PAGEPAGE1浙江省金華十校2024屆高三上學期11月模擬考試數學試題選擇題部分一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，，故選：C．2.已知為虛數單位，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.己知向量，且與共線，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，又與共線，，化簡得.故選：C.4.有一組樣本數據，則（）A.這組樣本數據的極差不小于4 B.這組樣本數據的平均數不小于4C.這組樣本數據的中位數不小于3 D.這組樣本數據的眾數等于3【答案】A【解析】樣本數據中，對于A，顯然這組樣本數據的極差大于等于，故A正確；對于B，若，則平均數為，故B錯誤；對于C，若，則中位數為，故C錯誤；對于D，若，則眾數為，故D錯誤.故選：A.5.條件，條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當且時，，所以是的不充分條件，而時，則，所以，故是的必要條件，因此是的必要不充分條件，故選：B.6.已知拋物線：為拋物線的焦點，為拋物線上的動點（不含原點），的半徑為，若與外切，則（）A.與直線相切 B.與直線相切C.與直線相切 D.與直線相切【答案】A【解析】設動點，，如圖所示，與外切于點，則，由拋物線焦半徑公式得，，的半徑為，即，所以，即的半徑為，所以點到軸的距離為，則與直線相切，故選：A．7.已知，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.【答案】D【解析】由，，即，易知，所以，當且僅當時等號成立，此時，所以的最小值為.故選：D.8.如圖，水利灌溉工具筒車的轉輪中心到水面的距離為，筒車的半徑是，盛水筒的初始位置為與水平正方向的夾角為．若筒車以角速度沿逆時針方向轉動，為筒車轉動后盛水筒第一次到達入水點所需的時間（單位：），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設盛水桶在轉動中到水面的距離為，時間為，由題意可得，盛水桶到水面的距離與時間的函數關系如下：，令，即，解得，又，可得，，，故C正確；，，，故D錯誤；又，解得，故B錯誤；，解得，故A錯誤.故選：C.二、選擇題9.在正方體中，與交于點，則（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面【答案】ABC【解析】對于A，因為且，所以四邊形時平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，連接交于點，連接，由正方體的分別為的中點，因為因為且，所以四邊形時平行四邊形，所以，則且，所以四邊形時平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C正確；對于D，平面即為平面，而平面與平面相交，所以平面與平面相交，故D錯誤.故選：ABC.10.已知函數，則（）A.函數在區間上單調遞減B.函數在區間上的最大值為1C.函數在點處的切線方程為D.若關于的方程在區間上有兩解，則【答案】AC【解析】因為，，所以，令，即；令，即，所以函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，故A正確；因為，，所以函數在區間上的最大值為4，故B錯誤；因為，，所以函數在點處的切線方程為，即，故C正確；因為，函數大致圖象如圖，要使方程在區間上有兩解，則，故D錯誤.故選：AC.11.對于給定的數列，如果存在實數，使得對任意成立，我們稱數列是“線性數列”，數列滿足，則（）A.等差數列是“線性數列” B.等比數列是“線性數列”C.若是等差數列，則是“線性數列” D.若是等比數列，則是“線性數列”【答案】ABD【解析】對A，數列為等差數列，則，即，滿足“線性數列”的定義，A正確；對B，數列為等比數列，則，即，滿足“線性數列”的定義，B正確；對C，是等差數列，設，則，若是“線性數列”，則，則應有，故不是“線性數列”，C錯誤；對D，是等比數列，設首項為，公比為，若時，，則，滿足“線性數列”的定義；若時，由，得，，累加的，則，經驗證當時，滿足，則，若是“線性數列”，則存在實數，使得成立，則，，，則，則，則是“線性數列”，D正確.故選：ABD12.已知函數和其導函數的定義域都是，若與均為偶函數，則（）A.B.關于點對稱C.D.【答案】BD【解析】假設，則，都為偶函數，則所設函數符合題意，此時，所以A錯誤；因為為偶函數，所以，即，令，則，所以關于點對稱，故B正確；因為均為偶函數，所以，所以函數的圖象關于直線對稱，即，因為，所以，所以，所以，，又，，所以，所以無法確定的值，所以C錯誤；又，，所以，又，所以，由知函數周期為4，則的周期也為4，則，所以D正確.故選：BD非選擇題部分三、填空題13.在二項式的展開式中，的系數為___________．【答案】【解析】由二項式展開式的通項為，令，解得，所以展開式中的系數為.故答案為：.14.己知梯形滿足且，其中，將梯形繞邊旋轉一周，所得到幾何體的體積為___________．【答案】【解析】如下圖，梯形繞邊旋轉一周，所得幾何體為圓錐和圓柱的組合體，其中圓錐及圓柱底面都是半徑為的圓，圓錐的高為1，圓柱的高為2，所以幾何體體積.故答案為：15.一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點數之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗．現進行四次試驗，則恰出現一次成功試驗的概率為___________．【答案】【解析】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點數之和為4的情況有3種，兩枚骰子點數之和為5的情況有4種，兩枚骰子點數之和為6的情況有5種，在一次試驗中，出現成功試驗的概率，設出現成功試驗的次數為，則，所以重復做這樣的試驗4次，則恰出現一次成功試驗的概率為，故答案為：．16.己知為橢圓上一點，分別為其左右焦點，為其右頂點，為坐標原點，點到直線的距離為，點到軸的距離為，若，且成等比數列，則橢圓的離心率為___________．【答案】【解析】設，，，過點作軸于點，過作于點，如圖所示，則，所以，即，又因為，所以，即，由橢圓定義得，，則，又因為成等比數列，所以，則，所以，即，所以，故答案為：．四、解答題17.在中，角所對的邊分別是，且．（1）求角；（2）為邊上一點，且，求的值．解：（1）因為，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，所以．（2）方法一：不妨取，則，在中，由余弦定理可求得．在中，由余弦定理可求得．在中，由余弦定理可得．方法二：不妨取，則，在中，，則，則，，，中，，在中由正弦定理可得：，解得：，又因為，所以．18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側棱底面，且，點分別為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為底面，底面，所以，因為正方形，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，點為的中點，所以．因為，平面，所以平面，因為平面，所以．同理可得，因為，平面，所以平面．（2）解：如圖，以點坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，設，則各點坐標分別為．由（1）可知是平面的一個法向量，記為，又平面的一個法向量為．所以平面與平面夾角的余弦值等于．19.設正項數列的前項和為，若．（1）求數列的通項公式；（2）若不等式對任意正整數均成立，求的取值范圍．解：（1）當時，，所以；當時，且，兩式相減并整理可得．因為為正項數列，所以，所以．（2）有（1）可知，，，故，可化為，因為恒成立，所以．20.2023年9月8日，第19屆亞運會火炬傳遞啟動儀式在杭州西湖景區涌金公園廣場成功舉行．火炬傳遞首日傳遞從杭州西湖涌金公園廣場出發，沿南山路—湖濱路—環城西路—北山街—西泠橋—孤山路傳遞，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亞運會火炬首日傳遞共有106棒火炬手參與．（1）組委會從全省火炬手中隨機抽取了100名火炬手進行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計滿50周歲未滿50周歲男154560女53540總計20801000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據小概率值的獨立性檢驗，試判斷全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關聯；（2）在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽．某電視臺隨機選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？（1）解：零假設為：：全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關聯），根據列聯表中的數據，計算得，所以根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認定為成立，全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關聯）．（2）解：設表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，則，所以這位火炬手是男性的概率約為．21.已知雙曲線，直線過雙曲線的右焦點且交右支于兩點，點為線段的中點，點在軸上，．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）若，求直線的方程．解：（1）由題知，，所以雙曲線的漸近線方程為．（2）雙曲線的右焦點坐標為，由題知，直線AB斜率不為0，設直線方程為，代入雙曲線中，化簡可得：，設,則．則∴線段中點的坐標為，直線方程為．（i）當時，點恰好為焦點，此時存在點或，使得．此時直線方程為．（ii）當時，令可得，可得點的坐標為，由于所以，由，即，也即：．化簡可得，解出，由于直線要交雙曲線右支于兩點，所以，即，故舍去．可得直線的方程為．綜上：直線方程為或或．22.已知．（1）若當時函數取到極值，求的值；（2）討論函數在區間上的零點個數．（1）解：函數，可得因為時函數取到極值，可得，解得，當時，可得，令，可得，令，可得，所以單調遞增，又因，所以在區間上，即單調遞增，所以