關于f的d上一族亞純函數的解析解

自文件頒布了mirada正式規定以來，人們繼續研究，取得了許多成果。一個自然更新是將miranda規則中的值范圍轉換為微分多項式值的條件。在這項工作中，我們討論了這個問題，得出了兩個結論，并推廣了文獻的結果。定理1設F是區域D上的一族亞純函數,a(z)在區域D上解析且a(z)≠0,z∈D,k是一個不小于3的正整數,A,B是兩個正實數,a0(z),a1(z),…,ak-1(z)在區域D上解析,如果?f∈F,f的零點重數至少為k,且對z∈D,滿足(1°)當f(k)(z)+ak-1(z)f(k-1)(z)+…a1(z)f′(z)+a0(z)f(z)=a(z)時,|f(z)|≥A;(2°)當f(z)=0時,0＜|f(k)(z)|≤B0＜∣∣f(k)(z)∣∣≤B,則F在D上正規.證?z0∈D,如果F在z0點不正規,則由文獻的定理1知,存在fn∈F?zn∈D?zn→z0,ρn→0+fn∈F?zn∈D?zn→z0,ρn→0+,使得gn(ξ)=ρ-knfn(zn+ρnξ)→g(ξ)(1)gn(ξ)=ρ?knfn(zn+ρnξ)→g(ξ)(1)其中收斂按球面距離內閉一致收斂,g是C上非常數亞純函數,滿足g#(ξ)≤g#(0)=k(B+1)+1ξ∈Cg#(ξ)≤g#(0)=k(B+1)+1ξ∈C這里g的零點重數至少為k,且g的級數有限.設ξ0為g(ξ)的一個零點,即g(ξ0)=0,則存在ξn→ξ0ξn→ξ0,使得n足夠大時gn(ξn)=ρ-knfn(zn+ρnξn)=0gn(ξn)=ρ?knfn(zn+ρnξn)=0所以fn(zn+ρnξn)=0.因為g(k)n(ξn)=f(k)n(zn+ρnξn)→g(k)(ξ0)g(k)n(ξn)=f(k)n(zn+ρnξn)→g(k)(ξ0)由條件(2°)知|g(k)(ξn)|≤B∣∣g(k)(ξn)∣∣≤B,即當g(ξ)=0時|g(k)(ξ)|≤B(2)考慮兩種情況ⅰ存在ξ*,使得g(k)(ξ*)=a(z0).此時必存在δ>0,使得g(ξ)在D2δ={ξ:|ξ-ξ*|<2δ}上解析,因此當n足夠大時,gn(ξ),g′n(ξ),…,g(k)n(ξ)在Dδ={ξ:|ξ-ξ*|<δ}上解析,又因為對ξ∈Dδ/2={ξ:|ξ-ξ*|<δ/2},有f(k)n(zn+ρnξ)+ak-1(zn+ρnξ)f(k-1)n(zn+ρnξ)+?+a0(zn+ρnξ)fn(zn+ρnξ)=g(k)n(ξ)+ak-1(zn+ρnξ)ρng(k-1)n(ξ)+?+a0(zn+ρnξ)ρkngn(ξ)→g(k)(ξ)所以g(k)n(ξ)+ak-1(zn+ρnξ)ρng(k-1)n(ξ)+…+a0(zn+ρnξ)ρkngn(ξ)-a(zn+ρnξ)在Dδ/2上一致收斂于g(k)(ξ)-a(z0),由Hurwitz定理知,存在ξn∈Dδ/2,ξn→ξ*,使得g(k)n(ξn)+ak-1(zn+ρnξn)ρng(k-1)n(ξn)+?+a0(zn+ρnξn)ρkngn(ξn)=a(zn+ρnξn)即f(k)n(ξn)+ak-1(zn+ρnξn)f(k-1)n(zn+ρnξn)+?+a0(zn+ρnξn)fn(zn+ρnξn)=a(zn+ρnξn)由條件(1°)及式(1)有g(ξ*)=∞,與g(k)(ξ*)=a(z0)矛盾.ⅱg(k)(ξ)≠a(z0).可假設a(z0)=1,則由式(2)及文獻的引理5知g(ξ)=ck！(ξ-β)kc≠1,β∈C,|c|≤B或g(ξ)=(ξ-c1)k+1k!(ξ+c)這里c1,c是兩個互相判別的復數.當g(ξ)=ck！(ξ-β)k時,經簡單計算有g#(0)≤{k/2,|β|≥1|c|,|β|≤1與g#(0)=k(B+1)+1矛盾.如果g(ξ)=(ξ-c1)k+1k!(ξ+c),g(ξ)只有一個重數為k+1的零點c1,而由條件(2°)及gn(ξ)=ρ-knfn(zn+ρnξ)知,當gn(ξ)=0時,0＜|g(k)n(ξ)|≤B,gn(ξ)只有重數為k的零點.由Hurwitz定理知,g(ξ)只有重數為k的零點,與g(ξ)有一個k+1重的零點c1矛盾,即F在z0點正規.定理2設F是區域D上的一族亞純函數,a(z)在區域D上解析且a(z)≠0,z∈D,A,B是正實數,k=2a0(z),a1(z)在區域D上解析,如果?f∈F,f的零點重數至少為2,且對z∈D滿足(1°)當f″(z)+a1(z)f′(z)+a0(z)f(z)=a(z)時,|f(z)|≥A;(2°)當f(z)=0時,0<|f″(z)|≤B;(3°)f的極點的重數至少為3,則F在D上正規.證?z0∈D,如果F在z0點不正規,則由文獻的定理1知,存在fn∈F?zn∈D,zn→z0,ρn→0+,使得gn(ξ)=ρ-2nfn(zn+ρnξ)→g(ξ)(3)其中收斂按球面距離內閉一致收斂,g是C上非常數亞純函數,滿足g#(ξ)≤g#(0)=2(B+1)+1ξ∈C這里g的零點重數至少為2,且g的級數有限.和定理1的證明相似,當g(ξ)=0時|g″(ξ)≤B|(4)考慮兩種情況:ⅰ存在ξ*,使得g″(ξ*)=a(z0).與定理1證明中的ⅰ相似,可得出g(ξ*)=∞,與g″(ξ*)=a(z0)矛盾.ⅱg″(ξ)≠a(z0).可假設a(z0)=1,則由文獻的引理5知,g必是下列形式之一:(a)g(ξ)=α(ξ-β)2,α?β∈C,α≠12;(b)g(ξ)=(ξ+c1)2(ξ-c2)22(ξ+c)2;(c)g(ξ)=(ξ-c1)32(ξ+c),這里c1,c2,c是互相判別的復數.當g(ξ)=α(ξ-β)2時,和定理1中的ⅱ的證明相似,可得出矛盾.當g(ξ)=(ξ+c1)2(ξ-c2)22