第九章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析內(nèi)容提要

本章用相量法分析線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。首先，引入阻抗、導納的概念和電路的相量圖。其次，將通過實例介紹電路方程的相量形式和線性電路定理的相量描述和應(yīng)用，介紹正弦電流電路的瞬時功率、平均功率、無功功率、視在功率和復功率，以及最大功率的傳輸問題。最后，介紹電路的諧振現(xiàn)象和電路的頻率響應(yīng)。目錄§9—1阻抗和導納§9—2阻抗(導納)的串聯(lián)和并聯(lián)§9—3電路的相量圖§9—4正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析§9—5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率§9—6復功率§9—7最大功率傳輸§9—8串聯(lián)電路的諧振§9—9并聯(lián)諧振電路§9—1阻抗和導納uiRLCuLuCuR一、阻抗u=uR+uL+uC=iR+L+i

dtdidt1C

相量法：RjωLUIωC1–jURULUC=R+

jωLIIωC1–jI=++UURULUC=[R+j(ωL–

)]

ωC1I令：Z=R+j(ωL–)=R+j(XL–XC)=R+jX=ωC1φZ電抗復阻抗復阻抗復阻抗的模阻抗角復阻抗線性無獨立源UI=ZUI相量形式歐姆定律=Zφ==R2+X2UIZ給出了電壓與電流有效值之間的關(guān)系φ=ψu–ψi=tg–1XL–XCR給出了電壓相位與電流相位之間的關(guān)系注意：Z只是一個復數(shù)，不是相量。因為Z沒有對應(yīng)的正弦。阻抗角φ=tg–1=ψu–ψiXL–XCRφ與ψu、ψi不同。ψ

：初相位。φ

：電壓與電流的相位差。φ由電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定。注意：1、XL>XC;φ>0，電壓相位超前電流相位，電路呈感性。IURULUCUXUφURUXUφ電壓三角形2、XL<XC;φ<0,電壓相位滯后電流相位,電路呈容性。IURULUC=U4、阻抗三角形φRXZ阻抗不是相量，不能畫箭頭。UUXURφ3、XL=XC;φ=0，電壓電流同相位，電路呈阻性。電壓三角形與阻抗三角形為相似三角形。例：RLCui已知：R=15Ω,L=12mH,C=5μF,u=100cos5000t(V)2求：i、uR、uL、uCRjωLωC1–jUI解：=100V0oUZ=R+j(ωL–)=25ΩωC153.1o感性===4(A)53.1o1000o25–53.1oUZI=R=60V–53.1oURIjωL==240V36.9oULI–143.1oωC1–j==160

VUCIi=4cos(5000t–53.1o)V2uR=60cos(5000t–53.1o)V2uL=uC=正弦交流電路中，有可能UL、UC>U二、導納=++IIRILIC=++URUjωLUωC1–j=[+j(ωC–

)]R1ωL1U復導納Y==+j(ωC–)IUR1ωL1=G+j(BC–BL)=G+jB1、BL>BC,φ>0,電路呈感性。2、BL<BC,φ<0,電路呈容性。3、BL=BC,φ=0,電路呈阻性。–φY=容納感納電納導納角負阻抗角電流三角形φIRUIXIRjωLωC1–jUIIRILIC線性無獨立源UI三、復阻抗與復導納的等值變換線性無獨立源UIZ=UIY====IUZ1Zφ11Z–φ若：Z=R+jX則：Y=G+jBY===–j=G+jBZ1R+jX1R2+X2RR2+X2X∵G=R2+X2RB=–R2+X2X同理：R=G2+B2GX=–G2+B2B注意：這種等值變換是有條件的!

變換后電導(或電阻)已變成與頻率有關(guān)的量，而電納(或電抗)也不是與頻率成正比或反比的關(guān)系。因此，只有在某一固定頻率下等值變換才是正確的。§9—2、3阻抗(導納)的串聯(lián)和并聯(lián)、相量圖R1jX1jX2–jX3R2UI1I2I3U1U2例1：已知:R1=5Ω,X1=10Ω,R2=30Ω,X2=40Ω,X3=50Ω,U=220V。求：各支路電壓、電流。定性相量圖UU2I3I2I1U1Z1=R1+jX1=5+j10=11.2Ω63.4oZ2=R2+jX2=30+j40=50Ω53.1oZ3=–jX3=–j50=50Ω–90oI1UZ1Z2Z3例1：I1UZ1Z2Z3I2I3U1U2Z=Z1+(Z2//Z3)=81.4

Ω–10.6o設(shè)：=220VU0o=I1UZ=81.42200o–10.6o=2.710.6oAU1=I1Z1=30.274oVI2=Z2+Z3Z3I1=4.26–61oAI3=I1–I2=4.2682.1oAU2=–U1U=213.7V–7.8oI1UU2U1I2I3例2：Aj18Ω24Ω40Ω–j18Ω–j50Ω已知：電流表的讀數(shù)為1.5A。求：UU、II解題思路：U2U2設(shè)：=1.5A0oI1I1I2I2=+II1I2U2U3=U3IZ3=U1IZ1U1=++U3U2U例3：已知：電壓表V、V1和V2的讀數(shù)分別為100V、171V和

240V，Z2=60Ω。求：Z1解:∵US<U1<U2,Z2為純電感∴Z1=R–jX為容性IU2U1U設(shè)：

=I

AI0o=IU2Z2=24090o6090o=40oA+–VV2V1IUSZ1Z2U1U2Z1=IU1=4171=42.7ΩUS=U1+U2100ψ=171ψ1+24090o100cosψ=171cosψ1100sinψ=171sinψ1+240ψ1=–69.4o–110.6oZ1=42.7–69.4o42.7–110.6oΩΩ(舍去)=240VU290o則:例4：abCZXUIUCUX已知:U=100V,Uc=100V,Xc=100Ω,

復阻抗ZX的阻抗角|φX|=60o。求：Zab33解：

ZX=R±jXtg–1

=60oXR∵|φX|=60o3ZX=R±jR3X=R∵U<UC

∴ZX必為感性。3ZX=R+jR方法一：用模計算I==1AUCXC|Z|==100XR=R2+(R–100)2

33R=100Ω50ΩZX=100+j100Ω350+j50Ω3Zab=100Ω50–j50Ω3方法二:用相量計算設(shè):=1AI0o=UXVUX60o=100VUC3–90o3100=UX+100ψu60o–90o利用實部與實部相等,虛部與虛部相等,求出UX,再求ZX。§9—5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率Niu設(shè):u=Ucos(ωt+φ)V2i=IcosωtA2p=ui=2UIcos(ωt+φ)cosωt

cosxcosy=[cos(x–y)+cos(x+y)]12p=UI[cos(2ωt+φ)+cosφ]

一、瞬時功率tuip

可見：p>0時網(wǎng)絡(luò)N吸收功率，p<0時網(wǎng)絡(luò)N釋放功率。在一個循環(huán)內(nèi)p>0的部分大于p<0的部分，因此，平均來看網(wǎng)絡(luò)N仍是吸收功率的。=UIcos(2ωt+φ)+UIcosφtpUIcosφUIp瞬時功率=UIcosφ+UIcosφcos2ωt+UIsinφsin2ωtp1p2ttUIcosφp2p1UIsinφp1為p中不可逆的分量，即：被消耗掉的功率。平均值為UIcosφ。p2為p中的可逆分量，只進行能量交換而不被消耗掉。平均值為0。p=UI[cos(2ωt+φ)+cosφ]二、平均功率(有功功率)p=UIcosφ+UIcosφcos2ωt+UIsinφsin2ωtP=1T

pd(t)0TP=UIcosφφ—阻抗角λ=cosφ—功率因數(shù)XRIUURUXURUXUφP=UIcosφUIIRIXφIRIXIP=UIcosφ

有功功率=平均功率=電路中電阻上消耗的總功率。有功功率總為正。單位為瓦(W)、千瓦(KW)。=URI=I2RUR2R==UIRIR2=RU2R=三、無功功率p=UIcosφ+UIcosφcos2ωt+UIsinφsin2ωt

無功功率是指無源一端口網(wǎng)絡(luò)與電源之間進行儲能交換的最大值。用Q來表示。Q=UIsinφ感性電路：φ>0，Q>0,電感“消耗”無功功率。Q有正、有負容性電路：φ<0，Q<0,電容“產(chǎn)生”無功功率。URUXUφQ=UIsinφ=UXI=ULI–UCI=QL–QC無功功率=電路中電感總無功功率–電容總無功功率。無功功率的單位為：乏(var)、千乏(kvar)。四、視在功率(表觀功率)S=UI

視在功率一般指電力設(shè)備的容量，是設(shè)備可以向電路提供的最大有功功率。視在功率的單位為伏安(VA)、千伏安(KVA)。φPQS功率三角形S2=P2+Q2注意：P=P1+P2+……Q=Q1+Q2+……S

S1+S2+……

可見：電壓三角形、阻抗三角形和功率三角形為相似三角形。例1：VAWRLUI已知:U=50V,I=1A,P=30W,f=50HZ求:R、L解:方法一φZ=|Z|=R+jωL|Z|==50ΩUIPUIcosφ===0.65030φ=53.1o(感性φ>0)Z=50

=30+j40Ω53.1oR=30ΩL===0.127HXL2πf402π50方法二P=I2RR==30ΩPI2XL=|Z|2–R2=40ΩL=0.127H例2：+–Z1Z2USI已知:US=1V,f=50HZ,電源發(fā)出的平均功率P=0.1W,整個網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)cosφ=1,且Z1與Z2吸收的平均功率相等,Z2的功率因數(shù)cosφ2=0.5(感性)。求:Z1、Z2解:Z2=R2+jX2

(感性)Z1=R1±jX1∵Z1、Z2串聯(lián)，吸收的平均功率相等∴Z1=R–jX=5–j8.66Ω∵cosφ=1∴X1=–X2∴R1=R2=R∵cosφ2=0.5∴X=Rtg60o=8.66Z2=R+jX=5+j8.66ΩI==0.1APUP=I22RR==5Ω2I2P五、功率因數(shù)的提高問題的提出:1、I=P、U一定

cosφ

IPl

導線損耗大。UcosφP2、cosφ太低，不能充分利用電源的容量。如：一臺發(fā)電機S=10000KVA若負載的cosφ=1時：P=10000KW若負載的cosφ=0.6時：P=6000KW不能改變負載上的電壓、電流和有功功率。功率因數(shù)提高的條件：提高功率因數(shù)的方法I1RLI1UUI2φ1IφCI2方法:在負載上并聯(lián)電容。(并電阻也可以，但耗能。)1、理論上講cosφ可以為1，實際做不到。2、提高功率因數(shù)是針對整個供電系統(tǒng)而言，負載本身的物理量沒有變化。注意：例：已知：f=50HZ,=380V,P=20KW，

cosφ1=0.6,若要使cosφ=0.9，求C=?U0oI1UI2φ1Iφ解:I1===87.22APUcosφ1200003800.6cosφ1=0.6

φ1=53.13oI1=87.22A–53.13oI===58.48APUcosφ200003800.9cosφ=0.9

φ=25.84oI=87.22A–25.84oI2==I–I144.6990oAC==374μfI22πfU提高功率因數(shù)的計算公式I1UI2φ1IφI2=I1sinφ1–Isinφ=sinφ1–sinφPUcosφ1PUcosφ1=(tgφ1–tgφ)PUC==(tgφ1–tgφ)I2ωUPωU2§9—6復功率φPQSP=UIcosφQ=UIsinφS=P2+Q2令:S=P+jQ=UIcosφ+jUIsinφ=UI=UIφψu–ψi–ψiψu=U–I==Z=I2ZUI*II*S復功率注意：復功率不是正弦量，也沒有實際意義。只是為了直接應(yīng)用由相量法計算出來的電壓相量和電流相量計算和表達有功功率、無功功率和視在功率三個功率的一種數(shù)學寫法。§9—7最大功率傳輸負載電阻RL的功率為：令：dPdRL=0可解出：RL=Req此時：Pmax=4RLUoc2IZeq+–ZLUocZeq=Req+jXeqZL=RL+jXLP=I2RL=

RL(Xeq+XL)2Uoc2(Req+RL)2+顯然:Xeq=–XL時分母最小P=I2RL=

RLUoc2(Req+RL)2即:Zeq=ZL時，P為最大值。*§9—4正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析例1:iS2iS110mH5mH200μF200μF5Ω10Ωu1已知:iS1(t)=cos1000t(A)2iS2(t)=0.5cos(1000t–90o)(A)2求:u1Z1Z2Z3Z1==4–j2(Ω)10.2+j1000×200×10–6解:Z2=–j10(Ω)Z3=2+j4(Ω)I10o=1A–90oI2=0.5A續(xù)例1:方法一:結(jié)點電壓法Un2Un1Z1Z3Z2U1IS2IS1(+)–=1Z11Z2Un11Z2Un2IS11Z2–+(+)=–Un11Z21Z3Un2IS2解出:=2.24VUn1–63.4o方法二:利用疊加定理U1=Z1+Z2+Z3Z1(Z2+Z3)IS1Z3Z1Z1+Z2+Z3IS2–63.4o–=2.24V方法三:利用戴維寧定理Z1Z3Z2U1IS2IS1UocZeq==2.83ΩZ1+Z2+Z3Z1(Z2+Z3)–45.1oZ3Z1Z1+Z2+Z3IS2–=–1VUoc=+–UocZeqIS1U1–63.4oU1=+Zeq=2.24VUocIS1u1=2.24cos(1000t–63.4o)V2例2：ISU14U12Ω1Ωj20Ω已知:=IS0o1A求:圖示電路的戴維寧等效電路Uoc解:1、求開路電壓方法一:列結(jié)點電壓方程U1UocUoc(1+)–=j201U1j201Uoc0o1–+(+)=4j201U112j201UocU1方法二:利用電壓源于電流源的等效變換ISU14U12Ω1Ωj20Ω+–+–U10o1Vj20Ω1Ω2ΩU18UocIU1=(2+j20)+8U1I=0o1–8U13+j20IUoc=2+8=7.36VIU113.8o2、求等效阻抗ZeqISU14U12Ω1Ωj20Ω方法一:電壓電流法UII2I1=+–4II2I1U1ISU14U12Ω1Ωj20Ω=U2+1+j20U–41+j20U1+j20U×1方法二:求短路電流IscI1I2Isc=I1+4U1=I1+4I2I1+I2=IS=0o1可解出:30.5oIsc=3.5AZeq=UocIsc=30.5o3.57.3613.8o–16.7o=2.1ΩZeq=UI=2.1Ω–16.7o§9—8串聯(lián)電路的諧振

諧振是正弦電流電路在特定條件下所產(chǎn)生的一種特殊物理現(xiàn)象。諧振含有L和C的電路在一定頻率下呈現(xiàn)電阻性時稱為諧振。一、諧振條件RjXLUIURULUC–jXC=R+j(ωL–)ωC1Z=R+j(XL–XC)ωXLXCω0ω<ω0時,XL<XC,電路呈感性；ω>ω0時,XL>XC,電路呈容性；ω=ω0時,XL=XC,電路呈阻性；諧振條件:|XL–XC|ω=ω=00ω0L=ω0C1ω0=LC1諧振角頻率f0=LC12π諧振頻率f0僅取決于L、C與U、R無關(guān)。即:任意給定L、C的參數(shù)，總可以找到一個頻率使得電路工作在這個頻率時發(fā)生串聯(lián)諧振。二、諧振時電路的特點1、X=0,XL=XC0ω0L=ω0C1XL=XC==LLC1=CL諧振時XL、XC與ω無關(guān)。U2、、同相位，φ=0I3、Z=R|Z|最小4、I0=最大URUL=UC=ω0LI0URCL==QUQ=R1CL品質(zhì)因數(shù)注意：R很小,Q>>1,此時即使U很小,仍有可能UL=UC>>U。6、電路的總無功功率為零。IURULUC=U5、UR=U，UX=0，所以又叫電壓諧振，相當于短路。三、串聯(lián)諧振電路的諧振曲線和選擇性R+j(ωL–)ωC1UI=R2+(ωL–

)2UI=ωC1幅頻特性ωII0ω0諧振曲線諧振曲線表明，串聯(lián)諧振時電路對不同頻率的信號有不同的響應(yīng)，具有“選擇性”。–φ=tg–1

RωL–

ωC1相頻特性頻率特性“歸一化”諧振曲線UR=R+j(ωL–)ωC1RUURU=1+j1R(ωL–)ωC11=(ω0L–

)1+j1Rω0C1ωω0ω0ω1URU電壓相對抑制比令:η=ωω0頻率相對變化量ηURU=1+jQ(η–

)η11幅頻特性UUR=1+Q2(η–

)2η11UUR11

幅頻特性表明:電壓相對抑制比只與Q有關(guān)，Q是決定該函數(shù)的唯一參數(shù)。R、L、C不同，但Q相同的電路其選擇性是一致的。通用諧振曲線Q1=1Q2=10Q3=100通頻帶ηUUR110.707η1η2=1+Q2(η–

)2η1121可解出:η1=+2Q14Q21+1η1=–+2Q14Q21+11η2–η1=Q通頻帶:BW=ω2–ω1=ω0/Q可見:Q值大，通頻帶窄，，選擇性就好。相頻特性:–φ=tg–1Q(η–)η1η–φQ=1Q=10Q=1001例:～

～

～

RLCu1u2un某收音機輸入回路線圈的Q=150,L=310μH,欲求(1)收聽中央臺540KHZ節(jié)目時C=?(2)若另有一電臺節(jié)目600KHZ,1mV;而540KHZ節(jié)目也是1mV。求電路調(diào)諧于540KHZ時這兩個信號在回路中的電流。解:(1)f0=540KHZ時C=ω0L21=(2π×540×103)2×310×10–61=280μf(2)f=540KHZ時電路諧振2π×540×103×310×10–6I0=UR=QUω0L=150×10–3=142μAf=600KHZ時=4.5μAII0=1+Q2(η–

)2η1=1421+1502(–)2600500500600UL、UC的頻率特性曲線UUL=+Q2(1–)2η21Qη21η2η1η1UC/UUL/UUUC=η2+Q2(η2–1)2Q§9—9并聯(lián)諧振電路一、諧振條件G–jBLjBCUIS|BC–BL|ω=ω=00ω0C=ω0L1ω0=LC1f0=LC12π諧振時:|Y|=G,為最小;|Z|為最大。IR=UICILISU=IS|Z|,最大。IR=IS,IX=0,所以又叫電流諧振,相當于斷路。IL=IC=QISQ=G1LC諧振曲線可以參照對偶關(guān)系按串聯(lián)諧振曲線獲得。二、實際并聯(lián)諧振電路I1I2UISωC1–jjωLUISI1I2G=R2+(ωL)2RBL=R2+(ωL)2ωLG

jBCUIS–jBL

諧振時:|BC–BL|ω=ω=00

R2+(ω0L)2ω0L=ω0Cω0=LC11CR2L–當1CR2L–>0,即R<CL電路發(fā)生并聯(lián)諧振。當1CR2L–<0,即R>CL電路不發(fā)生并聯(lián)諧振。諧振時的輸入導納為R2+(ω0L)2Y(ω0)=G

|ω=ω=0R=CRL例1:L1L2C求：圖示電路的諧振角頻率。解:Y=jωL11+jωL2ωC1–j1=j(

)ωC1–ωL21–ωL11、當ω1C1–ω1L2=0ω1=

時L2C1L2C發(fā)生串聯(lián)諧振。Y

2、當ω2C1–ω2L21–ω2L1=0ω2=時(L1+L2)C1電路發(fā)生并聯(lián)諧振。Y0例2:+–AVUSII2I3jX1jX2–jX3R1R2R3U2US=100V,f=50HZ,