第十一講二次函數

【學習目標】

1.理解掌握二次函數的概念和一般形式.

2.會利用二次函數的概念解決問題.

3.會列二次函數表達式解決實際問題.

【新課講解】

知識點1：二次函數的定義

1.定義：形如y=ax?+bx+c（a,b,c是常數,aW0）的函數叫做二次函數.其中x是自變量，a,b,c分別是二次

項系數、一次項系數和常數項.

2.一般形式:y=ax2+bx+c（aWO,a,b,c是常數）

說明：

（1）等號左邊是變量y,右邊是關于自變量x的整式；

（2）a,b,c為常數，且ar0;

（3）等式的右邊最高次數為2,可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項.

3.方法技巧：判斷一個函數是不是二次函數，先看原函數和整理化簡后的形式再作判斷.除此之外，二次函

數除有一般形式y=ax2+bx+c（aW0）外，還有其特殊形式如y=ax；y=ax°+bx,y=ax%c等.

知識點2：二次函數定義的應用

【例題11函數

y=（〃7+3）/-7.

（l）m取什么值時，此函數是正比例函數？

（2）m取什么值時，此函數是二次函數？

【答案】見解析。

【解析】（1）由題可知

Jni2-7=1,

解得m=±2g

[+3關0,

(2)由題可知

-7=2,

解得m=3.

m+30,

【例題2】某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，第1檔次(最低檔次)的產品一天能生產95件，每

件利潤6元.每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少5件.

(1)若生產第x檔次的產品一天的總利潤為y元(其中x為正整數，且1WxW10),求y關于x的函數關系式;

(2)若生產第x檔次的產品一天的總利潤為1120元，求該產品的質量檔次.

【答案】見解析。

【解析】(1)???第一檔次的產品一天能生產95件，每件利潤6元，每提高一個檔次，每件利潤加2元，

但一天產量減少5件，

...第x檔次，提高了(x—l)檔，利潤增加了2(x-l)元.

?,.y=[6+2(x-l)][95-5(x-l)](

即y=-10x2+180x+400(其中x是正整數，且IWxWlO)：

(2)由題意可得-10X2+180X+400=U20,

整理得X2-18X+72=0,

解得xi=6,X2=12(舍去).

所以，該產品的質量檔次為第6檔.

知識點3：二次函數的值

此類型題考查二次函數的概念，要抓住二次項系數不為0及自變量指數為2這兩個關鍵條件，求出字

母參數的值，得到函數解析式，再用代入法將x的值代入其中，求出y的值.

【例題3】若函數

y=(a_4)x"-3a-2+0是二次函數，求：

(1)求a的值.

(2)求函數關系式.

(3)當x=-2時，y的值是多少？

【答案】見解析。

【解析】(1)由題意，得

<a-3a-2=2,

a—4H0,

解得a=-l

(2)當a=T時，函數關系式為

y二(-1-4)F-1=-5/-1.

(3)將x=-2代入函數關系式中，有

J；=-5X(-2)2-1=-21.|

二次函數過關檢測

注意：滿分100分，答題時間60分鐘

一、單選題(每個小題4分，共32分)

1.下列函數中，屬于二次函數的是()

A.y=x-3B.y=x2-(x+1)2C.y=%(x-l)-lD.y=\

x-

【答案】C

【解析】本題主要考查了二次函數的定義，關鍵是掌握二次函數的定義條件：

二次函數丁=改2+法+。的定義條件是：a、b、c為常數，a#),自變量最高次數為2.

根據一次函數、反比例函數、二次函數的定義判斷各選項即可得出答案.

A.y=x-3是一次函數，故本題選項錯誤；

B.y=x2-(x+1)2=-2x-1,是一次函數，故本題選項錯誤；

C.y=x(x-l)-\=x2-x-l,是二次函數，故本題選項正確；

D.y=-V是反比例函數，故本題選項錯誤.

x

2.若函數y=(a2+a)/*+2尤+加是關于x二次函數，則a的值為()

A.±1B.1C.-1D.1或0

【答案】B

【解析】判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化

簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件.

???函數y=(，+°廿+】+2x+m是關于X二次函數，

?**ci~+tzT5011.1^|+1=2,

解得：a=\,

3.如果函數y=(m—2)JT「2+2X—7是二次函數，則加的取值范圍是()

A.機=±2B.m=2C.in=-2D.m為全體實數

【答案】C

【解析】此題主要考查了二次函數定義，關鍵是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，aWO）的函數，叫

做二次函數.

根據二次函數定義可得m-2W0,m2一2=2,再解即可.

由題意得：m-2￥0,加2一2=2，

解得：m=-2

4.已知函數：（1）y—2x-1；@y--Zr2-1；③y=3『-2A2；（4）y=2x1-x-1；?y—a^+bx+c,其中二次

函數的個數為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】根據二次函數定義：一般地，形如.丫=蘇+隊+。（a、b、C?是常數，4#0）的函數，叫做二次函數

進行分析即可.②④是二次函數，共2個，

5.下列各式中，一定是二次函數的有（）

（T）y2=2x2-4x+3；②y=4-3x+7）；③尸去―3x+5；④y=⑵-3）（3x-2）；（5）y=ax2'+bx+c；?y=

（n2+1）J?-2x-3；（7）y=m2x^+4x-3.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】①y2=2?-4x+3,不符合二次函數的定義，不是二次函數；

②y=4-3x+7），是二次函數；

@y=-3.X+5,分母中含有自變量，不是二次函數；

④丫二（2r-3）（3x-2）=6,-13x+6,是二次函數；

（S）y=ax2-+bx+c,含有四個自變量，不是二次函數；

⑥產（/+］）/-2”3,含有兩個自變量，不是二次函數；

⑦y=〃?2，+4x-3,含有兩個自變量，不一定是二次函數.

只有②④一定是二次函數.

6.二次函數y=2x2-6x-9的二次項系數、一次項系數、常數項分別為（）

A.6,2,9B.2,-6,9C.2,6,9D.2,-6,-9

【答案】D

【解析】本題考查了二次函數的一般形式，屬于基礎題，熟知二次函數的一般形式是解題的關鍵.

根據二次函數的標準形式即可得到答案.

二次函數y=2x2-6x-9的二次項系數、一次項系數、常數項分別為2,-6,9

7.當x=l或-3時，代數式與加v+〃的值相等，則函數(b-x+c-"與x軸的交點

為()

A.(1,0)和(-3,0)B.(-1,0)

C.(3,0)D.(-1,0)和(3,0)

【答案】A

【解析】代數式一+歷什。與“！%+"的值相等，即/+歷^^^加什"，則ad+(b-m)x+c-n=0,

則y=a/+(/>-/?)x+c-”與x軸的交點為(1,0)和(-3,0)。

8.如圖是王阿姨晚飯后步行的路程s(單位：加)與時間r(單位：min)的函數圖象，其中曲線段AB是以

B.線段。的函數解析式為s=32r+400(25WW50)

C.5min^-20min,王阿姨步行速度由慢到快

D.曲線段A8的函數解析式為s=-3(r-20)2+1200(5WfW20)

【答案】C

【解析】根據函數圖象中的信息，利用數形結合及求相關線段的解析式解答即可.

A.25min?50/n/n,王阿姨步行的路程為2000-1200=800”故A沒錯；

B.設線段CD的函數解析式為s=kt+b,

把(25,1200),(50,2000)代入得，藍

12000=50k

解得：[ft：loo'

...線段CO的函數解析式為s=32f+400(25WfW50),故8沒錯；

5251200-525675

C.在4點的速度為=]05m/min,在B點的速度為---------==45m/min,故C錯誤；

520-515

D.當f=20時,由圖象可得s=1200m,將f=20代入s=-3(f-20)2+1200(50W20)得s=1200.

二、填空題(每空4分，共24分)

9.二次函數？=初此『-2有最低點，則m=

【答案】2

【解析】根據函數為二次函數求出例再根據函數有最低點，確定加取值范圍，進而求出加即可.

???函數y=是二次函數，

二機2—2=2，m—+2,>

?.,二次函數有最低點，..."AO,m=2.

10.若y=(機2+機)，"2-2,"-1_x+3是關于X的二次函數，則m=.

【答案】3

【解析】根據二次函數的定義求解即可.

由題意，得

nr-2m-1=2,且m2+m^0,

解得，"=3

11.若函數y=(機-2)"訓+1(陽是常數)是二次函數，則加的值是.

【答案】-2

【解析】根據二次函數的定義解答.

由題意知，777-2^0n.|wj=2,

解得：m=~2

12.若y=伏+1)/*—2是關于x的二次函數，則人的值為.

【答案】2

【解析】根據二次函數的定義解答.

>=(4+1)/2-<:一2是關于大的二次函數,

女+lwO

a-k=2'

解得：k=2

13.已知長方形的周長為16cm,其中一邊長為xcm,面積為ycm2，則這個長方形的面積y與x之間的

關系可表示為

【答案】y=—/+8x

【解析】：矩形周長為16cm

兩鄰邊之和為

；.若?邊長為XC7J1,則另一邊長為（8-x）an；面積為yc-

,y=x（8-x）即y=-x2+8x.

14.某種商品每件進價為20元，調查表明：在某段時間內，若以每件x元（20WxW40,且x為整數）出售,

可賣出（40-%）件，若要使利潤最大，則每件商品的售價應為元.

【答案】30

【解析】設商品所獲利潤為w元，由題意得：

w=（x-20）（40-x）

=-7+60x-800

=-<X-30）2+100,

?.?二次項系數-IVO,20WxW40,且x為整數，

...當x=30時，w?取得最大值，最大值為100元.

.??每件商品的售價應為3。元.

三、解答題（共44分）

15.（6分）當m為何值時，函數丁=（加+1）》",-2，"7+8%—1是二次函數.

【答案】m=3

【解析】?.?函數y=（m+l）x'"J2m-i+8x—1是二次函數

/%+1w0

irr-2m-1=2

解得:m=3

即當m=3時，函數y=（加+1）--24+8》_1是二次函數.

16.（8分）已知函數y=（加2一〃?）%2+（相一］）》+根+1.

（1）當機為何值時，這個函數是關于x的一次函數；

（2）當“為何值時，這個函數是關于x的二次函數.

【答案】（1）加=0；（2）加。1且m/0.

【解析】本題考查一次函數和二次函數的定義，掌握一次函數的一次項系數不能為0成為解題的關鍵.

（1）;?函數y=（〃/+（加一l）x+〃z+l是一次函數，

-2

m一〃2二0

???〈，解得：m=0.

m-1^0

即當根=0時，這個函數是關于1的一次函數.

（2）函數y=（〃，-mjx2+（加-l）x+/n+l是二次函數，

m2-m0>解得：〃2。1且/德。0.

即當機。1且加時，這個函數是關于x的二次函數.

17.（8分）一個二次函數y=（k-1）X*2-3?+4+2X-1.

（1）求k值.

（2）求當x=0.5時y的值？

【答案】（Dk=2；（2）y=-

4

【解析】（1）根據二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a#0）的函數，叫做二次

函數可得k?-3k+4=2,且k-l#）,再解即可;

（2）根據（1）中k的值，可得函數解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值.

解：（1）由題意得：k2-3k+4=2,且k-1#）,

解得:k=2；

kl3k+42

（2）把k=2代入y=（k-1）x~+2x-1得:y=x+2x-1,

當x=0.5時，y=—.

4

【點睛】此題主要考查了二次函數以及求函數值，關鍵是掌握判斷函數是否是二次函數，要抓住二次項系

數不為0和自變量指數為2這個關鍵條件.

18.（10分）廣場上噴水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上的水珠高度>（米）關

3

于水珠與噴頭的水平距離X(米)的函數解析式是：y=-/x2+6x(0WxW4),請求出當水珠的高度達到

最大時，水珠與噴頭的水平距離是多少？最大高度是多少？

【答案】2米：6米.

【解析】根據題目所給的函數解析式，用配方法求出當x等于何值時函數有最大值以及最大值是多少.

由題意得，y=_：*2+6彳=一1(%2-4xj=--1(x-2)"+6,

又因為0WxW4,所以當x=2時，ymax=6,

答：當水珠的高度達到最大時，水珠與噴頭的水平距離是2米，最大高度是6米.

19.(12分)有一塊矩形地塊ABC。，AB=20米，BC=30米.為美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，

將矩形ABCD分割成四個等腰梯形及一個矩形，其中梯形的高相等，均