強迫lorenz混沌系統的正半軌線界估計

0混沌系統的研究1973年，美國著名的氣候學家n.lorenz在著名的雜志《j.atms.si.》上發表了一篇關于“決定性非周期流”的文章，提出了著名的洛倫茲系統的模型。這是空氣動力學、激光裝置、磁流裝置和其他相關對稱問題的共同簡化模型，是我們研究混亂的出發點和基礎。1975年，李天巖和美國著名哲學家j.a.科恩在《a.美學》一書中發表了《perodimplat.美學》，并首次使用了科學。這種混合理論可以追溯到20世紀初的科學史。在對三個體（三個體）的研究中，它的運動軌跡是不規則的，并且不會固定。1999年,陳關榮教授發現了一個與Lorenz系統拓撲上不等價的非線性混沌系統-Chen系統［３］.2002年,呂金虎研究員發現了另一個混沌系統-Lü系統［４］.隨后更多的混沌系統也相繼被發現［５－６］.混沌的發現曾經被著名物理學家Ford譽為“20世紀物理的第三次革命”.混沌是非線性科學的一個重要分支,混沌理論的研究及其在信息安全領域中的應用是當前科學界和工程領域的一個前沿課題.但是,直到目前對于混沌本質的認識及理論研究還遠遠不夠［６］.由于這類非線性微分方程是不可積的,無法求出精確解,只能將微分方程離散化為差分方程求數值解來認識它,而對它的定性研究顯得十分困難.混沌系統的有界性是混沌同步的理論基礎［５］.直到目前,大多采用數值方法來研究混沌系統的有界性.而數值計算只能對一組特定的參數、初值計算出有限的數據,無法做出全局的定性分析.因此,如何從數學上嚴格求出一個混沌系統的界是一個具有挑戰性的研究課題.目前,關于混沌系統解的有界性問題得到了較為深入研究.如:1987年,俄羅斯學者Leonov等研究了Lorenz系統的界并得出了該系統的球形和柱形上界;2003年,秦文新、陳關榮討論了Chen系統的有界性,得到了Chen系統的上界估計;2004年,廖曉昕討論了Lorenz系統的全局吸引集和正向不變集;2005年,李大美等人對Lorenz系統族的界進行了估計;2007—2009年,李大美、陸君安等人先后得到Lorenz-Haken超混沌的四維橢球形最終界與四維Lorenz-Stenflo系統的最終界和正向不變集;2011年,我們結合全局指數吸引集和迭代定理討論了一個新的三維混沌系統解的界.討論了一個混沌電機系統解的有界性,即分別討論了一類超混沌系統和磁盤發電機系統解的有界性;2012年,討論了Lü系統解的有界性;2012年,吳等結合全局指數吸引集和迭代定理得到了L-S混沌系統解的更小的估計.同時,其他一些混沌系統的界也得到了研究.目前,沒有統一的構造李雅普諾夫函數的方法來研究混沌系統解的有界性.因此,我們有必要對新混沌系統的最終界進行研究.經典Lorenz模型是具有明確氣象背景的非線性耗散混沌系統.外強迫對Lorenz系統非常重要,是影響其分歧行為和可預報性主要原因之一.1994年Palmer引進定常強迫Lorenz模型.隨后一些學者分析了該強迫系統的分歧行為和時間平均行為.Mittal等研究發現無外力作用時,Lorenz映射的一些特點.［７－２２］本文以強迫Lorenz系統為數學模型,基于外強迫對Lorenz映射的影響,研究了系統的全局動力學行為.1無外強迫作用下的系統Palmer引進的強迫Lorenz系統方程為［２２］:其中:分別為對變量x,y,z的定常強迫項.文獻僅考慮了系統(1)的分支變換對于Fｘ=σF,Fｙ=-F,Fｚ=0的情形,且當|F|≤1.61時,該系統出現混沌現象［２２］.當F=0,即無外強迫作用時,方程(1)為經典Lorenz方程［１］.本文以下部分同樣僅考慮系統(1)解的有界性對于Fｘ=σF,Fｙ=-F,Fｚ=0的情形.當,且系統(1)的初值為(x(0),y(0),z(0))=(3.0,8.2,3.3)時,系統(1)軌線在Oxyz空間及其在各個平面上的相圖,見圖1.系統(1)的一些動力學行為在文獻中已經被研究,但是當t→+∞時系統(1)解的漸進行為還沒有被研究.下面我們將研究當時(在系統(1)中,系統(1)的解的有界性及其界估計.2漸近行為的定理對于時間t→+∞時,系統(1)解的漸近行為有如下定理:定理1當時,存在正數l>0使下面所定義的集合為系統(1)的一個最終有界集和正向不變集.3全局指數吸引集和全局指數吸引集的實現本文研究了強迫Lorenz系統解的有界性,得到該系統的解的最終界估計表達式,并且給出了軌線從吸引集外進入吸引集的速率估計.這為該混沌系統的控制和同步提供了理論依據.定理2令則當Vλ(X(t))>Lλ,Vλ(X(t0))>Lλ(t>t0)時,系統(1)有特別的,下式集合為系統(1)的全局指數吸引集.(3)從上面的Ωλ我們可以看出,對于x(t)的正半軌線的界估計我們有上