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文檔簡介

§2.2

初等函數二、指數函數一、整冪函數四、雙曲函數五、小結與思考三、三角函數1一、(整)冪函數定義：稱為冪函數性質(1).z=x

R時,zn=xn

(2).令z=rei

=r(cos

+isin

),

zn=

rnein

=rn(cos(n

)+isin(n

))2二、指數函數1.指數函數的定義:定義2.4對于任何復數z=x+iy,規定32.指數函數的性質(4).加法定理(5)ez是以2i為基本周期的周期函數4(1)證明加法定理證5因為：當z沿實軸趨于+∞時ez

∞;

當z沿實軸趨于-∞時,ez0.67yxz-平面uw-平面v8例1解9例2解求出下列復數的輻角主值:10例2解求出下列復數的輻角主值:111213例3解143、

三角函數1.三角正弦與余弦函數將兩式相加與相減,得現在把余弦函數和正弦函數的定義推廣到自變量取復值的情況.15定義2.5對任意的復數z,規定z的

性質:(2)正弦函數和余弦函數在復平面內都是解析函數.1617(3)、cosz和sinz是單值函數；(4)、cosz是偶函數，sinz是奇函數:18(6).遵循通常的三角恒等式，如192021注：這是與實變函數完全不同的!!!!sinz的零點(i.e.sinz=0的根)為z=n

cosz的零點(i.e.cosz=0的根)為z=(n+1/2)

n=0,1,2,···,n,···(7).(8)sinz,cosz在復數域內均是無界函數222.其他復變數三角函數的定義周期：：23例4解24例5解25練習26例6解271.雙曲函數的定義4、

雙曲函數2.雙曲函數的性質28它們的導數分別為并有如下公式:它們都是以為周期的周期函數,29例13解305、小結與思考復變初等函數是一元實變初等函數在復數范圍內的自然推廣,它既保持了后者的某些基本性質,又有一些與后者不同的特性.如:

1.指數函數具有周期性2.三角正弦與余弦不再具有有界性3.雙曲正弦與余弦都是周期函數31思考題實變三角函數與復變三角函數在性質上有哪些異同?32作業:第90頁4

(1)(4),5(2)(4)6(2)(4),

7,8(1)(3),

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