1.1.2空間向量的數量積運算A級——基礎過關練1.在正方體ABCDA′B′C′D′中，〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉＝ ()A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】D【解析】連接BD，A′D，因為B′D′∥BD，△A′BD為正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夾角的定義可知〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°，即〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉＝120°.故選D.2.若O是△ABC所在平面內一點，且滿足(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，則△ABC一定是 ()A.直角三角形 B.斜三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】∵eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.∴BC⊥AC.∴△ABC一定是直角三角形.故選A.3.已知在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以A為頂點的三條棱長都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對角線AC1的長為 ()A.6 B.eq\r(6) C.3 D.eq\r(3)【答案】B【解析】如圖，由題意可知eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的長為eq\r(6).故選B.4.已知a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a與b所成的角是 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1.∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2×1)＝eq\f(1,2).∵異面直線所成的角是銳角或直角，∴a與b所成的角是60°.故選C.5.設a，b，c為非零向量，則(a·b)·c ()A.是三個向量的數量積 B.是與a共線的向量C.是與c共線的向量 D.無意義【答案】C【解析】由a，b，c為非零向量可得a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))·cos〈a，b〉，顯然a·b為數量，設為t，則(a·b)·c＝tc，即有(a·b)·c是與c共線的向量，故A，B，D均錯誤，C正確.故選C.6.已知非零向量b在非零向量a方向上的投影為零，則向量a，b的關系是 ()A.a∥b B.a⊥bC.a與b相交 D.a與b重合【答案】B【解析】非零向量b在非零向量a方向上的投影為|b|·cos〈a，b〉＝0，又因為b≠0，故|b|≠0.所以有cos〈a，b〉＝0，得〈a，b〉＝eq\f(π,2)，故a⊥b.故選B.7.(多選)(2023年邢臺月考)下列關于數量積的運算正確的是 ()A.|a·b|＝|a|·|b| B.|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)C.(a·b)·c＝a·(b·c) D.(a＋b)·c＝a·c＋b·c【答案】BD【解析】對于A選項，|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|，故A錯誤；對于B選項，|a－b|＝eq\r((a－b)2)＝eq\r(a2－2·a·b＋b2)，故B正確；對于C選項，(a·b)·c與c共線，a·(b·c)與a共線，故C錯誤；對于D選項，由數量積的運算律知(a＋b)·c＝a·c＋b·c，故D正確.故選BD.8.如圖，在?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，則線段PC的長為________.【答案】7【解析】因為PA⊥平面ABCD，AD，DC?平面ABCD，故PA⊥AD，PA⊥DC.又因為eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋2eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos120°＝61－12＝49，所以|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝7，即PC的長為7.9.如圖，在四面體ABCD中，每條邊的長度和兩條對角線的長度都等于1，M，N分別是AB，AD的中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝________.【答案】－eq\f(1,4)【解析】eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq\f(1,4).10.如圖，已知正四面體OABC的棱長為1，求：(1)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))；(2)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|.解：(1)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(2)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r((\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)))2)＝eq\r(\o(OA,\s\up6(→))2＋\o(OB,\s\up6(→))2＋\o(OC,\s\up6(→))2＋2(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))＋\o(OA,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))))＝eq\r(12＋12＋12＋2(1×1×cos60°)×3)＝eq\r(6).B級——能力提升練11.已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，a與b的夾角為135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，若m⊥n，則λ＝ ()A.－1 B.－eq\f(3,2) C.－2 D.1【答案】B【解析】m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×3eq\r(2)×4×cos135°＋3eq\r(2)×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ.因為m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－eq\f(3,2).12.(多選)如圖，在四面體ABCD中，各棱長均為a，E，F，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數量積等于a2的是 ()A.2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)) B.2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→)) C.2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→)) D.2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】BD【解析】依題意，四面體ABCD是正四面體，對于A，〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝120°，2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a2cos120°＝－a2，A不是；對于B，〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝60°，2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝2a2cos60°＝a2，B是；對于C，因為E，F是AB，AD的中點，則2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，而〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))〉＝120°，2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝a2cos120°＝－eq\f(1,2)a2，C不是；對于D，因為F，G是AD，DC的中點，則2eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2＝a2，D是.故選BD.13.在正方體ABCDA1B1C1D1中，下面給出命題：①|eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))|2＝3|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為60°；④此正方體體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|.其中錯誤命題的序號是__________.【答案】③④【解析】①因為|eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))|＝|eq\o(A1C,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|，故①正確；②因為eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))2＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))·eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))·eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))2＝0，故②正確；③AD1與A1B兩異面直線的夾角為60°，但eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為120°；④因為eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，故④錯誤，正確的應是|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AA1,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|.14.已知兩個單位向量a，b的夾角為60°.(1)若c＝λa＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(λ2,2)))b(λ∈R)，且b·c＝0，則λ的值為________；(2)向量a＋b在b方向上的投影數量為________.【答案】(1)－2或3(2)eq\f(3,2)【解析】(1)b·c＝λa·b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(λ2,2)))b2＝λcos60°＋3－eq\f(λ2,2)＝eq\f(－λ2＋λ＋6,2)＝0，所以λ＝－2或λ＝3.(2)向量a＋b在b方向上的投影數量為eq\f((a＋b)·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(\f(1,2)＋1,1)＝eq\f(3,2).15.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝eq\r(2).設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.(1)試用a，b，c表示向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD1,\s\up6(→))；(2)若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求直線AC與BD1所成的角.解：(1)由向量的加減運算法則知