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文檔簡介
新課標高中數學必修四4.2.3教材解讀一.學習目的1.了解平面向量基本定理及其意義;2.掌握平面向量的正交分解及坐標表示;3.會用坐標表示平面向量的加法,減法與數乘運算;4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.二.要點解析1.平面向量基本定理如果、是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向量,有且只有一對實數、,使得.例如圖1,在中,對角線交點為,(1)設,為基向量,則圖1(2)設,為基向量,則圖1(3)設,為基向量,則說明:(1)基底必須是兩個不共線的向量,零向量不能作為基底;(2)基底不同,表示也不同;(3)平面內的任一向量都可以用不共線的向量來表示.2.向量的垂直與夾角圖2已知兩個非零向量和,作,,則叫做向量與的夾角.當時,與同向;當時,與反向;當時,與垂直,記作.圖2例如圖2,在中,,則與的夾角不是,而是.強調:與夾角對應的兩向量的起點要相同,注意向量的平移及方向.3.平面向量的正交分解及坐標表示把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量,即用兩個互相垂直的向量來表示叫平面向量的正交分解.如圖3,在平面直角坐標系中,分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.對于平面內的一個向量,有且只有一對實數、,使.圖3把有序實數對叫向量的坐標,記作,其中叫在軸上的坐標,即橫坐標,叫在軸上的坐標,即縱坐標.圖3把叫向量的坐標表示.強調:(1)記,則;記,,則;(2)向量可以平移.相等的向量坐標是相同的;(3)向量的坐標表示為向量運算的數量化、代數化奠定的基礎.4.向量的坐標運算記,,.則,,5.平面向量共線的坐標表示記,,其中,則三典例評析例1(2008全國卷Ⅰ理3)在中,,,若點滿足,則()A.B.C.D.圖4評析:如圖4,本題實質上考察平面向量基本定理:用、作為基向量表示.圖4由得,易得.例2(2008全國卷Ⅱ13)設向量,,若與共線,則_______.評析:本題考查向量貢獻的坐標表示及坐標運算.由已知,得,解得.例3若向量,,,則等于()A.B.C.D.評析:本題考查向量線性運算的坐標表示,由于條件中只給出,,的坐標,故可考慮從“數”的角度出發用、表示,又,不共線,則一定存在實數,,使得,然后用向量坐標建立,的方程組.設,則,解得,故選(B)向量通過坐標形式可以轉化為數的范圍內的運算,故可與代數中的方程、不等式、函
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