PAGEPAGE1§2生產計劃的制訂動態優化建模首先要解決兩個問題，其一是，要使什么性能指標達到最優，其二是，通過什么變量（函數）控制這個性能指標。當然這些都應該是要解決實際問題的直接反映。工廠與客戶簽訂了一項在某時刻提交一定數量產品的合同，在制訂生產計劃時要考慮生產和儲存兩種費用，生產費用通常取決于生產率（單位時間的產量），生產率越高費用越大;儲存費用自然由已經生產出來的產品數量決定，數量越多費用越大，所謂生產計劃這里簡單地看作是到每一時刻為止的累積產量，它與每單位時間(如每天)的產量可以互相推算。建模目的是尋求最優的生產計劃，使完成合同所需的總費用（生產與貯存費用之和）最小。假設開始生產時刻記為t=0，按照合同應在t=T提交數量為Q的產品。到時刻t為止的產量記作x(t)，x(t)即生產計劃。因為時刻t的生產率表示為，所以單位時間的生產費用可以一般地記作，而單位時間的貯存費用則應記為。于是從t=0到t=T的總費用是(1)為了確定f和g的具體形式作如下假設:l.單位時間內生產率提高一個單位所需的生產費用與這時的生產率成正比。在需求飽滿、生產率很高的工廠里這個假設是合理的。2.貯存費與貯存量(即累積產量)成正比。這是關于貯存費的最常用的假設。假設l表明，生產費f對生產率的變化率與成正比，即于是（2）是比例系數，由假設2則可以直接寫出（3）是單位數量產品單位時間的貯存費。建模將（2）、(3)代入（1）式并注意到x(t)在t=0和t=T時的值，我們有（4），（5）制訂最優生產計劃歸結為在固定端點條件（5）下，求x(t)使（4）式定義的泛涵取得最小值。用變分法求解，記，根據歐拉方程（§1（7）式）可得關于x(t)的二階微分方程（6）方程（6）在端點條件（5）下的解為（7）這就是使總費用達到最小的生產計劃。由(7)式不難畫出x(t)的示意圖(圖2)，它是過x(0)=0,X(T)=Q兩點的拋物線，且因而呈下凸狀。隨著參數k1、k2、T、Q的不同，曲線x(t)可能有S1和S2兩種形狀。但是對于生產計劃x(t)應該有明顯的限制條件，（8）這就是說，只有當x(t)呈S1形狀時才有實際意義。X(t)X(t)QSQS30t1Tt圖2-2滿足條件的x(t)圖2-2滿足條件的x(t)00tx(t)TQS1S2圖2-1的兩種形式容易看出，對于(7)式表示的x(t)條件(8)等價于（9）由(7)式算出，可知(9)式又表示為（10）于是僅當(10)式成立時(7)式確定的x(t)才是最優生產計劃。當k1，k2固定時條件(10)表明，在一定交貨期T內要完成的產量Q相當大，需要從t=0就開始生產，如圖中曲線S1但是，當（11）即在T內要完成的產量Q較小時最優生計劃是什么呢?直觀的想法是為了節省貯存費用，到t=t1才開始生產，如圖7-2的曲線S3所示。S3是否就是如(7)式所示、圖7-1中曲線S2在x≥0的那一部分呢？如果不是，時刻t1和區縣S3又如何確定(習題1)。解釋為了對最優生產計劃作出解釋，考察它滿足的方程(6)式，(6)式可以表示為（12）式中是單位時間內生產率提高一個單位所需的生產費用，經濟理論中稱為邊際成本。而k2（單位時間單位數量產品的貯存費）稱為邊際貯存。于是(12)式表明，使邊際成本的變化率等于邊際貯存的生產計劃是最優的。評注優化模型通常包括目標幽數和約束條件（或尋優范圍）兩部分，在這個摸型目標幽數只考慮了兩種最基本的費用，并對它們作了相當簡化的假設。至于約束條件，由于我們要用古典變分法求解，所以x(t)除了要滿足端點條件(5)以外，還需假定它是二階可微函數。這個條件并不影響(7)式的最優意義，因為一般說來不會存在一個不滿足二階可微條件的、比（7）式更優的解。但是在另一些約束條件下問題就較難處理了，如這個