誤差理論與測量平差根底—誤差橢圓17.1點位誤差7.2誤差曲線與誤差橢圓7.3相對誤差橢圓本章教學(xué)內(nèi)容2本章學(xué)習(xí)的目的和要求了解點位誤差概念；掌握任意方向位差、位差極值和極值方向的計算；掌握誤差橢圓三要素計算公式;熟悉誤差曲線與誤差橢圓的關(guān)系，并掌握誤差橢圓的應(yīng)用。了解相對誤差橢圓概念。重點和難點誤差曲線與誤差橢圓的聯(lián)系與區(qū)別；誤差橢圓、相對誤差橢圓三要素計算。第7章誤差橢圓37.1點位誤差在平面控制網(wǎng)的平差計算中，往往要評定待定點的點位精度；待定點的點位精度通常用點位中誤差簡稱“點位誤差〞的大小來評定；以下介紹點位誤差的計算方法。47.1.1點位誤差的概念待定點的估值位置偏離其真實位置的距離P，簡稱為“真位差〞。OXYAP〔真〕P‘〔估〕?Y?X?P顯然有：5點位誤差的定義:

測量上把定義為“點位方差〞，并把叫做點位中誤差，簡稱“點位誤差〞。6點位中誤差的計算方法回憶條件平差、間接平差的計算縱、橫坐標(biāo)方差過程。1〕按縱、橫坐標(biāo)方差來求：7APP″?P?S?uXY顯然，有：由中誤差的定義可得：P′2〕按縱向、橫向上的位差來求8關(guān)于縱向、橫向誤差：Pβ?U為縱向誤差、?S為橫向誤差。?P為點位真誤差。各是由什么影響而來的？點位精度與測角、測邊精度的關(guān)系怎樣？ABSP1?βP2?P?u?S9PP’P’’ΔβΔUΔSΔP10不難看出：由方差定義，可得：3〕按任意兩個相互垂直的方向坐標(biāo)方差來求11由上討論可的如下結(jié)論點位方差大小不受坐標(biāo)系的影響；不同的坐標(biāo)系，其位差分量大小是不同的；點位位差可由任意兩個互相垂直的方向上的坐標(biāo)方差來求得。故，點位誤差計算公式為：127.1.2任意方向φ的位差說明：1〕任意方向φ指的是方位角為φ的方向！2〕為求P點在任一方向上的位差，需先找P在φ方向上的真誤差?φ與?X、?Y的函數(shù)關(guān)系；3〕真誤差?φ就是?P在φ方向上的投影值。4〕根據(jù)投影再求該方向的位差。13PP’?Y?X?PXYOP’’P’’’?φ方位角=φφ方位角=φφ由以下圖可得：14那么，任意方向位差公式：因為：按協(xié)因數(shù)傳播律有：157.1.3位差的極值和極值方向從上公式可看出：任意方向位差的大小與方向φ有關(guān)。上式是一個用X、Y方向上的位差表示的任意方向上的位差。x、y方向分別是φ等于0度、90度等時的特殊形式。16假設(shè)使位差到達極值，那么應(yīng)使：設(shè)φ0為位差的極值方向，那么有：17也可按下式求P點位差的極大、極小值：那么極大、極小值為：解上式得到兩個根，其中一個為極大方向φE，另一個為極小方向φF；用這兩個根分別帶到任意方向位差的公式就會得到極大值E和極小值F！18極大、極小方向的計算公式：197.1.4以E、F表示任意方向ψ上的位差說明：任意方向ψ指以E軸為起算的方向！〔與φ不同?！矱FPP’?P?E?FψP’’’P’’?ψ由上圖，可得：20以E、F表示的任意方向上的位差公式：即：由協(xié)因數(shù)傳播律得：21由公式可以看出：以不同的ψ和σψ為極坐標(biāo)的點的軌跡為一閉合曲線；這一曲線上的點至中心的連線就是連線方向的位差。故，將這條曲線稱為“誤差曲線〞，見以下圖。7.2誤差曲線與誤差橢圓221〕直觀：把各方向的位差清楚地圖解出來了；2〕任意方向ψ上的向徑0P就是該方向的位差σψ。3〕圖形是關(guān)于E軸和F軸對稱的。1、誤差曲線定義7.2.1誤差曲線232、誤差曲線圖的用途AB圖解點位點位中誤差、任意方向上的位差等。247.2.2誤差橢圓誤差曲線缺點：它不是一種典型曲線，故作圖不方便!降低了實用價值。又：它形狀與以E、F為長短半軸的橢圓很相似，故常用該橢圓來近似代替誤差曲線。誤差曲線優(yōu)點：能直觀地反映點位在任意方向上的位差；能根據(jù)圖找出點位在各個方向上的位差。25誤差橢圓與誤差曲線的關(guān)系如以下圖；任意方向的點位誤差：。P為切點，D為垂點?！矙E圓與曲線關(guān)系〕〔任意方向位差〕26FO1〕誤差橢圓作圖的方法τP〔X’，Y’〕P’P‘’PX’=EcosτY’=Fsinτ可見，P點的軌跡就是誤差橢圓！思考：向徑OP是不是OP方向的位差？272〕按誤差橢圓來求任意方向的位差其方法是：自橢圓作ψ方向的正交切線CD，C為切點，D為垂點，那么σψ=OD?！沧⒁猓害姚住貽P〕FOψCDP283〕證明上圖：σψ=ODODCOD=OC+CD=xcosψ+ysinψOD=Ecosτcosψ+Fsinτsinψ(p是橢圓上的一點〕P(x,y)ψpψτΨYX29OD=Ecosτcosψ+Fsinτsinψ兩邊平方，得：因為：故：OD=σψ即：30總結(jié)：1〕誤差曲線是誤差橢圓的垂足曲線；2〕即：先作ψ方向線，在垂直于該方向上作橢圓的切線，那么垂足與原點的連線長度就是ψ方向上的位差σψ。3〕在實踐中，常以誤差橢圓來表示待定點的點位誤差、假設(shè)在控制網(wǎng)上按一定比例尺繪出待定點的誤差橢圓，那么可全面地、清楚地反映出該網(wǎng)所有待定點的點位誤差分布狀況。317.3相對誤差橢圓誤差橢圓描述的是該點與點的精度關(guān)系；而待定點與待定點之間的精度關(guān)系那么需用相對誤差橢圓描述。思考：平面控制網(wǎng)中，兩待定點間的相對位置是通過哪些量表示的？32兩點的坐標(biāo)差：坐標(biāo)差的協(xié)因數(shù)：代入誤差橢圓的公式，那么求得相對誤差橢圓的三個參數(shù)：33根據(jù)橢圓三個參數(shù)，即可繪制相對誤差橢圓。值得注意的是：誤差橢圓是以待定點為極來繪制的；而相對誤差橢圓那么是以兩個待定點連線的中點為極來繪制的！34例：某控制網(wǎng)誤差橢圓圖