第第頁2023-2024學年六年級數學上冊典型例題系列期末典例專練14：比的應用綜合（求比與按比例分配問題）“拓展版”一、填空題。1．有若干名教師和醫生，他們的平均年齡為40歲，其中教師的平均年齡為35歲，醫生的平均年齡為50歲，教師人數與醫生人數的比是()。【答案】2∶1【分析】首先假設教師人數為x人，醫生人數為y，根據教師和醫生的平均年齡為40歲，則醫生和教師的總年齡歲數是40×（x＋y）；根據其中教師的平均年齡為35歲，醫生的平均年齡為50歲，則教師和醫生總年齡歲數是35x＋50y，這兩種方式計算教師和醫生的總年齡歲數值相等的，解得x∶y即為所求值。【詳解】解：設教師人數為x人，醫生人數為y，40×（x＋y）＝35×x＋50×y40x＋40y＝35x＋50y40x－35x＝50y－40y5x＝10y5x÷5＝10y÷5x＝2y即教師人數的醫生人數的2倍，所以教師人數與醫生人數的比是2∶1。【點睛】解決本題的關鍵是找到滿足條件的等量關系式，進而列出方程求解。2．修一條路，甲隊單獨修要6天完成，乙隊獨修要10天完成，甲、乙兩隊工作效率的比是()∶()。兩隊合修，完工時甲隊修了這條路的()。【答案】53【分析】把修這條路的工作總量看作單位“1”，根據“工作效率＝工作總量÷工作時間”，分別求出甲、乙兩隊的工作效率，根據比的意義，寫出甲、乙兩隊工作效率的比，并化簡比；兩隊合修，根據“合作工時＝工作總量÷合作工效”，求出兩隊合修的天數，再用甲隊的工作效率乘合修的天數，即可求出完工時甲隊修了這條路的幾分之幾。【詳解】1÷6＝1÷10＝∶＝（×30）∶（×30）＝5∶3甲、乙兩隊工作效率的比是5∶3。1÷（＋）＝1÷（＋）＝1÷＝（天）×＝兩隊合修，完工時甲隊修了這條路的。【點睛】本題考查工程問題，掌握工作效率、工作時間、工作總量之間的關系是解題的關鍵。3．平行四邊形的面積是32cm2（如圖），甲、乙底邊的比是3∶2，甲、乙、丙的面積比是()，其中乙三角形的面積是()cm2。【答案】3∶2∶56.4【分析】已知甲、乙底邊的比是3∶2，且甲、乙兩個三角形的高相等，根據三角形的面積＝底×高÷2，得出甲、乙的面積比等于它們的底邊比3∶2，即甲的面積占3份，乙的面積占2份，一共是（3＋2）份；從圖中可知，甲、乙的面積之和等于丙的面積，則丙的面積是（3＋2）份；根據比的意義，寫出甲、乙、丙的面積比是3∶2∶5；從圖中可知，甲、乙、丙三個三角形的面積相加等于平行四邊形的面積32cm2，乙的面積占面積之和的，根據求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算，即可求出乙的面積。【詳解】3∶2∶（3＋2）＝3∶2∶532×＝6.4（cm2）甲、乙、丙的面積比是3∶2∶5，其中乙三角形的面積是6.4cm2。【點睛】本題考查比的意義以及按比分配問題，結合圖形中三個三角形與平行四邊形面積之間的關系，求出甲、乙、丙的面積比；再運用按比分配的解答方法，得出乙占總面積的幾分之幾，根據分數乘法的意義解答。4．兩只蝸牛在比賽爬行（如圖所示，單位cm），甲爬外面的路線花了6分鐘，乙爬里面的路線花了5分鐘。甲、乙蝸牛爬行的路程比是()∶()，甲蝸牛的速度是乙蝸牛的()。【答案】11【分析】（1）觀察圖形可知，甲爬外面的路線是一個直徑為（2＋4）cm的圓周長的一半，乙爬里面的路線是直徑為2cm和直徑為4cm的兩個圓周長的一半之和；根據圓的周長公式C＝πd，代入數據計算，分別求出甲、乙蝸牛爬行的路程，再根據比的意義寫出它們的比，并化簡比；（2）由上一題可知，甲、乙蝸牛爬行的路程相等，把它們爬行的路程看作單位“1”，根據“速度＝路程÷時間”，分別求出甲、乙蝸牛爬行的速度，再用甲蝸牛的速度除以乙蝸牛的速度，即可求出甲蝸牛的速度是乙蝸牛的幾分之幾。【詳解】（1）甲蝸牛爬行的路程：3.14×（2＋4）÷2＝3.14×6÷2＝18.84÷2＝9.42（cm）乙蝸牛爬行的路程：3.14×2÷2＋3.14×4÷2＝6.28÷2＋12.56÷2＝3.14＋6.28＝9.42（cm）9.42∶9.42＝1∶1甲、乙蝸牛爬行的路程比是1∶1。（2）甲蝸牛的速度：1÷6＝乙蝸牛的速度：1÷5＝÷＝×5＝甲蝸牛的速度是乙蝸牛的。【點睛】（1）先根據圓的周長公式求出甲、乙蝸牛的路程，再根據比的意義以及化簡比解答；（2）先根據速度、時間、路程之間的關系得出甲、乙蝸牛的速度，再根據求一個數是另一個數的幾分之分，用除法計算。5．甲乙兩數的比是1∶3，如果甲減少2后，甲與乙的比是1∶5，甲數原來是()。【答案】5【分析】由原來甲乙兩數的比是1∶3，可知甲是乙的，再根據甲減去2后，甲與乙的比是1∶5，可知現在甲是乙的，那么2對應的分率就是乙的（－），除法計算先求得乙數，進而求得甲數。【詳解】2÷（－）＝2÷（－）＝2÷＝1515×＝5【點睛】解答此題關鍵是先求出具體的數量2對應的乙數的分率，先求得乙數，進而求得甲數。6．一杯糖水中糖占糖水的，如果加入20克糖后，糖與水的比是3∶17，原來有糖水()克。【答案】340【分析】根據題意，原來糖占糖水的，可知原來糖與水的比是1∶（10－1）＝1∶9，加入糖后，糖與水的比是3∶17，因為水的重量沒變，份數應相同，所以1∶9＝17∶153，3∶17＝27∶153，20克糖對應的份數是：27－17＝10份，求出一份的數量，再乘原來的總份數（17＋153）即可；據此解答。【詳解】根據分析，1∶（10－1）＝1∶9＝17∶1533∶17＝27∶15320÷（27－17）＝20÷10＝2（克）2×（17＋153）＝2×170＝340（克）所以，原來有糖水340克。【點睛】此題考查了比與分數的轉換應用，關鍵能夠結合條件找出出一份的數量再求原來的總數。7．甲倉庫存糧70噸，乙倉庫存糧80噸，從甲倉庫運出()噸給乙倉庫，才能使甲、乙倉庫糧食的質量比是1∶2。【答案】20【分析】把兩個倉庫存糧的總噸數看作單位“1”，從甲倉庫運出若干噸給乙倉庫后，甲、乙倉庫糧食的質量比是1∶2，即后來甲倉庫存糧噸數占總噸數的，根據求一個數的幾分之幾是多少，用總噸數乘，即可求出后來甲倉庫存糧噸數，再用原來甲倉庫存糧噸數減去后來的噸數，即可求解。【詳解】（70＋80）×＝150×＝50（噸）70－50＝20（噸）從甲倉庫運出20噸給乙倉庫，才能使甲、乙倉庫糧食的質量比是1∶2。【點睛】抓住兩個倉庫存糧總噸數不變，看作單位“1”，把比轉化成分數，單位“1”已知，根據分數乘法的意義求出后來甲倉庫存糧噸數是解題的關鍵。8．有三個袋子（分別為一號袋、二號袋、三號袋）共裝了118個球，其中一號袋球的數量與二號袋的數量比是3∶4，二號袋球的數量與三號袋的數量比是5∶6，一號袋球有()個，二號袋球有()個，三號袋球有()個。【答案】304048【分析】（1）求出三個袋子里球的數量的連比。因為題目中的兩個比都與二號袋的數量有關，4和5的最小公倍數是20，所以把3∶4化為15∶20，5∶6化為20∶24，即一號袋球的數量∶二號袋球的數量∶三號袋球的數量＝15∶20∶24。（2）把118個按15∶20∶24分配。先求出總份數；再求出每份有多少個球；最后求出15份、20份和24份各有多少個球。【詳解】3∶4＝（3×5）∶（4×5）＝15∶205∶6＝（5×4）∶（6×4）＝20∶24一號袋球的數量∶二號袋球的數量∶三號袋球的數量＝15∶20∶2415＋20＋24＝59（份）118÷59＝2（個）一號袋球的數量：2×15＝30（個）二號袋球的數量：2×20＝40（個）三號袋球的數量：2×24＝48（個）所以一號袋球有30個，二號袋球有40個，三號袋球有48個。【點睛】解決此題的關鍵是找到三個數的連比。9．某超市有一批大米，第一天賣出，第二天賣出1噸，這時剩下的正好是賣出的。原來這批大米一共有()噸。【答案】2【分析】剩下的正好是賣出的，即剩下的與賣出的比是1∶5，所以剩下的占這批大米的。原來這批大米的總質量是單位“1”，求原來這批大米的總質量，求單位“1”用除法解答，即已知量÷已知量所對應的分率＝單位“1”的量。1噸所對應的分率是1－－，所以列式為1÷（1－－）。【詳解】1÷（1－－）＝1÷（－）＝1÷（－）＝1÷＝1÷＝1×2＝2（噸）所以原來這批大米一共有2噸。【點睛】根據分數與比的關系，解決較復雜的實際問題時分數和比可以互相轉化。10．如圖，小紅和小麗兩個小朋友在一塊正方形地上玩游戲。小紅在A點，小麗在C點，她們同時出發，在距離D點3.5米處的E點相遇。已知小紅和小麗的速度比是，這個正方形的周長是()米。【答案】84【分析】根據題意，已知小紅和小麗的速度比是，設小紅行了兩條邊長之和的，小麗行了兩條邊長之和的，在距離D點3.5米處的點相遇，小紅比小麗多行了米，所對應的分率是，根據分數除法的意義，即可得出長和寬，再進一步解答即可。【詳解】（米）（米）【點睛】此題主要考查按比例分配應用題的特點：已知兩個數的比（三個數的比），兩個數的和（三個數的和），求這兩個數（三個數），用按比例分配解答。二、解答題。11．修路隊要修一條長600米的公路，已經修好了全長的，剩余的任務按分給甲、乙兩個修路隊，甲修路隊要修多少米？【答案】250米【分析】將公路全長看作單位“1”，已經修好了全長的，剩下全長的（1－），公路全長×剩下的對應分率＝剩余長度，剩余長度÷總份數＝一份數，一份數乘甲修路隊對應份數，即可求出甲修路隊要修的長度。【詳解】600×（1－）＝600×＝450（米）450÷（5＋4）×5＝450÷9×5＝250（米）答：甲修路隊要修250米。【點睛】關鍵是確定單位“1”，理解分數乘法和比的意義。12．某種混合肥由氮肥、磷肥、鉀肥按7∶5∶3的比例配制而成。如果每公頃土地施用這種混合肥90千克，施用20公頃土地需要氮肥、磷肥、鉀肥各多少千克？【答案】氮肥840千克；磷肥600千克；鉀肥360千克【分析】先用乘法求出施用20公頃土地需要混合肥的質量，氮肥質量占混合肥質量的，磷肥質量占混合肥質量的，鉀肥質量占混合肥質量的，最后用分數乘法求出三種肥料各多少千克，據此解答。【詳解】90×20＝1800（千克）氮肥：1800×＝1800×＝840（千克）磷肥：1800×＝1800×＝600（千克）鉀肥：1800×＝1800×＝360（千克）答：施用20公頃土地需要氮肥840千克，磷肥600千克，鉀肥360千克。【點睛】掌握按比例分配問題的解題方法是解答題目的關鍵。13．一個長方體的棱長總和是168厘米，長、寬、高的比是，求這個長方體的表面積。【答案】1008平方厘米【分析】棱長總和÷4＝長寬高的和，長寬高的和÷總份數，求出一份數，一份數分別乘長、寬、高對應份數，求出長、寬、高，根據長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，列式解答即可。【詳解】168÷4÷（4＋2＋1）＝42÷7＝6（厘米）6×4＝24（厘米）6×2＝12（厘米）6×1＝6（厘米）（24×12＋24×6＋12×6）×2＝（288＋144＋72）×2＝504×2＝1008（平方厘米）答：這個長方體的表面積是1008平方厘米。【點睛】關鍵是掌握并靈活運用長方體棱長總和公式和長方體表面積公式，理解比的意義。14．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，相向而行，相遇點距中點320米。已知甲的速度是乙速度的，甲每分鐘行800米。求A、B兩地的路程？【答案】7040米【分析】把兩地之間的總路程看作單位“1”，甲、乙兩車的行駛時間相同，則兩車的路程比等于速度比，甲、乙兩車行駛的路程比為5∶6，相遇時甲車行駛的路程占總路程的，乙車行駛的路程占總路程的，相遇點距中點320米，那么相遇時乙車比甲車多行駛（320×2）米，根據量÷對應的分率＝單位“1”求出總路程，據此解答。【詳解】320×2÷（－）＝320×2÷（－）＝320×2÷＝640÷＝640×11＝7040（米）答：A、B兩地的路程是7040米。【點睛】理解相同時間內路程比等于速度比，并找出量和對應的分率是解答題目的關鍵。15．漢服是傳承四千多年的傳統民族服裝，以清淡平易為主，講究天人合一。某服裝廠生產一批漢服，生產20天，已完成的與未完成的套數比是1∶2。如果再生產600套，已完成的比未完成的少，這批漢服有多少套？【答案】9000套【分析】設這批漢服一共有x套，已完成的與未完成的套數比是1∶2，則已完成占總套數的，未完成的占總套數的，所以已完成的套數是x×套，未完成的套數是x×套；如果再生產600套，已完成的套數加600套，未完成的套數減去600套，再根據等量關系：已完成的套數＝未完成的套數×（1－），列方程解答即可。【詳解】解：設這批漢服有x套，x×＋600＝（x×－600）×（1－）x＋600＝（x－600）×x＋600＝x×－600×x＋600＝x－400600＋400＝x－x1000＝x－xx＝1000x＝1000÷x＝1000×9x＝9000答：這批漢服有9000套。【點睛】此題的解題關鍵是根據比的應用，把這批漢服的總套數設為未知數x，找出題中數量間的相等關系，列出包含x的等式，解方程得到最終的結果。16．東方學校花繩隊原來女生和男生的人數比是2∶1，后來又加入了6名男生，現在男生人數是總人數的。現在花繩隊有男生多少人？【答案】16人【分析】根據題意，原來女生和男生的人數比是2∶1可知，原來男生人數占總人數的；后來又加入了6名男生，現在男生人數是總人數的；據此得出等量關系：原來的總人數×＋后來又加入的男生人數＝現在的總人數×，據此列出方程，并求解，求出原來的總人數；用原來的總人數乘，求出原來男生人數，再加上6，即可求出現在男生人數。【詳解】解：設東方學校花繩隊原來有人。現在男生有：（人）答：現在花繩隊有男生16人。【點睛】本題考查列方程解決問題，從題目中找到等量關系，按等量關系列出方程。17．張麗三天看完一本小說，第一天看了全書的，第二天看的與第一天看的頁數的比是6∶5。第三天看了72頁。這本書共有多少頁？【答案】160頁【分析】已知第一天看了全書的，第二天看的與第一天看的頁數的比是6∶5，即第二天看的頁數是第一天的，根據求一個數的幾分之幾是多少，用×＝，求出第二天看了全書的；把這本書的總頁數看作單位“1”，根據減法的意義，用“1”分別減去第一天、第二天看的頁數占總頁數的分率，求出第三天看的頁數占總頁數的（1－－），也就是72頁占總頁數的（1－－），單位“1”未知，用除以計算，即可求出這本書的總頁數。【詳解】×＝72÷（1－－）＝72÷（－）＝72÷（－）＝72÷＝72×＝160（頁）答：這本書共有160頁。【點睛】先把比轉化成分數，然后根據分數乘法的意義求出第二天看的頁數占全書的幾分之幾，再把這本書的總頁數看作單位“1”，單位“1”未知，找出72頁占總頁數的分率，根據分數除法的意義列式計算即可得解。18．學校運動會上，五（1）班共獲獎牌34枚，其中金牌和銀牌的數量比是1∶3，銀牌和銅牌的數量比是2∶3，五（1）班金、銀、銅牌各獲得多少枚？【答案】金牌4枚；銀牌12枚；銅牌18枚【分析】根據題意，金牌和銀牌的數量比是1∶3，銀牌和銅牌的數量比是2∶3，求出金牌∶銀牌∶銅牌＝2∶6∶9，即一共是（2＋6＋9）份；用五（1）班共獲獎牌的總數除以總份數，求出一份數，再用一份數分別乘金、銀、銅牌的份數，即可求出金、銀、銅牌的數量。【詳解】金牌∶銀牌＝1∶3＝（1×2）∶（3×2）＝2∶6銀牌∶銅牌＝2∶3＝（2×3）∶（3×3）＝6∶9金牌∶銀牌∶銅牌＝2∶6∶9一份數：34÷（2＋6＋9）＝34÷17＝2（枚）金牌：2×2＝4（枚）銀牌：2×6＝12（枚）銅牌：2×9＝18（枚）答：五（1）班獲得金牌4枚、銀牌12枚、銅牌18枚。【點睛】本題考