5.4正、余弦定理（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一判斷三角形的形狀【例1】（2022·全國·高三專題練習）（多選）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0三個內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊，下列四個命題中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是銳角三角形B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等腰三角形C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等腰三角形D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等邊三角形【答案】ACD【解析】對于A，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是銳角，所以SKIPIF1<0是銳角三角形，故選項A正確；對于B：由SKIPIF1<0及正弦定理，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等腰三角形或直角三角形，故選項B錯；對于C：由SKIPIF1<0及正弦定理化邊為角，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等腰三角形，故選項C正確；對于D：由SKIPIF1<0和正弦定理化邊為角，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等邊三角形，故選項D正確；故選：ACD.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知SKIPIF1<0，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為直角三角形，且SKIPIF1<0，故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習）設△SKIPIF1<0的三邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則△SKIPIF1<0是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】設SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為r，如圖所示，法一：∴SKIPIF1<0①；SKIPIF1<0②.①÷②，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故△SKIPIF1<0為等腰三角形或直角三角形，（1）當SKIPIF1<0時，內(nèi)心I在等腰三角形SKIPIF1<0的底邊上的高SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，代入①式，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，上式兩邊同時平方，得：SKIPIF1<0，化簡SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．即△SKIPIF1<0直角三角形，∴△SKIPIF1<0為等腰直角三角形．（2）當SKIPIF1<0時，易得SKIPIF1<0．代入②式，得SKIPIF1<0，此式恒成立，綜上，△SKIPIF1<0為直角三角形．法二：利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及正弦定理和題設條件，得SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②.∴SKIPIF1<0③；SKIPIF1<0④.由③和④得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為三角形內(nèi)角，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，代入③得：SKIPIF1<0⑤又SKIPIF1<0，將其代入⑤，得：SKIPIF1<0．變形得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0⑥，由SKIPIF1<0知A為銳角，從而知SKIPIF1<0．∴由⑥，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此，△SKIPIF1<0為等腰直角三角形．（2）若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時③④恒成立，綜上，△SKIPIF1<0為直角三角形．故選：B3．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0的三條邊SKIPIF1<0和與之對應的三個角SKIPIF1<0滿足等式SKIPIF1<0則此三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】，可得SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故三角形為等腰三角形.故選：A4．（2022·全國·高三專題練習）（多選）設SKIPIF1<0的三個內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．下列有關等邊三角形的四個命題中正確的是（

）．A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等邊三角形B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等邊三角形C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等邊三角形D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等邊三角形【答案】BCD【解析】A，若SKIPIF1<0，由正弦定理可知：任意SKIPIF1<0都滿足條件，因此不一定是等邊三角形，不正確；B，若SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，正確．C，若SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，正確．D，若SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是等邊三角形；SKIPIF1<0時，研究函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，因此SKIPIF1<0不成立．綜上可得：SKIPIF1<0是等邊三角形，正確．故選：BCD．考點二最值問題【例2-1】（2022·河南·汝州市第一高級中學模擬預測（理））在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0；由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：A.【例2-2】（2022·江西·上饒市第一中學二模（文））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0，若點D在邊SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0外接圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，則由正弦定理得SKIPIF1<0，如圖所示，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當圓心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時取等號，所以SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【例2-3】（2022·黑龍江·哈爾濱三中二模）在銳角SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0的面積為S，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故題干條件可化為SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又由正弦定理化簡得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），得SKIPIF1<0SKIPIF1<0為銳角三角形，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C【一隅三反】1．（2022·安徽黃山·二模（理））設SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的取值范圍為______________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當僅當SKIPIF1<0時等號成立，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<02．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若3acosC＋b＝0，則tanB的最大值是________.【答案】SKIPIF1<0【解析】在SKIPIF1<0ABC中，因為3acosC＋b＝0，所以C為鈍角，由正弦定理得3sinAcosC＋sin(A＋C)＝0，3sinAcosC＋sinAcosC＋cosAsinC＝0，所以4sinAcosC＝－cosA·sinC，即tanC＝－4tanA.因為tanA>0，所以tanB＝－tan(A＋C)＝－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，當且僅當tanA＝SKIPIF1<0時取等號，故tanB的最大值是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（2022·全國·高三專題練習）已知銳角SKIPIF1<0外接圓的半徑為SKIPIF1<0，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是____.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.4．（2022·甘肅·二模（理））如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0依次成等差數(shù)列.(1)求邊AC的長；(2)求四邊形ABCD周長的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)10【解析】(1)因為SKIPIF1<0依次成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，則由余弦定理得:SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時“=”成立），所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則四邊形ABCD周長最大值SKIPIF1<0.5．（2022·廣東江門·模擬預測）在銳角SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足SKIPIF1<0.(1)求角B的大小；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)因為SKIPIF1<0，所以由正弦定理可得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，所以由余弦定理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,由正弦定理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為銳角三角形，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0考點三三角形解的個數(shù)【例3-1】（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則此三角形（

）A．無解 B．一解C．兩解 D．解的個數(shù)不確定【答案】C【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為銳角，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有兩解．故選：C【例3-2】（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0有兩解時，SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0有兩解時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.【例3-3】（2022·浙江·高三專題練習）SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若這個三角形有兩解，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為這個三角形有兩解，故滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知SKIPIF1<0，使得三角形有兩解的條件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，三角形無解，當SKIPIF1<0時，三角形有一解，當SKIPIF1<0時，三角形有兩解，當SKIPIF1<0時，三角形有一解．故選：SKIPIF1<0．2．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，滿足條件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的三角形有兩個，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又滿足題意的三角形有兩個，所以只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0有兩個解”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有兩個解，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0有兩個解”的必要不充分條件.故選：B.4．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，下列條件使SKIPIF1<0有兩解的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】選項A.由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0的三邊分別為SKIPIF1<0，所以滿足條件的三角形只有一個.選項B.SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,由正弦定理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的三邊為定值，三個角為定值，所以滿足條件的三角形只有一個.選項C.由SKIPIF1<0，則由正弦定理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以角SKIPIF1<0為一確定的角，且SKIPIF1<0，則角角SKIPIF1<0為一確定的角，從而邊SKIPIF1<0也為定值，所以滿足條件的三角形只有一個.選項D.作SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0的一條邊上取SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0的另一邊，垂足為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0,以點SKIPIF1<0為圓心，4為半徑畫圓弧，因為SKIPIF1<0，所以圓弧與SKIPIF1<0的另一邊有兩個交點SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0均滿足條件，所以所以滿足條件的三角形有兩個.故選：D考點四幾何中的正余弦定理【例4】（2022·浙江寧波·二模）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的三等分點（靠近點SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________，SKIPIF1<0的面積是___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【解析】在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0且點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的三等分點，可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·山東煙臺·一模）如圖，四邊形ABCD中，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求△ABC的面積；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求∠ACB的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)∠ACB=SKIPIF1<0【解析】(1)在△ABC中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．(2)設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在△ACD中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．在△ABC中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．聯(lián)立上式，并由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即∠ACB的值為SKIPIF1<0．2．（2022·陜西渭南·二模）如圖，在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，D為邊AC上一點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求：(1)SKIPIF1<0的值；(2)邊SKIPIF1<0的長.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)在SKIPIF1<0中,由余弦定理的推論得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,由正弦定理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<03．（2022·廣東深圳·一模）如圖，在△ABC中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P．(1)求SKIPIF1<0的正弦值；(2)求SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互補，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解法2、由題意可得，SKIPIF1<0，由AM為邊BC上的中線，則SKIPIF1<0，兩邊同時平方得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為M為BC邊中點，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0面積的SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得，SKIPIF1<0．(2)解：方法1、在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由AM，BN分別為邊BC，AC上的中線可知P為SKIPIF1<0重心，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解法2：因為BN為邊AC上的中線，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．考點五正余弦定理與平面向量的綜合運用【例5】（2022·江西上饒·二模（理））已知SKIPIF1<0的外心為點O，M為邊SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積的最大值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，取等號；所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，取等號；故選：C【一隅三反】（2021·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結(jié)論:①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0為銳角三角形；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由AH為BC邊上的高，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，①正確；SKIPIF1<0知：向量SKIPIF1<0的夾角為鈍角，即SKIPIF1<0為銳角，而無法判斷SKIPIF1<0是否為銳角三角形，②錯誤；SKIPIF1<0，③正確；SKIPIF1<0，④正確.故選：C2．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由余弦定理，可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直角三角形.故選：C.3．（2022·廣東佛山·二模）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，O是SKIPIF1<0外接圓圓心，是SKIPIF1<0的最大值為（）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】過點O作SKIPIF1<0，垂足分別為D，E，如圖，因O是SKIPIF1<0外接圓圓心，則D，E分別為AC，SKIPIF1<0的中點，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取“=”，所以SKIPIF1<0的最大值為3.故選：C4．（2022·江西上饒·二模（理））已知SKIPIF1<0的外心為點O，M為邊SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積的最大值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，取等號；所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，取等號；故選：C考點六正余弦定理與其他知識的綜合運用【例6-1】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預測（理））已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依題意，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由雙曲線的定義得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設雙曲線的焦距為2c，在SKIPIF1<0中利用余弦定理有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線的離心率為SKIPIF1<0．故選：C【例6-2】（2022·遼寧·育明高中高三階段練習）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最小值為________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，顯然關于SKIPIF1<0的方程有解，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<