4圓周角和圓心角的關系第1課時圓周角定理及其推論1北師版九年級數學下冊第三章圓1.圓心角的定義?頂點在圓心的角叫圓心角.2.圓心角的度數和它所對的弧的度數有何關系?如圖：∠AOB

弧AB的度數＝3.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條___、兩條___中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.復習導入弧弦探究新知頂點在圓心圓心角角頂點發生變化時,我們得到幾種情況?點A在圓內點A在圓上點A在圓外圓周角圓周角定義:

頂點在圓上,并且兩邊分別與圓還有一個交點的角叫做圓周角.指出圖中的圓心角和圓周角.ABOC圓心角：∠AOB、∠AOC、∠BOC圓周角：∠BAC、∠ABC、∠ACB在射門游戲中，球員射中球門的難易程度與他所處的位置B

對球門AC

的張角（∠ABC）有關.ABDECABDEC當球員在B，D，E

處射門時，他所處的位置對球門AC

分別形成三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC.這三個角的大小有什么關系？做一做如圖，∠AOB=80°.（1）請你畫出幾個所對的圓周角，這幾個圓周角有什么關系？與同伴進行交流.提示：思考圓周角和圓心角有幾種不同的位置關系？（2）這些圓周角與圓心角∠AOB的大小有什么關系?C圓心O在∠C一條邊上C圓心O在∠C的內部C圓心O在∠C的外部C圓心O在∠C一條邊上C圓心O在∠C的內部C圓心O在∠C的外部改變圓心角∠AOB的度數，上述結論還成立嗎？議一議C圓心O在∠C一條邊上C圓心O在∠C的內部C圓心O在∠C的外部圓周角定理圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半.先證明哪一種情況？C已知：如圖，∠C

是所對的圓周角，∠AOB

是所對的圓心角.求證：證明：（1）圓心O

在∠C

的一條邊上，如圖.∵∠AOB

是△AOC

的外角，∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C，CC你能完成另兩種情況的證明嗎？C已知：如圖，∠C

是所對的圓周角，∠AOB

是所對的圓心角.求證：提示：能否轉化為前一種已證明的情況?D過點C作直徑CD.由已證可得:C已知：如圖，∠C

是所對的圓周角，∠AOB

是所對的圓心角.求證：提示：能否也轉化為第一種已證明的情況?D過點C作直徑CD.由已證可得:想一想在上面的射門游戲中，當球員在B，D，E

處射門時，所形成三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC

的大小有什么關系？你能用圓周角定理證明你的結論嗎？●

O所以∠ABC

=∠ADC=∠AEC.根據圓周角定理，●

O推論同弧或等弧所對的圓周角相等.隨堂練習1.如圖，已知BD

是⊙O

的直徑，點A、C

在⊙O

上，，∠AOB=60°，則∠BDC

的度數是（）A.20°B.25°C.30°D.40°C60°2.如圖，已知A，B，C

在⊙O

上，為優弧，下列選項中與∠AOB

相等的是（）A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠CA3.如圖，OA，OB，OC

都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC，∠ACB

與∠BAC

的大小有什么關系？為什么？ACBO解：∠ACB=2∠BAC

，而∠AOB=2∠BOC，∴

∠ACB=2∠BAC.4.如圖，在⊙O中，∠O=50°，求∠A的度數.解：∵∠A和∠O所對的弧都是，∴∠A=.5.如圖，哪個角與∠BAC相等？你還能找到哪些相等的角？解：∠BDC=∠BAC，還能找到∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC.課堂小結圓周角定理圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半.推論同弧或等弧所對的圓周角相等.4圓周角和圓心角的關系第2課時圓周角定理的推論2，3北師版九年級數學下冊第三章圓復習導入求圖中角x的度數·AOB70°xx=_____C·OABCD120°xx=_____35°120°圓周角定理圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半.復習導入求圖中角x的度數復習導入求圖中角x的度數·AOB60°xx=_____C·OABCD20°xx=_____D60°EF30°50°復習導入求圖中角x的度數推論同弧或等弧所對的圓周角相等.探究新知如圖，BC

是⊙O

的直徑，它所對的圓周角有什么特點？你能證明你的結論嗎？·OABC解：直徑BC所對的圓周角∠BAC＝90°.證明：∵BC為直徑，

∴∠BOC＝180°，

∴探究新知如圖，圓周角∠A=90°，弦BC

是直徑嗎？為什么？·OABC解：弦BC是直徑.連接OC、OB，∵∠BAC＝90°，∴∠BOC＝2∠BAC＝180°.∴B、O、C三點在同一直線上.∴BC是⊙O的一條直徑.注意：此處不能直接連接BC，思路是先保證過點O，再證三點共線.推論直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.∵BC為直徑，∴∠BAC=90°.幾何語句：∵∠BAC=90°，∴BC為直徑.幾何語句：議一議（1）如圖，A，B，C，D

是⊙O

上的四點，AC為⊙O

的直徑，∠BAD與∠BCD之間有什么關系？為什么？·ODBCA解：∠BAD與∠BCD互補∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD與∠BCD互補.議一議（2）如圖，點C

的位置發生了變化，∠BAD與∠BCD之間關系還成立嗎？為什么？·ODBCA解：∠BAD與∠BCD的關系仍然成立連接OB，OD，則∵∠1+∠2=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD與∠BCD互補.12·ODBCA·ODBCA這兩個四邊形ABCD有什么共同的特點？·ODBCA·ODBCA四邊形ABCD

的四個頂點都在⊙O

上，像這樣的四邊形叫做圓內接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.·ODBCA·ODBCA我們發現∠BAD與∠BCD之間有什么關系？·ODBCA·ODBCA推論圓內接四邊形的對角互補.·ODBCA·ODBCA幾何語句：∵四邊形ABCD為圓內接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°（圓內接四邊形的對角互補）.想一想如圖，∠DCE

是圓內接四邊形ABCD

的一個外角，∠A

與∠DCE

的大小有什么關系？·ODBCAE解：∠A=∠CDE∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°.∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE.隨堂練習1.小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形.下面所示的四種圓弧形，你能判斷哪個是半圓形？為什么？（1）（2）（3）（4）2.如圖，⊙O的直徑AB=10cm，C為⊙O上的一點，∠B=30°，求AC的長.·OBCA解：∵AB為直徑，

∴∠BCA=90°.

在Rt△ABC中，

∠ABC=30°，AB=10，∴.3.在圓內接四邊形ABCD中，