2023年黑龍江省哈爾濱市第三高級職業中學高三數學

理模擬試卷含解析

一、選擇題：本大題共1（）小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.命題“次6艮/+2>+2￡°”的否定是

A.BzeRx*+2X42>0B3xtR,x32x+2i0

C.VxeRx1+2x+2>0D.VxeR〃+2x+2S0

參考答案：

C

略

2.若復數z滿足Q*'X=13+4I［則z的虛部為（）

55

A.5B.2C.2D.-5

參考答案：

C

【分析】

把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案.

【詳解】由（1+i）z=|3+4i|=出'+'=5,

555

得WE亍于,

5

的虛部為2.

故選C.

【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題.

3.閱讀如圖所示程序框圖，運行相應的程序，若輸入>=1,

則輸出的結果為

A.-1B.2C.0D.無法判斷

開我）

7^7

?

（結束）

參考答案:

B

略

29

4.已知A,B分別為雙曲線C：a-b=1（a>0,b>0）的左、右頂點，P是C上一點，

且直線AP,BP的斜率之積為2,則C的離心率為（）

A.MB.Me*V5D.V6

參考答案：

B

【考點】KC：雙曲線的簡單性質.

【分析】利用點P與雙曲線實軸兩頂點連線的斜率之積為2,建立等式，考查雙曲線的方

程，即可確定a,b的關系，從而可求雙曲線的離心率.

【解答】解：設P（x,y）,實軸兩頂點坐標為（土a,0）,則

?.?點P與雙曲線實軸兩頂點連線的斜率之積為2,

yy

/.x+a?x-a=2,

/.a2=2a2+i,

.\b2=2a2,

Ac2=a2+b2=3a%

/.c=V3a,

c

/.e=a=V3,

故選：B.

【點評】本題考查斜率的計算，考查雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔

題.

11

X**_<一

5.設XW』，則“好<1”是“22”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

B

【分析】

分別求解三次不等式和絕對值不等式確定x的取值范圍，然后考查充分性和必要性是否成

立即可.

【詳解】由/<1可得x<l,

由22可得0<工<1,

tI

K——<一

據此可知"1<1”是“22”的必要而不充分條件.

故選：B.

6."力=1"是"直線工一>=°和直線x+叩=°互相垂直"的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

7.a?beR,下列命題正確的是()

A.若a>b,則B.若1。1>瓦則

C.若。工聞，則不治/D.若則/

參考答案：

D

略

8.反復拋擲一枚質地均勻的骰子，每一次拋擲后都記錄下朝上一面的點數，當記

錄有三個不同點數時即停止拋擲，則拋擲五次后恰好停止拋擲的不同記錄結果總數

是()

(A)3bo種(B)840種(c)600種(D)1680種

參考答案：

B

9.已知函數f(x)=2x2-tcosx.若其導函數？(x)在R上單調遞增，則實數t的取值范

圍為()

￡11I

A.[-L-3]B.[-3,3]C.[-1,1]D.[-1,3]

參考答案：

C

【考點】利用導數研究函數的單調性.

【分析】求導數f(x)=x+tsinx,并設g(x)=f(x),并求出g'(x)=l+tcosx,由f

(x)在R上單調遞增即可得出tcosxN-1恒成立，這樣即可求出t的取值范圍.

【解答】解：f(x)=x+tsinx)設g(x)=f(x)；

vf(x)在R上單調遞增；

???g'(x)=l+tcosxNO恒成立;

AtCOSX>-1恒成立；

vcosxEf-1,1］；

???-l<t<l;

???實數t的取值范圍為［-1,1］.

故選：c.

【點評】考查基本初等函數的求導公式，函數的單調性和函數導數符號的關系.

Sg>2

10.如圖在AABC中，在線段A8上任取一點P,恰好滿足S”3的概率是()

C

APB

241

A.3B.9c.9D.3

參考答案：

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

(rf-X2xD*

11.已知K展開式中的常數項為30,則實數

a=.

參考答案：

3

「一%“7『”3■人「?□<：(I)］，

->（\2\v'1

二展開式中的常數項為'

解得?3,故答案為3.

12.已知（4｝是公比為2的等比數列，若%-%=6,則勺=

勺+。2++%=。

參考答案：

13」：（EXA=

參考答案：

【分析】本題考察基本的定積分運算，難度不大，但同樣可以從兩個角度入手，其一就

是常規的定積分運算，其二就是利用定積分的幾何含義進行分析

【解】0

（x+sinxWx-COS(-TT)=0

方法一：仔”"I-傳刖一,故

填0.

方法二：由于定積分性質可知，對于奇函數，若積分對應的區間關于原點對稱，那么積分

的結果一定為0（通過圖像也可以判別），故填0.

14.若對任意xGR,不等式sin2x-Zsin%-m<0恒成立，則m的取值范圍是.

參考答案:

(V2-1,+8)

考點：三角函數的最值.

專題：三角函數的求值.

分析：問題轉化為m>sin2x-2sin2x對任意x￡R恒成立，只需由三角函數求出求

t=sin2x-2sin2x的最大值即可.

解答：解：二?對任意x￡R,不等式sin2x-2sir?x-mVO恒成立，

.*.m>sin2x-2sin2x對任意xER恒成立，

???只需求t=sin2x-2sin2x的最大值，

Vt=sin2x-2sin2x=sin2x-（1-cos2x）

=sin2x+cos2x-l=V2sin（2x+4）-1,

7T_

:.當sin（2x+4）=4時,t取最大值、回-L

??.m的取值范圍為（近-1,+8）

故答案為：（&-1,+8）

點評：本題考查三角函數的最值，涉及恒成立問題和三角函數公式的應用，屬基礎題.

15.已知函數/（X）-夕'有零點，則a的取值范圍是.

參考答案：

（y.21n2-2}

16.下列幾個命題：

①方程/+（a-3）x+a=O有一個正實根，一個負實根，則a<0；

②函數尸=Jx'-l+JTF是偶函數，但不是奇函數；

③設函數丁=/（*）定義域為R,則函數y=/（1-x）與y=/（X-1）的圖象關于尸軸對稱;

④一條曲線和直線>二°?火）的公共點個數是胸，則冽的值不可能是

1.其中正確的有.

參考答案：

①④

17.在2r展開式中，含x的負整數指數塞的項共有項.

參考答案:

4

【分析】

3r

先寫出展開式的通項:由0WW10及52為負整數,可求r的值,

即可求解

機…產同6.1,2...10

要使x的指數為負整數有，=4,6,8,10

故含x的負整數指數幕的項共有4項

故答案為：4

【點睛】本題主要考查了二項展開式的通項的應用，解題的關鍵是根據通項及/■的范圍確

定r的值

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.在數列SJ中，為=1，且對任意的上eN*,e1?如成等比數列，其公比為《上.

(1)若彌=2伏e"),求％+&+%++%1；

4=_!_

(2)若對任意的左6?.,內卜與以1?%.2成等差數列，其公差為＜4,設立一1.

①求證:{%}成等差數列，并指出其公差；

②若K=2,試求數列(4)的前上項和穌.

參考答案：

=4

(1)因為保=2,所以%一，故為.用.05，?生1是首項為1,公比為4的等比數列，

所以

1-41n

4+03+%+==—D

1-43................................

4分

（注：講評時可說明，此時數列SJ也是等比數列，且公比為2）

（2）①因為a*的成等差數列，所以2"I="+%?2,

卬=

a2k=^^-.a3M=aJMqM-+02

而耿，所以外，則

九.....................7分

---1--=^----1s---,-+1---1-----I--=1

得9川-1%-1伍-1所以0川-1%一1即%「%=1

所以3J是等差數列，且公差為

1............................................9分

②因為W=2,所以%=%+2,則由G=lxa廣七+2,解得與=2或

%7.........10分

㈠）當的=2時，％=2,所以4=1,則4=1+a-。）＜1=去，即外-1，得

±+1

敢=~~

k，所以

的切_%+1戶

02H尢，則

心】=皿他”的駕—?….〈『（Hl）?

a2i-l33%尢伏一】）】...12分

。認=言=^F=MZ+D

所以,則4==上+1，故

」..........14分

..---6?=--+(jt-l)xl=t--

(過)當《j=T時，91=7,所以2,則22,即

(*-1)3(*-5)a

一________/41=43-9

__a2Ul叫

aaui-----------”為a-9&-才

aM-l

以=如1=(2上?1)(%-3).

則外，所以4=%1".1=4上-2,從而4=2二.

￡4--------

綜上所述，2或

5=2“................................................16分

22

與+今1(a>b>O)返返

19.已知橢圓C：abz的離心率為2,且過點Q(1,2).

(1)求橢圓C的方程;

(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于A,B兩點，設P點在直線x+y-1=0上，且

滿足水+而=t而(0為坐標原點)，求實數t的最小值.

參考答案：

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程.

專題：綜合題.

22

也^~?+今=1Q(1返)

分析：(1)設橢圓的焦距為2c,由e=2,設橢圓方程為2c/c"，由"''2

22

,+J

2十0-1

在橢圓2czj上，能求出橢圓方程.

'尸k(x-2)

,x22

(2)設AB：y=k(x-2),A(xi,y】)，B(x2,yJ,P(x,y),由2*,

得(l+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,由△=64kl-4(2k2+l)(8k2-2)20,知

「一返返1

kw2'2」，由此入手能夠求出實數t的最小值.

解答：解：(1)設橢圓的焦距為2c,

V2

Ve=2,.-.a2=2c2,b2=c2,

設橢圓方程為2c，c4,

廠22

?；Qa,爭在橢圓會+看工

:.橢圓方程為--2---FV=\1

(2)由題意知直線AB的斜率存在,

設AB：y=k(x-2),A(x“yi)，B(x2,y2),P(x,y)，

'產k(x-2)

?22

Ax?乙_i

由12y-，得(l+2k2)x2-8kx+8k2-2=0,

△=64k'-4(2k2+l)(8k2-2)>0,

k2<-^

Lf

「一返返1

即ke2'2」，

8k28k2-2

Xi+Xo-n，XiXo~n-

”l+2kz/l+2k，

*.*0A+0B=t0P,(Xi+x2.yi+y2)=t(x,y),

當k=0時,t=0；

當two時，

二X1+X2=8k2

X2

"t-t(1+2k),

+y1-4k

產9一(X］+x2)-曲］①(i+2k2),

;點P在直線x+y-1=0±,

8k2_4k-i=o

,-.t(l+2k2)t(l+2k2),

8k2-4k4(k+1)

------4d-------

.?.t=l+2k2l+2k2.

「一返返］

VkG2,2,

k+1_k+1__________1]

.?.令11=1+21￡2-2(k+1)2-4(k+1)+3=2(k+1)+而-2泥-4.

運-1

當且僅當k=2時取等號.

故實數t的最小值為4-4h=2-V6.

點評：本題考查橢圓與直線的位置關系的綜合應用，考查化歸與轉化、分類與整合的數學

思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識.綜合性強，

難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是2015屆高考的重點.解題時要

認真審題，仔細解答.

20.已知直線,經過點尸(LD,傾斜角為儀，設直線/與曲線y2=4x交于點河，”。

71

(1)若儀=弓，求直線？的參數方程和弦MN的長度。

(2)求儼M歸M的最小值及相應的)的值。

參考答案：

略

21.已知函數/卜)"?'」，xe*的圖象在點x=0處的切線為工(。華271828).

(I)求函數/(X)的解析式；

(II)當xeR時，求證:

(ill)若加，＞kx對任意xe(0,+8)恒成立，求k的取值范圍。.

參考答案:

解：(I)/(x)=e*-x2?/*(x)=e*-2x.

f/(0)=1+a=0fa=-I2

由已知tr(o)=i=b[b=l/(x)=e*-x-1...................................4分

(U)令可x)=/(x)+x?-x=-—x-1?0'(x)=--l.由@'(x)=0.得x=0.

當XW(YO,0)時，，(x)<0.奴x)單調遞減;

當xw(0,+8)時，,(x)>0,夕(x)單調遞增..

奴X)1111n二河0)=0，從而/(x)2--+x..................................................8分

(山)/(X)>*X對任意的XW(0,+8)恒成立=3>k對任意的X€(0,+00)恒成立,

X

令8。)=區2,x>0.

x

:.g，(x)_切'(x)-/(x)=Me，_2x)_(e，-x：-])=(x-IX-—x-l)

x1X1~X2

由(II)可知當xe(0,+8)時，e'-x-l>0恒成立.…:...............10分

令g'(x)>0,得x>1；g'(x)<0,得0<x<I.

.,.&(幻的增區間為(|,+8),M區間為(0,l).g(x)~,=g(l)=0.

?,?*<gW?1B=g(l)=0./.實數*的取值范闈為(YO,0).....................14分

略

/(x)=^^+x(aeJI)

22.已知函數、'*'

(1)若函數/(X)的圖象在工="處的切線與y=x平行，求實數。的值；

(2)設°<a?LH小"(耳-2?+(2?-1江求證