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文檔簡介

2024屆湖南省十四校聯考高三下學期摸底數學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.為虛數單位,則的虛部為()A. B. C. D.2.已知函數,若關于的方程有4個不同的實數根,則實數的取值范圍為()A. B. C. D.3.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.4.若執行如圖所示的程序框圖,則輸出的值是()A. B. C. D.45.已知將函數(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象,若和的圖象都關于對稱,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.6.設為坐標原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A.1 B. C. D.7.已知數列為等差數列,且,則的值為()A. B. C. D.8.數列滿足:,則數列前項的和為A. B. C. D.9.如果實數滿足條件,那么的最大值為()A. B. C. D.10.已知曲線,動點在直線上,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,則直線截圓所得弦長為()A. B.2 C.4 D.11.已知直線過雙曲線C:的左焦點F,且與雙曲線C在第二象限交于點A,若(O為坐標原點),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.12.函數的部分圖象如圖所示,則的單調遞增區間為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知多項式滿足,則_________,__________.14.已知,則的值為______.15.函數在區間內有且僅有兩個零點,則實數的取值范圍是_____.16.設函數,若存在實數m,使得關于x的方程有4個不相等的實根,且這4個根的平方和存在最小值,則實數a的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),直線的參數方程為,(為參數).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求的極坐標方程和的直角坐標方程;(Ⅱ)設分別交于兩點(與原點不重合),求的最小值.18.(12分)設函數.(1)當時,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求實數a的取值范圍.19.(12分)眼保健操是一種眼睛的保健體操,主要是通過按摩眼部穴位,調整眼及頭部的血液循環,調節肌肉,改善眼的疲勞,達到預防近視等眼部疾病的目的.某學校為了調查推廣眼保健操對改善學生視力的效果,在應屆高三的全體800名學生中隨機抽取了100名學生進行視力檢查,并得到如圖的頻率分布直方圖.(1)若直方圖中后三組的頻數成等差數列,試估計全年級視力在5.0以上的人數;(2)為了研究學生的視力與眼保健操是否有關系,對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學生進行了調查,得到下表中數據,根據表中的數據,能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系?(3)在(2)中調查的100名學生中,按照分層抽樣在不近視的學生中抽取8人,進一步調查他們良好的護眼習慣,在這8人中任取2人,記堅持做眼保健操的學生人數為X,求X的分布列和數學期望.附:0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87920.(12分)設函數,.(1)解不等式;(2)若對任意的實數恒成立,求的取值范圍.21.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)過點(0,),且滿足a+b=3.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為的直線與橢圓C交于兩個不同點A,B,點M坐標為(2,1),設直線MA與MB的斜率分別為k1,k2,試問k1+k2是否為定值?并說明理由.22.(10分)在直角坐標系中,直線的參數方程是為參數),曲線的參數方程是為參數),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和曲線的極坐標方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用復數的運算法則計算即可.【題目詳解】,故虛部為.故選:C.【題目點撥】本題考查復數的運算以及復數的概念,注意復數的虛部為,不是,本題為基礎題,也是易錯題.2、C【解題分析】

求導,先求出在單增,在單減,且知設,則方程有4個不同的實數根等價于方程在上有兩個不同的實數根,再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【題目詳解】依題意,,令,解得,,故當時,,當,,且,故方程在上有兩個不同的實數根,故,解得.故選:C.【題目點撥】本題考查確定函數零點或方程根個數.其方法:(1)構造法:構造函數(易求,可解),轉化為確定的零點個數問題求解,利用導數研究該函數的單調性、極值,并確定定義區間端點值的符號(或變化趨勢)等,畫出的圖象草圖,數形結合求解;(2)定理法:先用零點存在性定理判斷函數在某區間上有零點,然后利用導數研究函數的單調性、極值(最值)及區間端點值符號,進而判斷函數在該區間上零點的個數.3、C【解題分析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應選.4、D【解題分析】

模擬程序運行,觀察變量值的變化,得出的變化以4為周期出現,由此可得結論.【題目詳解】;如此循環下去,當時,,此時不滿足,循環結束,輸出的值是4.故選:D.【題目點撥】本題考查程序框圖,考查循環結構.解題時模擬程序運行,觀察變量值的變化,確定程序功能,可得結論.5、B【解題分析】

因為將函數(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象,可得,結合已知,即可求得答案.【題目詳解】將函數(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象,又和的圖象都關于對稱,由,得,,即,又,.故選:B.【題目點撥】本題主要考查了三角函數圖象平移和根據圖象對稱求參數,解題關鍵是掌握三角函數圖象平移的解法和正弦函數圖象的特征,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.6、A【解題分析】

設,因為,得到,利用直線的斜率公式,得到,結合基本不等式,即可求解.【題目詳解】由題意,拋物線的焦點坐標為,設,因為,即線段的中點,所以,所以直線的斜率,當且僅當,即時等號成立,所以直線的斜率的最大值為1.故選:A.【題目點撥】本題主要考查了拋物線的方程及其應用,直線的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的應用,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.7、B【解題分析】

由等差數列的性質和已知可得,即可得到,代入由誘導公式計算可得.【題目詳解】解:由等差數列的性質可得,解得,,故選:B.【題目點撥】本題考查等差數列的下標和公式的應用,涉及三角函數求值,屬于基礎題.8、A【解題分析】分析:通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知,進而可知,利用裂項相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數列前項的和為,故選A.點睛:裂項相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項的方向,突破這一難點的方法是根據式子的結構特點,常見的裂項技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題,導致計算結果錯誤.9、B【解題分析】

解:當直線過點時,最大,故選B10、C【解題分析】

設,根據導數的幾何意義,求出切線斜率,進而得到切線方程,將點坐標代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點為已知圓的圓心,即可求解.【題目詳解】圓可化為.設,則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點,所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點,即直線過圓心,則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【題目點撥】本題考查直線與圓位置關系、直線與拋物線位置關系,拋物線兩切點所在直線求解是解題的關鍵,屬于中檔題.11、B【解題分析】

直線的傾斜角為,易得.設雙曲線C的右焦點為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.12、D【解題分析】

由圖象可以求出周期,得到,根據圖象過點可求,根據正弦型函數的性質求出單調增區間即可.【題目詳解】由圖象知,所以,,又圖象過點,所以,故可取,所以令,解得所以函數的單調遞增區間為故選:.【題目點撥】本題主要考查了三角函數的圖象與性質,利用“五點法”求函數解析式,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】∵多項式滿足∴令,得,則∴∴該多項式的一次項系數為∴∴∴令,得故答案為5,7214、【解題分析】

先求,再根據的范圍求出即可.【題目詳解】由題可知,故.故答案為:.【題目點撥】本題考查分段函數函數值的求解,涉及對數的運算,屬基礎題.15、【解題分析】

對函數零點問題等價轉化,分離參數討論交點個數,數形結合求解.【題目詳解】由題:函數在區間內有且僅有兩個零點,,等價于函數恰有兩個公共點,作出大致圖象:要有兩個交點,即,所以.故答案為:【題目點撥】此題考查函數零點問題,根據函數零點個數求參數的取值范圍,關鍵在于對函數零點問題恰當變形,等價轉化,數形結合求解.16、【解題分析】

先確定關于x的方程當a為何值時有4個不相等的實根,再將這四個根的平方和表示出來,利用函數思想來判斷當a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【題目詳解】由題意,當時,,此時,此時函數在單調遞減,在單調遞增,方程最多2個不相等的實根,舍;當時,函數圖象如下所示:從左到右方程,有4個不相等的實根,依次為,,,,即,由圖可知,故,且,,從而,令,顯然,,要使該式在時有最小值,則對稱軸,解得.綜上所述,實數a的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了函數和方程的知識,但需要一定的邏輯思維能力,屬于較難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)直線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為,的直角坐標方程為;(Ⅱ)2.【解題分析】

(Ⅰ)由定義可直接寫出直線的極坐標方程,對曲線同乘可得:,轉化成直角坐標為;(Ⅱ)分別聯立兩直線和曲線的方程,由得,由得,則,結合三角函數即可求解;【題目詳解】(Ⅰ)直線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為由曲線的極坐標方程得,所以的直角坐標方程為.(Ⅱ)與的極坐標方程聯立得所以.與的極坐標方程聯立得所以.所以.所以當時,取最小值2.【題目點撥】本題考查參數方程與極坐標方程的互化,極坐標方程與直角坐標方程的互化,極坐標中的幾何意義,屬于中檔題18、(1)(2)【解題分析】

(1)利用分段討論法去掉絕對值,結合圖象,從而求得不等式的解集;(2)求出函數的最小值,把問題化為,從而求得的取值范圍.【題目詳解】(1)當時,則所以不等式的解集為.(2)等價于,而,故等價于,所以或,即或,所以實數a的取值范圍為.【題目點撥】本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度一般.19、(1)(2)能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系(3)詳見解析【解題分析】

(1)由題意可計算后三組的頻數的總數,由其成等差數列可得后三組頻數,可得視力在5.0以上的頻率,可得全年級視力在5.0以上的的人數;(2)由題中數據計算的值,對照臨界值表可得答案;(3)由題意可計算出這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人,可得X可取0,1,2,分別計算出其概率,列出分布列,可得其數學期望.【題目詳解】解:(1)由圖可知,第一組有3人,第二組7人,第三組27人,因為后三組的頻數成等差數列,共有(人)所以后三組頻數依次為24,21,18,所以視力在5.0以上的頻率為0.18,故全年級視力在5.0以上的的人數約為人(2),因此能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系.(3)調查的100名學生中不近視的共有24人,從中抽取8人,抽樣比為,這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人,X可取0,1,2,,X的分布列X012PX的數學期望.【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖,獨立性檢測及離散型隨機變量的期望與方差等相關知識,考查學生分析數據與處理數據的能力,屬于中檔題.20、(1);(2)【解題分析】試題分析:(1)將絕對值不等式兩邊平方,化為二次不等式求解.

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