2021年高考理數真題試卷（全國乙卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。（共12題；共60分）

1.設2（z+）+3（z-）=4+6i,則2=（）.

Zz

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

2.已知集合S={s|s=2n+l,nGZ},T={t|t=4n+l,nGZ},則SnT=()

A.B.SC.TD.Z

￡

3.已知命題p：xGR,sinx<l；命題q：xWR,e'xl>l,則下列命題中為真命題的是（）

3V

A.pqB.PqC.pqD.(pVq)

A-iAA-i-i

4.設函數f（x）=,則下列函數中為奇函數的是（）

1-X

1+X

A.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+l)+l

5.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，P為BiDi的中點，則直線PB與ADi所成的角為（）

A.B.C.D.

71ZEX2

346

6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分

到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

7.把函數y4（x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位

171

長度,得到函數y二sin（x-）的圖像，則f（x）=（）

71

A.sin()B.sin()C.sin()D.sin()

x7nx.n-7n

—.—Jy?2%+-

2122121212

8.在區間（0,1）與（1,2）中各隨機取1個數，則兩數之和大于的概率為（）

4

A.B.C.D.

7239

432329

9.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海盜的高。如圖，點E,H,

G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為〃表高〃，EG稱為〃表距〃,

GC和EH都稱為〃表目距〃，GC與EH的差稱為“表目距的差與則海島的高AB二（）.

A.

+表息

B.

耒堂^耒運壬口

表自場的差一表曷

C.

+表題

表今多為親

D.

-表座

10.設a*0,若x=a為函數,的極大值點，則（）

Kx）=a（x-a）'（X一b）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

11.設B是橢圓C：（a>b>0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足則C的

W+q=iIPBIM2b

a*b，

離心率的取值范圍是（）

A.B.c.D.

%）生1）（0,爭（0卞

12.設，則（）

ad=21nl.01b=lnl.02c=VL04-1

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。（共4題；共20分）

13.已知雙曲線C：（m>0）的一條漸近線為+my=0,則C的焦距為

2

X___2=1事x

y--1

mJ

14.已知向量T=（1，3）,b=（3,4）,若（T-入T）_L-,則入=

aabb

15.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為，B=60。，a2+c2=3ac,則b=______.

V3

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則

所選側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。(共5題；共60分)

17.某廠研究了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一

臺新設備各生產了1。件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備9.810310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和，樣本方差分別記為S，和S2?

Ty

(1)求，，S,,S22；

Ty

(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果_-2,則認為

972再i

新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高).

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD,PD=DC=1,M為BC的中點，且PB_LAM,

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值。

19.記Sn為數列｛an｝的前n項和,bn為數列｛Sn｝的前n項和,已知=2.

(1)證明：數列｛6｝是等差數列;

(2)求｛an｝的通項公式.

20.設函數f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數y=xf(x)的極值點。

(1)求a；

(2)設函數g(x)=,證明：g(x)<1.

x+f'X"

xfV

21.己知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求P；

(2)若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求PAB的最大值.

△

四、［選修4一4：坐標系與參數方程］(共1題；共10分)

22.在直角坐標系xOy中，C的圓心為C(2,1),半徑為1.

0

(1)寫出C的一個參數方程；

O

(2)過點F(4,1)作C的兩條切線，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩

O

條直線的極坐標方程.

五、［選修4一5：不等式選講］(共1題；共10分)

23.已知函數f(x)=|x-a|+1x+31.

(1)當a=l時，求不等式f(x)26的解集；

(2)若f(x)>-a,求a的取值范圍.

2021年高考理數真題試卷(全國乙卷)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。(共12題；共60分)

1.設2(z+)+3(z-)=4+6i,則2=().

【答案】C

【考點】復數代數形式的混合運算

【解析】【解答】設__所以a=b=l,所以z=l+i。

z=a-bi,2(z+z)+3(z-z)=5z-z=4a+6bi=4+6i,

故答案為：C

【分析】先設z的代數式，代入運算后由復數相等的條件，即可求得結果。

2.已知集合S={s|s=2n+l,nGZ),T={t|t=4n+l,nGZ},則SnT=()

【答案】C

【考點】交集及其運算

【解析】【解答】當n=2k時、S={s|s=4k+1,},

(keZ)kez

當n=2k+l時,S={s|s=4k+3,

(keZ)kez

ScT=T

故答案為：c.

【分析】分n的奇偶討論集合S。

3.已知命題p：xGR,sinx<l：命題q：xGR,a1”，則下列命題中為真命題的是()

A-PqB.pD.(pVq)

A-iA

【答案】A

【考點】全稱量詞命題，存在量詞命題，命題的否定，命題的真假判斷與應用

【解析】【解答】因為命題P是真命題，命題q也是真命題，

故答案為：A

【分析】先判斷命題p，q的真假，然后判斷選項的真假。

4.設函數f(x)=,則下列函數中為奇函數的是()

1-X

1+X

A.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+l)+l

【答案】B

【考點】函數奇偶性的判斷，函數奇偶性的性質

【解析】【解答】因為f(x)=，所以函數的對稱中心是(-1,-1),所以函數f(x)向右平移1個

—1+x=-1+X—+1

單位，再向上平移1個單位后關于(0,0)中心對稱，而四個選項中只有B滿足條件，

故答案為：B。

【分析】將函數變形為f(x)=后，判斷。

=-1+—x+l

5.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，P為BQi的中點，則直線PB與AD1所成的角為()

A.B.C.D.

【答案】D

【考點】直線與平面所成的角

【解析】【解答】如圖，連接AC,設AC與BD交于0,連接ODi,ADi,BP,設正方體的棱長為X,

因為DiP||OB||BD,且DiP=BO=BD,所以四邊形ODiPB是平行四邊形，所以BP||ODi,所以

1

即為所求的角，易證平面BDDiBi,故ODi,又，所以=.

A01A01

AO=^AC=^ADt色

故答案為：D

【分析】在正方體中，作輔助線，通過平移線，作出所要求的角。

6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分

到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【考點】排列、組合及簡單計數問題

【解析】【解答】由題意知，必須有2個人一組，其他各組只有1個人，所以分配方法是：

廢屐裾=240'

故答案為：C.

【分析】利用排列與組合來求解。

7.把函數y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單

1JT

23

位長度，得到函數丫=5汨/)的圖像，則f(X)=()

7Z

A.sin()B.sin()C.sin()D.sin()

x7n

212

【答案】B

【考點】由y=Asin(3X+4))的部分圖象確定其解析式

【解析】【解答】根據圖象平移的規律可知，將y=y=sin(x-)的圖像上所有的點向左平移平移個單位,

7Z71

43

縱坐標不變，得到再把所得到的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，即函數的周期

y:=sin(x+

變原來的2倍，就得到函數y=,故答案為：B。

【分析】根據三角函數圖象的相位，周期變化規律來解題。

8.在區間(0,1)與(1,2)中各隨機取1個數，則兩數之和大于的概率為()

4

A.B.C.D.

723_9_2

432329

【答案】B

【考點】幾何概型

【解析】【解答】不妨設這兩個數為a,b且0<a<l,l<b<2,在平面直角坐標系內，a,b的取值,

表示為一個正方四個頂點：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括邊界在內的正方形區域。作直線a+b=

滿足a+b>的a,b取值的可行域如圖中陰影部分表示,

直線a+b=與正方形的兩個交點分別為，則可計算事件(a+bR人svyf概率為P=

；(2(嶺>7

故選Bo

【分析】利用兒何概型解答。

9.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海盜的高。如圖，點E,

H,G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為"表高"，EG稱為"表

距"，GC和EH都稱為"表目距"，GC與EH的差稱為“表目距的差"。則海島的高AB=().

A.

+表息

B.

耒堂^耒運壬口

表且史的差一表曷

C.

云寺:法W

+表能

表身彥煌

D.

表不表W

-表座

表^運力蓬

【答案】A

【考點】解三角形的實際應用

【解析】【解答】如圖，連接DF,直線DF交AB于M,

則AB=AM+BM,設則

々DM=a.^BFM=S，

因為，所以

---------=MF-MD=DF,tan8=—,tana=-

tanatan￡lGCEH

所以

Mb器="8』一盍）=MB喘—第.=靄+表高?

tana

故答案為：A.

【分析】通過作輔助線，（如圖），然后利用解直角形的知識來解答。

10.設a-0,若x=a為函數的極大值點，則（）

Kx）=a（x-a）2（x-b）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【考點】二次函數的圖象，二次函數的性質

【解析】【解答】當a>0時，若a為極大值點，則（如圖1）,必有a<b,ab<a2.故B,C項錯;

h

x

圖①

當a<0時，若a為極大值點，則（如圖2）,必有a>b>a2,故A錯。

故答案為：D.

【分析】對a的正負進行討論，根據極值點的意義，作圖分析，得到正確選項。

11.設B是橢圓C：（a>b>0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足，則C的

W+W=lIPBIM2b

a*b*

離心率的取值范圍是（）

A._B.C.D.

[y.l）[?D◎爭（。卞

【答案】c

【考點】橢圓的定義，橢圓的簡單性質

【解析】【解答】依題意，點B(O,b),設P(xo,yo),則有

22222

\PB\=x0+(y0-by=a(l-碧)+y0-2by0+b

移項并用十字相乘法得到：

一/『一2by°+產+2b2<4b2,仇+b)(-捻%+二^尹)<0,

因為恒成立，即恒成立，

b+0

-b<y0<b,^y0+b>0,y0+&<0~^(~)6-

據此解得，

a2>2c2,Hee(0,當

2

故答案為：Co

【分析】由兩點間的距離公式，表示出|PB|2,再根據橢圓上任意點的縱坐標yo的取值范圍，解相關

不等式得到結果。

12.設，，，則()

a=21nl.01b=EL02c=>04-1

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【考點】指數函數的圖象與性質，對數函數的圖象與性質

【解析】【解答】構造函數f(x)=ln(l+x)-,則b-c=f(0.02),則

+2—+1

當x>0時,_________________________,

f/fx\—_____2______________________1+x=)(1+乃2=+2.+.2>J(l+2*

/IJ-1+*2V1+2X—(l+x)Vi+2x'

所以f/(x)<0,所以f(x)在單調遞減，所以f(0.02)<f(0),即b-c<0,所以b<c;

(0,+河

再構造函數.______則而,

g(x)—21n(l+%)—+4X+La-c=g(0.01)n^(x)=—_____-=2VTT^-2(i+x)

UlJ-2V1+4X—(1+X)V1+4X

當,______,__________

0<x<2時,VI+4x>V1+2x+x2=1+x,

所以,所以g(x)在(0,2)上單調遞增，所以所以b<c<a,

g/(%)>0,g(0.01)>g(0)=0,腑〉c,

故答案為：B

【分析】本題就在于構造恰當的函數，利用導數研究函數的單調性，從而解題。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。(共4題；共20分)

13.已知雙曲線C：(m>0)的一條漸近線為+my=0,則C的焦距為________.

『2=1網

my

【答案】4

【考點】雙曲線的定義，雙曲線的簡單性質

【解析】【解答】因為又曲線方程C：，一條漸近線是L

卜y2=i0n>o)島+my=0,娉m=3

所以雙曲線方程是2,

--y2=1,2c=2yjm+1=4

故答案為：4

【分析】由雙曲線漸近線的斜率可得到m的值，再進一步求得焦距的值。

14.已知向量t=(1,3),b=(3,4),若(t-入t)-1--，則入=。

aabb

【答案】

3

5

【考點】平面向量的坐標運算，平面向量數量積的運算，數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

【解析】【解答】因為__，所以

a=(1,3),匕=(3,4),=a—Ab=(1—3A,3—4X),(a—Ab)1b

(a-Ab)xb=0

所以，

(3,4)x(l-3A,3-4A)=0=>A=1

故答案為：

3

5,

【分析】先計算出一的坐標式，再根據兩向量垂直，列式求解。

a—Ab

15.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為，B=6O°,a2+c2=3ac,則b=______.

V3

【答案】

2V2

【考點】余弦定理，三角形中的幾何計算

【解析】【解答】_

S^Bc=-acsinB=-acsin60°=—ac=y/3ac=4,

224

于是____________________________,_

b=ya2+c2-2accosB=Va2+c2-ac=\2ac=2V2

【分析】根據面積的值，計算出ac,再由余弦定理求解。

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖,

則所選側視圖和俯視圖的編號依次為(寫出符合要求的一組答案即可).

【答案】②⑤或③④

【考點】由三視圖還原實物圖

【解析】【解答】當俯視圖為④時，右側棱在左側，不可觀測到，所以為虛線，故選擇③為側視圖；

當俯視圖為⑤時，左側棱在左側可觀測到，所以為實線，故選擇②為側視圖，

故答案為：②⑤或③④

【分析】分情況討論各種視圖的位置關系。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。(共5題；共60分)

17.某廠研究了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和

一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和，樣本方差分別記為S12和S2?

xy

(1)求，，S?,S22；

Ty

(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果->,則認為

新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高).

【答案】(1)解：各項所求值如下所示

=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

x_i.

10

y-2.

10

10

X[(9.7-10.0)2+2X(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2X(10.2-10.0)2+(103-10.0)2]=0.36,

x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

i

10

（2）由⑴中數據得=0.3,2=0.34

yX

顯然_-_<2,所以不認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高。

y發回

\10

【考點】眾數、中位數、平均數，極差、方差與標準差

【解析】【分析】（1）先計算新舊樣本平均數，再直接用公式計算s?,S22；

x.y

⑵由⑴中的數據，計算得：_-=0.3,2,____=0.34,顯然_-<2,____,可得到答案。

yX目運yx區運

\10\10

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD,PD=DC=1,M為BC的中點，且PB1.AM,

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

【答案】（1）解：因為PD_L平面ABCD,且矩形ABCD中，AD±DC,所以以一，一，一分別

DADCDP

為x,y,z軸正方向，D為原點建立空間直角坐標系D-xyz。

設BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(,1,0),P(0,0,1),所以_,=(t,1,-1),_,

EPBAM

(,1,0),

_1

2

因為PB_LAM,所以一?_,=-+1=0,所以t=,所以BC=。

PBAM￡2y/2V2

(2)設平面APM的一個法向量為t=(x,y,z),由于_=(-,0,1),則

mAPV2

m?4p=-->j2x+z=0

｛一在n

m，AM=-yx+y=0

令x=，得t=(,1,2)。

V2mV2

設平面PMB的一個法向量為,=(x*,y*，zD,則

ri

r_n?^2=V2xf=0

Si?PR=V2xr+ye-ze=0

令=1,得.=(0,1,1).

y｛a

所以cos(T，一)===，所以二面角A-PM-B的正弦值為.

mnm?n33舊V7C

|m|MIV7XV214-14"

【考點】向量方法證明線、面的位置關系定理，用空間向量求直線與平面的夾角

【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標系，定義相關點的坐標，通過計算求解；

(2)呈上，分別求二面角的兩個平面的法向量，用法向量的夾角計算。

19.記Sn為數列｛an｝的前n項和，bn為數列｛Sn｝的前n項和，已知=2.

2,1

一?~

5nbn

(1)證明：數列｛bn｝是等差數列；

(2)求｛an｝的通項公式.

【答案】(1)由已知+=2,則=Sn(n>2)

2Ibn

snbnbn^l

+=22bn-i+2=2bb-bn-i=(n>2),bi=

=$三=n=n三?

bnbn22

故｛6｝是以為首項，為公差的等差數列.

31

(2)由(1)知bn=+(n-1)=，貝I]+=2Sn=

31n+222=n+2

222Snn+2H+1

n=l時,ai=Si=

3

2

n>2時,an=Sn-Sn-i=-=

一+2n+1I

n+1nn(n+l)

故3n=

a,n=1

r2

【考點】等差數列的通項公式，等差數列的前n項和，數列遞推式

【解析】【分析】(1)根據等差數列及前n項和的定義，由遞推關系，求證。

(2)呈上，先寫出bn,再求｛bn｝前n磺的和Sn,再由an與Sn的關系，進一步求得結果。

20.設函數f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數y二xf(x)的極值點。

(1)求a；

(2)設函數g(x)=,證明：g(x)<1.

叫"

xt

【答案】(1)[xf(x)『=x午(x)+xF(x)

當x=0時,[xf(x)]z=f(0)=lna=0,所以a=l

(2)由f(x)=ln(l-x),得xVl

當OVxVl時,f(x)=ln(l-x)<0,xf(x)<0；當xVO時，f(x)=ln(l-x)>0,xf(x)<0

故即證x+f(x)>xf(x),x+ln(l-x)-xln(l-x)>0

令l-x=t(t>0且t*l),x=l-t,即證l-t+lnt-(l-t)lnt>0

令f(t)=l-t+lnt-(1-t)Int,

則f'(t)=-l--[(-l)lnt+]=-l++lnt-=lnt

1￡-￡1￡-￡

tttt

所以f(t)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，故f(t)>f(1)=0,得證。

【考點】利用導數研究函數的極值，導數在最大值、最小值問題中的應用

【解析】【分析】(1)先對函數y=xf(x)求導：[xf(x)r=x午(x)+xF(x),因為x=0是方程的根,代入求得a

值。

(2)首先由(1)寫出函數f(x),并求其定義域,將問題轉化為證明x+f(x)>xf(x),即證：x+ln(l-x)-xln(l-x)

>0,然后通過換元，構造函數，用導數研究相關函數的單調性，從而證明命題成立。

21.己知拋物線Cx2=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求P；

(2)若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求PAB的最大值.

△

【答案】(1)解：焦點到,,的最短距離為，所以p=2.

F(0,px*y+4)2=lB+3=4

(2)拋物線，設A(xi,yi),B(X2，yz),P(xo,yo),則

—12

y-4X

+Xx

lP4=y=-xi(x-Xi)yi=2i^-；i=三戶一九

lPB-y=^2x-y2X。-vo%。

,都過點P(x0,yo),則故，即

IPA^yo—2X^XP—yijiAb：y。=_yy=￡%o%-y。

yo=￡x2x。一y2j

聯立，得，.

4

P'=：xo%-y。x'_2xox+4yo=0A=xo-16y0

x』y

所以=,___,____，3，，，所以

-------J4+2.J2-4c,-口―

2_1±￡uVTTxOVXO-。dP-AB——

oyo、用+4