的大圓錐切去以圓。2為底的小圓錐，兩個

圓錐的頂點為E,如圖所示，在經過點的軸截面上，過A點作AFLCD于F,

顯然A/〃0102,且AF^OyOi,

易知O2Aj4[8=l,Oi￡>=j1CZ)=2,O2A=j[Oi。，

又：OM〃0。,，O2A為△ONE的中位線,.\0|02=02七=|。1區；(：05/尸。/二

—=ZFDA=~,/.tanNFDA=tanNO\DE=^~=tan-=V3,解得OiE=2V3,/.

AD233

O2E=V3.

圓臺的體積等于以圓為底OiE為圖的圓錐的體積減去以圓。2為底ChE為IWJ

的圓錐的體積，即giTrxoaxOiblTTxO^xO2fq(22x2百—12xV3)^^

圓臺的側面積S=7rOQED-7rO4E4=7rx(2x4-lx2)=6兀

解法二:易知圓臺的高為百，上、下底面半徑分別為1,2,母線長為2,則圓臺的體積

XV^X(12+lx2+22)=?^兀，側面積5=71X1X2+nX2X2=671.

6.解析⑴由題意得圓錐的側面展開圖是以4H為半徑的半圓，設OB=R,

因為半圓的弧長為4g%

所以2兀尺=4百兀,所以R=2打

故圓錐的底面面積為位?2=12兀

⑵設圓柱的高00i=h,0Ar,

在RtAAOB中,AgMB2-。5=6,

易知△AOIOIS^AOB,

所以鬻=翳，即?=嘉，所以用=6-8「，

所以圓柱的側面積

22

S=27rr/z=27rr(6-V3r)=-2V37rx(r-2V3r)-2V37r(r-V3)+6V37r,0<r<2V3/

所以當r=8時,圓柱的側面積最大，

此時用=3,所以V圓柱=兀///=9兀

7.A設上、下底面三角形外接圓的圓心分別為01,。2,則球心O在線段0。2的中

點處,如圖，

設球的半徑為尺底面三角形外接圓的半徑為r,

則由正弦定理可知2-^=埠=2Vx即i

sin-

32

因為:。1。2=34|=1,所以go。升戶=1+2=3,所以該球的表面積S=4TTR2=I2兀

故選A.

8.B旋轉體的軸截面如圖所示，其中0為內切球的球心，過。作A53c的垂線，垂

足分別為EE則OE=OF=r(r為內切球的半徑)，

故AO=--^--=-r,CO~—^~—二-r,

sinZBAC3sin^BCA4

故5=AO+OC=-r4-9「，故r=—,

347

2

故旋轉體的內切球的表面積為4/(3)=整.

故選B.

9.B設02,01分別是△ABCqABC的中心，球的半徑為凡則OQQ三點共線,

正三棱臺43cAiBG的高為0。2,在等邊"BC中，由正弦定理可得201A=名；=

sin60°

祟2得A01=L在等邊"BC中，由正弦定理可得24。2=筆=等=4,得

vssin60

22

AIO2=2,過點A作ANLAsOi,

則在三角形A\AN中,4N=LAAi=S0所以AN=O\O2=710一1=3,所以正三棱臺

ABC-AiBiCi的高為3,在RtAOOiA中,0。升0/2=肥即。。取+1=用①

在RtAOOiAi中,。3+。2掰=比即(3-00)2+4=匕②

由①②解得尺=遮，所以球0的體積「扣?3=等.故選B.

10.答案=

解析設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R,

33222

V2=7tR^2R=2nRlVi=|n/?/52=27r/?x2/?+2x7t/？=67r/?,5i=47r/?,

4Q

.Vr__2Si_4TTR2_2.&_旦

31

'"V2_2TTR-3'S2.6TTR2~3''S2~V2'

11.答案里雪I

27

解析設球。2。的半徑分別為「園易知正三角形ABC的高力=3班,

由/z=OiA+R=2R+R=3V5,可得R=W,

由。2/1=%-2艮尸遮-r,且OM=2r,可得r=--,

所以放入兩球后溢出的水的體積為聲低3+力」算.

12.答案C

信息提取①斗由棱臺與長方體形凹槽構成;②長方體形凹槽中空部分與原長方

體的長相等，寬和高分別為原長方體的一半;③斗的密度是0.50g/cnP.

數學建模本題以中國所特有的古典建筑最富裝飾性的構件之一斗拱為背景，以

考查幾何體斗的質量為載體，考查幾何體斗的體積的運算，同時也跨學科考查了質

量、密度與體積之間的關系.可以設長方體的長為xcm,寬為ycm,則長方體底面面

積為町=900cn?,由長方體形凹槽的高為12cm,可以求出長方體形凹槽的體積，從

而可以得出幾何體斗的體積，從而使問題得到解決.

解析由題意可知，棱臺的體積(400+900+知400x900卜9=5700(cm3),

設長方體的長為xcm,寬為ycm,則％產900,因為長方體形凹槽的高為12cm,

所以長方體形凹槽的體積V=12%y-6%,|產9%產8100(cm3),

所以斗的體積為5700+8100=13800(cm3),

因此斗的質量為13800x0.5=6900(g).故選C.

13.答案罟

解析