第一篇核心專題提升?多維突破專題二數列微專題數列與傳統文化、創新應用命題分析1．數列與傳統文化、社會、生活相結合及新定義問題相結合是高考的熱點，難度一般不大；2．新課程改革后數列的考查題型由過去單純考查數列知識或遞推數列問題轉化為在題型上創新，知識交匯上做文章，由此設計了許多層次恰當，形式新穎的創新問題，使數列與高中階段相關知識相結合；3．創新題型都是以數列知識為載體，注重考查數學推理能力和分析解決問題的能力．解題策略1．首先把傳統文化、社會、生活相結合及新定義問題轉化為數列問題；2．熟記等差、等比數列的通項公式、求和公式、數列的性質；3．熟練掌握求通項公式、求和的方法．題型選講

“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題：將正整數中能被3除余2且被7除余2的數按由小到大的順序排成一列，構成數列{an}，則a6＝(

)A．17

B．37 C．107

D．128典例1題型一數列與傳統文化典例研析·悟方法C【解析】

因為an能被3除余2且被7除余2，所以an－2既是3的倍數，又是7的倍數，即是21的倍數，且an>0，所以an－2＝21(n－1)，即an＝21n－19，所以a6＝21×6－19＝107.故選C．

天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為(

)A．壬午年 B．辛丑年C．己亥年 D．戊戌年典例2A【解析】

由題意得：天干可看作公差為10的等差數列，地支可看作公差為12的等差數列，由于100÷10＝10，余數為0，故100年后天干為壬，由于100÷12＝8……4，余數為4，故100年后地支為午，綜上：100年后的2122年為壬午年．故選A．

“蘇州碼子”發源于蘇州，作為一種民間的數字符號流行一時，被廣泛應用于各種商業場合．“蘇州碼子”0～9的寫法依次為○、|、刂、川、ㄨ、δ、

、

、

、攵．某鐵路的里程碑所刻數代表距離始發車站的里程，如某處里程碑上刻著“

○”代表距離始發車站的里程為60公里，已知每隔3公里擺放一個里程碑，若在A點處里程碑上刻著“δㄨ”，在B點處里程碑上刻著“攵

”，則從A點到B點的所有里程碑上所刻數之和為(

)A．1029 B．1125C．1224 D．1650典例3B方法技巧·精提煉解決數列與文化生活結合問題的方法(1)將問題轉化為等差或等比數列問題；(2)借助等差、等比數列的性質、通項公式、求和公式進行計算；(3)新定義問題通常以遞推數列為載體，選擇合適的由遞推數列求通項公式的方法，求出通項后利用基本量解決問題．加固訓練·促提高1.《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣其日影長依次成等差數列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，前九個節氣日影長之和為85.5尺，則芒種日影長為(

)A．1.5尺

B．2.5尺

C．3.5尺

D．4.5尺【解析】

設數列為{an}，首項為a1，公差為d，則a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，S9＝9a1＋36d＝85.5，解得a1＝13.5，d＝－1，∴芒種日影長為a12＝a1＋11d＝2.5.故選B．B2.我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？”，該問題中，善走男第5日所走的路程里數是(

)A．120 B．130C．140 D．150C3.(2023·廣東深圳統考一模)將一個頂角為120°的等腰三角形(含邊界和內部)的底邊三等分，挖去由兩個等分點和上頂點構成的等邊三角形，得到與原三角形相似的兩個全等三角形，再對余下的所有三角形重復這一操作．如果這個操作過程無限繼續下去…，最后挖剩下的就是一條“雪花”狀的Koch曲線，如圖所示已知最初等腰三角形的面積為1，則經過4次操作之后所得圖形的面積是(

)A角度1：條件追溯問題

已知等比數列{an}的首項為－2，公比為q.試寫出一個實數q＝______________________，使得an<an＋1.典例1題型二數列中的創新問題典例研析·悟方法角度2：結論探究式問題

(2023·江蘇南通統考一模)寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數列{an}的通項公式an＝_____________________.①anan＋1<0；②|an|<|an＋1|.典例2【解析】

可構造等比數列，設公比為q，由anan＋1<0，可知公比q為負數，因為|an|<|an＋1|，所以|q|>1，所以q可?。?，設a1＝－2，則an＝－2·(－2)n－1＝(－2)n.(－2)n(答案不唯一)角度3：結構不良問題

設等差數列{an}的前n項和為Sn，a3＝6，a7＝14.(1)求數列{an}的通項公式an及前n項和Sn；(2)若_______，求數列{bn}的前n項和Tn.(注意：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)典例3【解析】

(1)設等差數列的公差為d，由a3＝6，a7＝14，可得：因此Tn＝4×2＋42×4＋43×6＋…＋4n·(2n)，4Tn＝42×2＋43×4＋44×6＋…＋4n＋1·(2n)，兩個等式相減得：－3Tn＝4×2＋42×2＋43×2＋…＋4n·2－4n＋1·(2n)?－3Tn＝2(4＋42＋43＋…＋4n)－4n＋1·(2n)角度4：存在探索問題典例4【解析】

(1)由Sn＝2an－2，則當n≥2時，Sn－1＝2an－1－2，兩式相減得：an＝2an－2an－1，則an＝2an－1，由S1＝2a1－2，則a1＝2，∴數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列，則an＝2n，當n≥2時，2Tn－1＝bn－1bn，兩式相減得：2bn＝bn(bn＋1－bn－1)，即bn＋1－bn－1＝2，∴數列{bn}的奇數項，偶數項分別成等差數列，∴數列{bn}是以b1＝1為首項，1為公差的等差數列，∴數列{bn}的通項公式bn＝n.即cn>cn＋1>1，顯然2n＋n＋1>2n－(n＋1)，則c2＝7>c3＝3>c4>…>1，∴存在n＝2，使得b7＝c2，b3＝c3，此時右邊為3的倍數，而2n不可能是3的倍數，故該不等式成立，綜上，滿足要求的bn為b3，b7.方法技巧·精提煉1．條件追溯題即“執果索因”，現尋找結論成立的必要條件，再通過驗證或認證找到結論成立的充分條件，在執果索因的過程中，常常會犯的錯誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當充分條件，應引起注意．2．結論探究題，選探索結論而后去證明結論，在探索過程中可以從特殊情形入手，通過觀察、分析、歸納、判斷來做一番猜測，得出結論，再就一般情形去認證結論．3．存在探索問題，通常假定題中的數學對象存在(或結論成立)或暫且認可其中一部分結論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此推出矛盾，則否定假設，否則，給出肯定的結論．加固訓練·促提高1.(2023·遵義模擬)等差數列{an}的前n項和為Sn，S3＝3a3＋2，寫出一個滿足條件的通項公式______________________________.2.(2023·雁塔區校級模擬)數列{an}中，an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定義：使數列{an}的前k項的積為整數的數k(k∈N*)叫做期盼數，則區間[1，2023]內的所有期盼數的和等于_____________.20264.(2023·陜西西安統考一模)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足a3＝6，_______.在①S3＝a6；②S4＝20；③a2＋a5＋a8＝30這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答(注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分．在答題前應說明“我選_______”)(1)求{an}的通項公式；(2)設bn＝2an＋an，求{bn}的前n項和Tn.【解析】

(1)設等差數列{an}的首項為a1，公差為d若選擇條件①S3＝a6，則由a3＝6，∴an＝2＋2(n－1)＝2n.若選擇條件②S4＝20，則由a3＝6，∴an＝2＋2(n－1)＝2n；若選擇條件③a2＋a5＋a8＝30，則由a3＝6，∴an＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)知，選擇三個條件中的任何一個，都有an＝2n，則bn＝2an＋an＝22n＋2n＝4n＋2n，∴{bn}的前n項和Tn＝(41＋42＋43＋…＋4n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)5.(2023·包河區校級模擬)已知數列{an}，{bn}滿足：a1＝1，a2＝t(t∈R)，bn＝anan＋1，n∈N*.(1)若{an}是等比數列，求{bn}的前n項和Tn.(2)若{bn}是等比數列，則