第33講怎樣求幾何體的表面積和體積

一、知識概要

1柱.雉、臺和球的側面積和體積

側面積體積

圓柱5側=7rrlV=Sh=7vr2h

圓雉=7Trl/為母線V=-Sh=—7rr2h=-7rr2yJl2-r2

333

側面積體積

v=g（?+s卜+鄧出）〃

圓臺

/為母

/=3萬（片+片+化”

線

直棱柱S側=C〃（C為底面周長）V=Sh

S則=；Cl（C為底面周長，h,為夕

正棱錐

S洞=g（C+C'）/（C,C'上，下底硼腕,+S下+心上5下）〃

正棱臺

"為斜高）

4

球S=4—Y=—欣

3

2幾何人本的表面積---各面面積之和

（1）棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于側面積與底面積之和.

（2）圓柱、圓雉、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環形;它們的表面積等于側面積與

底面面積之和.

二、題型精析

2

例1(1)如圖3-73所示，有兩個相同的直三棱柱，高為底面三角形的三邊長分別為

a

3a,4a,5as>0),用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一

個四棱柱，則a的取值范圍是--

⑵如圖3-74所示，在7ABe中，AB=BC=2,ZABC=120°,若平面ABC外的點

P和線段AC上的點D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體PBCD的體積的最大

值是.

【策略點擊】第(1)問是關于多面體的拼接問題.要注意考慮多種可能的情況.因為三棱柱的

表面積為定值，當拼接為四棱柱時，要達到全面積最小，則需把兩側面面積最大的接合即得.第(2)

問，題圖本身是四面體，解題的要點在于將目標四面體的體積表示為關于變量x(設

DP=DA^x)的函數，求函數的最大值.解:(1)底面積為6”,側面面積分別為6,8,10.拼

成三棱柱時有三種情況：

H=2x6a2+2(10+8+6)=12a2+48

S2=24/+2(10+8,=24/+36

S3=244+2(1()+6j=24"+32

拼成四棱柱時有一種：全面積為(8+6)X2+4X6/=24Q2+28,由題意得

以/+28<12/+48,解得<a<—

(2)如圖3-74可知,這個四面體是由平面VA8C沿BD折疊而成，故當平面PBDA.平

面ABC時體積最大.

設DP=DA=XNPBD中BD邊上的高為ft,則必有%,x.

故當PDA.底面ABC時面積最大.

由余弦定理知AC=2y[3,:.CD=2y/3-x.又BCD=30°,

SVBS=；x2x(2百-x)xsin30"=1一x).

P—12

,z12y/3-X1r//T\-|1X+2y/3-X1

展CD=§xxx---=-|_x^2V3-x)J?---------=-

當且僅當X=2y/3-X,即X=yj3時，該四面體PBCD的體積最大，最大值為

2

【例2】(2016年高考數學全國春I文科第18題)

如圖3-75所示,已知正三棱雉P-ABC的側面是直角三角形，PA=6,頂點P在平

面ABC內的正投影為點D,

D在平面PAB內的正投影為E,聯結PE并延長交AB

于點G.

(1)求證：G是AB的中點；

(2)作出點E在平面PAC內的正投影(說明作法及理

由)，并求四而體PDEF的體積.

【策略點擊】本題其宋不難，第⑴問，欲證G是AB的中點，只需證明PG1AB.第⑵問，

利用三棱錐的體積公式求解四面體PDEF的體積，但是由于對條件“正三棱錐P-ABC”

的側面是直角三角形且兩次出現了點在平面上正投影的概念.如果空間想象能力缺乏，解題會

碰到困難.宋際上本題的圖形背景是長方體，是將長方體截下一個角塊P-ABC這個四面體.

如果借助長方體這個大背景，許多有用的信息可以使解題者一目了然，比如:

1它的三條側棱PA,PB,PC兩兩互相垂直；

2它的三個直角側面PAB,PBC,PCA也兩兩互相垂直；

3它的三對異而棱即AB,PC;AC,PB;BC,PA互相垂直.

這些信息會給解題帶末方便.二AB±PD.

QD在平面PAB內的正投影為E,:.ABLDE.

：.AB±平面PED.故AB±PG.

又由已知，可得PA=PB.：.G是AB的中點.

證法二由條件知尸C_L平面Q鉆，且DEX.平面

PAB,:.DE//PC,因此，PC,DE可確定平

面PCG,

QPD±平面ABC,:.平面PCG±平面ABC,且D

為正三角形ABC的中心.

:.CG為AB的垂直平分線，即G為A3的中點.

圖3-76

⑵【解法一】如圖3-76所示,在平面PAB內，過點E作PB的平行線交PA于

點

F,F即為E在平面PAC內的正投影.

理由如下：由已知可得PB±PA,PBA.PC,又EF//PB,：.EF±PA,EFLPC,

因此EF±平面PAC,即點F為E在平面PAC內的正投影.

連接CG,QP在平面ABC內的正投影為D,:.D是正三角形ABC的中心.

由(1)知,G是AB的中點,,二。在CG上,，

由題設可得PC1.平面PAB,DE1.平面PAB.

21

：.DE//PC,因此PE=—PG,DE=—PC.

33

由已知，正三棱雉的側面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2y/2.

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.

114

四面體PDEF的體積V=-x-x2x2x2=-.

323

圖3-77

【觸法二】由條件知平面PAB1.平面PAC.QE在平面PAB內，作EFLPA于

點F,則EFA.平面PAC,即F為點E在平面PAC內的投影，如圖3—77所示.

己知直角四面體PABC中，PA=PB=PC=6,

V_=—x6x6x6=36.

PABC6

QSvADC=SVABC，，Vp-ADG—%VP-4BC=

22I

取PA中點H,聯結GH,則PE=—PG,PF=—PH=—PA

333

【解法三】在7PCG中，。為CG的三等分點，且DE//PC,

DE=-PC=2,且E為PGTfltJ三等分點,..VPHG中,ER//GH.

3

22121

:.EF=—HG=—x—PA=2,PF=-PH=-PA=2.

33233

114

/.V?nFF=-x-PFxEFxDE=-.

P-DEF323

【例3】（1）三棱錐S-ABC中，一條棱長為。，其余棱長均為1,求〃為何值時匕.ABC

最大？并求最大值.

（2）已知圓錐軸截面的頂點為e（o<e<萬），母線長為I,過頂點p的截面交底面于AB,

求截面三角形的最大值.

圖3-78

【策略點擊】求幾何體體積的最值應結合圖形找到引起體積變化的元素，求表面積或截面面積

最值也如此.第⑴問，若以NSHO（見圖3-78,其中。為S在底面ABC的射影）為

變角’若取SC的中點D,則可通過的直截面面積）.貝可

轉化為關于a的目標函數的最大值問題.第（2）問，過圓錐頂點的截面是等腰三角形.求最值顯

然要對頂角的范國分類討論.

解：（1）如圖3-78所示.設SC=a,其余棱長均為1.取AB的中點H,聯結

HS,HC,則AB±HC,AB1.HS,AB_L平面SHC.

也

在VSA8中,SA=AB=BS=\,:.SH=—：t

2

n

設/s”o=e,狽uso=sfiw^=s?-.?e

2

痂I,_1ccri_lV3.2!<-

故匕-A5c=§SVABC.50=5X7x1x—sin6>=-sin^?

當且僅當sin6>=l,即6=90°時,三棱雉的體積最大.

a=近SH=6苗=容V：：..為4時最大，最大值為1

ZZoZo

圖3-79

(2)如圖3-79所示，設圓雉的軸截面是PAC,ZAPC=a,NAPB=?

Q截面Q48是等腰三解形,.〔S或='/2sin/AP8.

Q截面面積是e的函數，

要求截而面積的最大值,須確定/APB也即e的取值

范圍.

QAC是底面圓的直徑，.〔AB”AC,r./AP8=a.

jr

Q當(Kina<耳就in/APB,,a

：.當NAPB=a時，截面面積最大,Smax=；Fsina;

而當宗，a〈萬時，只要使NAP8截面面積最大.S,g=

1,2,

—Isina,aG

2

**Smax-[r

12\_2

方法提煉

在求解幾何體的表面積和體積這類計算題時注意一些幾何性質的靈活運用.

1棱錐與平行于底面的截面所構成的小棱錐的比例性質

也級="空二條=對應線段（如高，斜高、底面邊長等）的平方之比.

S椎床S椎椎

這個比例關系很重要，在求雉體的側面積、底面積比時，會大量簡化運算過程,在求臺體的側面積、

底面積比時，將臺體補成雉體，也可應用這個關系式.

2棱柱的直截面及其應用

在棱柱中，與各側棱均垂直的截面叫作棱柱的直截面,正棱柱的直截面就是其上下底面.

S桃柱佃=。直載"（具中Cft截，/粉別為棱柱的立截面周長與側棱長,

V枚柱=S『i藏?/（其中S直截，/分別為棱柱的直截面面積與側棱長）

三、易錯警示

例正四棱柱43co-45cA的對角線與底面成30°,過底面中心。作0E_LAG于

點E,求過點B,D,E的截面將棱柱分成兩部分的體積之比.

【錯解】：如圖3—80所示,截面為7BDM.

設底面邊長為1,則AC=立.

正四棱柱的高A=C,C=AC-tan30°=V2x—=—

33

則匕BCO-A8Moi=S^BCD,h~^ABCD，℃=3

Q0E±AC”“AC=30°,.■.ZAOE=60",

于是AM=AOtan60"=也=

22

則……=；SvgAM=；.g.^=噂.從而得

v_v_v一旦一旦一旦K-1

VVV

2-ABCD-AIBICIDI~'~\2~\~3'

因此，過點B,D,E的截面將棱柱分成兩部分的體積之比為1:3.

評析及正解解答本題的關鍵一步是正確作出所求的截面,而不能隨意畫出一個截面，想當然認

為這個濯面一定是一個三角形，上述錯解中求出AM=—.而C、C=顯.顯然有

23

AM>AA,.這表明截面與棱A4,的交點在棱AA,的延長線上，所以截面不是三角形，而

是等腰械形.解答數學問題，一時有誤并不要緊，而是要在解題過程中糾正錯誤的判斷，不斷向

正確的結果靠攏.

圖3-81

正確的解法如下：

【解】：如圖3-81所示，截面是等腰梯形PQDB.

由上述解法，得=GC=T，

則"A……邛-半邛,??罌4

外于M4

QVM4PcVMA8,.?.t

1~AB~~MA

???SVAPQ=〈X4X;=!，SVAM=］由棱臺體積公式，得

Z3JloZ

=^AyPQ-ABD~2,(SvAPQ+S'ABD+y