2022北京門頭溝初二（上）期末

數學

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.百的相反數是（）

A.V3B.—^3C.±6DT

2.以下四大通訊運營商的企業圖標中，是軸對稱圖形的是（）

◎Q（D

中國移動中國電信中國網通中國聯通

3.如果分式g的值等于o,那么x的值是（）

龍+i

A.x=-lB.x=3C.x>-\D.XH3

4.下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.13人中至少有2個人生日在同月

B.任意擲一枚質地均勻的硬幣，落地后正面朝上

C.從一副撲克牌中隨機抽取一張，抽到的是紅桃A

D.以長度分別是3cm,4cm,6cm的線段為三角形三邊，能構成一個直角三角形

5.下列等式成立是（）

Q+1a—2a+1。+1b-a,aa~

A，b+\~bB.-----=——C.----=-1D—=—

-2bba-bbh2

6.下列計算正確的是（)

A(一國=3eg=2也D.3x/2=7372

分別以A,C為圓心，大于』AC的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于

7.如圖,在△ABC中，AB=AC,NA=36。,

2

點M,N,作直線分別交AB,AC于點。，E,連接CD有以下四個結論：①NBC￡）=NAC￡>=36。；②A。

=CD=CB；③ABCD的周長等于AC+2C；④點Z）是線段AB的中點.其中正確的結論是（）

A

E

M9

BC

A.①②B.③④C.??③D.①②③④

8.如圖，在2x2正方形網格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中的AABC為格

點三角形，在圖中可以畫出與△ABC成軸對稱的格點三角形的個數為（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.4的算術平方根是.

10.如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是.

11.如圖，已知△ABC,通過測量、計算得△ABC的面積約為cM（結果保留一位小數）.

12.一個轉盤盤面被分成6塊全等的扇形區域，其中2塊是紅色，4塊是藍色.用力轉動轉盤，當轉盤停止后，指針

對準紅色區域的可能性大小是.

13.一個等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm,則它的周長為cm.

14.如圖，數軸上點A,8對應的實數分別是-1,2,點C在線段AB上運動，如果點C表示無理數，那么點C可以

是（寫出一個即可）.

AB

―I----------1-----------1-----------1----------1-------?

-2-1012

15.如圖，。為AABC內一點，ADLCD,AQ平分/CAB,且/如果AB=10,AC=6,那么CQ

c

D

B

16.如圖，在△ABiG中,ACi^BtCi,NG=20。,在8G上取一點C2,延長ABi到點民，使得3出2=8心2,在

82c2上取一點C3,延長A%到點&,使得&&=B2C3,在B3C3上取一點。4,延長Aa到點&,使得%&=

B3c......按此操作進行下去，那么第2個三角形的內角NAB2c2=°；第〃個三角形的內角/AB“C“=

C,

三、解答題（本題共68分，第17題6分，第18題8分，第19~25題，每小題5分，第26題6分，第27題7

分，第28題6分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算：（1）+（2）.

x+2x+2{a）

18計算：（1）x/S—y/27+|V2-3|；（2）（2+6）（2—豆）—+夜.

x3,

19.解方程：—?-：一示=1.

X-J（x-3）

20.如圖，AD,BC相交于點。，AO=DO.

（1）如果只添加一個條件，使得AA。8g△QOC,那么你添加的條件是一（要求：不再添加輔助線，只需填一

個答案即可）；

（2）根據已知及（1）中添加的一個條件，證明A8=￡>C.

21.已知f+2x-5=0，求代數式（x+1彳2的值.

（x-1）x~-x

22.學習分式運算過程中，老師布置了這樣一個任務：依據下面的流程圖，計算二-津"

a-ha~-b~

（1）依據上面流程圖計算，工-考y時，需要經歷的路徑是一（只填寫序號）；

a-ba-b~

（2）依據（1）中路徑寫出正確解答過程.

23.下面是小麗同學設計的“作30。角”的尺規作圖過程.

已知：如圖1,射線OA.

求作：ZAOB,使/408=30。.

0A

圖1

作法:如圖2,

①在射線OA上任取一點C；

②分別以。，C為圓心，OC長為半徑作弧，兩弧在射線的上方交于點O,作射線OD,并連接C。；

③以。為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA,。。于點E,F：

④分別以E,F為圓心，以大于的同樣長為半徑作弧，兩弧在NAO。內部交于點B；

2

⑤作射線OB；

圖2

根據小麗設計的尺規作圖過程，解答下列問題：

（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖2（保留作圖痕跡）；

(2)補全下面證明過程：

證明：連接BE,BF.

'：OC=OD=CD,

△0C￡＞是等邊三角形.

NCOD=°.

又：OE=0F,BE=BF,OB=OB,

：.△OEB^/\OFB()(填推理依據).

NEOB=NFOB()(填推理依據).

Z.ZAOB=-ZCOD=30°.

2

.?.N4O8就是所求的角.

24列方程解應用題：

第24屆冬奧會將于2022年2月在中國北京和張家口舉行.為了迎接冬奧會，某公司接到制作12000件冬奧會紀念

品的訂單.為了盡快完成任務，該公司實際每天制作紀念品的件數是原計劃每天制作紀念品件數的1.2倍，結果提

前10天完成任務，求原計劃每天制作多少件冬奧會紀念品？

25.已知，如圖，在△ABC中，ZC=90°,A。平分NBAC交BC于。，過。作。E〃AC交AB于E.

(1)求證：AE=DE；

(2)如果AC=3,AD=2y/3,求AE的長.

26.閱讀理解：

材料：小華在學習分式運算時，通過具體運算：一［=1-4，工=」—!,J-=L-L

1x222x3233x434

1_11

4^5-4-5

1_1_1

發現規律:(〃為正整數)，并證明了此規律成立.

+nH+1

1111,1111111,19

應用規律，快速計算:

1x22x33x49x10223349101010,

根據材料，回答問題:

在學習二次根式運算時，小華根據分式學習積累的活動經驗，類比探究二次根式的運算規律，并解決問題.請將下

面的探究過程，補充完整.

(1)具體運算：

特例i：Ji+4+-^=i+—=i+i--

Vl2221x22

特例2：Jl+^+^=l+-=l+--l

V22322x323

i44

特例3：++

3242

特例4：—(填寫一個符合上述運算特征的例子).

L11

(2)發現規律：Jl+r+7———("為正整數)，并證明此規律成立.

\n~(〃+1)-

(3)應用規律：

①計算：卜￥*卜*"+J+**…*卜卜A卜*春;

②如果卜3系/+*+*+???+『言^舟+―舟+*=7,那么〃=一.

27.已知，在AABC中，N8AC=30。，點。在射線BC上，連接A￡>,/。4。=。，點。關于直線AC的對稱點為

E,點E關于直線43的對稱點為凡直線E尸分別交直線AC,A8于點M,N,連接4尸，AE,CE.

(1)如圖1,點。在線段BC上.

①根據題意補全圖1;

②NAEF=(用含有a的代數式表示)，NAMF=°；

③用等式表示線段M4,ME,MF之間的數量關系，并證明.

(2)點。在線段8C的延長線上，且/。。<60。，直接用等式表示線段MA,ME,M尸之間的數量關系，不證

明.

a>0)

28.對于任意兩個非零實數a,b,定義運算③如下：a?h=\

a<0)

2

如：203=-(一2慮3=-2+3=1.

3

根據上述定義，解決下列問題：

（1）V<6?^3=,V5j?V5=；

（2）如果（W+l）區（12一工）=1,那么％=_

⑶如果（X一3）8x=（一2）咨求X的值.

參考答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.百的相反數是（）

A.GB.一百C.±73D.B

3

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據相反數的定義（只有符號不同的兩個數互為相反數）進行求解即可.

【詳解】解：的相反數是-

故選：B.

【點睛】本題主要考查相反數的定義，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵.

2.以下四大通訊運營商的企業圖標中，是軸對稱圖形的是（）

中國移動中國電信中國網通中國聯通

【答案】D

【解析】

【分析】根據軸對稱圖形的定義（在平面內沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形）進行判斷即可

得.

【詳解】解：根據軸對稱圖形的定義判斷可得：只有D選項符合題意，

故選：D.

【點睛】題目主要考查軸對稱圖形的判斷，理解軸對稱圖形的定義是解題關鍵.

3.如果分式二三的值等于0,那么x的值是（）

x+\

A.X=-1B.X=3c.x>-\D.X/3

【答案】B

【解析】

【分析】根據分式的值為0的條件可得X-3=0,X-1H0,即可求得答案

【詳解】解：?.?分式上鄉的值等于0,

X+1

x-3=0,x—IwO

:.x=3

故選B

【點睛】本題考查了分式的值為0的條件，解題的關鍵是理解分式的值為0的條件是分子為0,分母不為0.

4.下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.13人中至少有2個人生日在同月

B.任意擲一枚質地均勻的硬幣，落地后正面朝上

C.從一副撲克牌中隨機抽取一張，抽到的是紅桃A

D.以長度分別是3cm,4cm,6cm的線段為三角形三邊，能構成一個直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】根據確定事件和隨機事件的定義來區分判斷即可，必然事件和不可能事件統稱確定性事件；必然事件：在

一定條件下，一定會發生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會發生的事件稱為不可能事

件；隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件.

【詳解】解：A.13人中至少有2個人生日在同月，是必然事件，故該選項符合題意；

B.任意擲一枚質地均勻的硬幣，落地后正面朝上，是隨機事件，故該選項不符合題意；

C.從一副撲克牌中隨機抽取一張，抽到的是紅桃A,是隨機事件，故該選項不符合題意；

D.因為3?+4?=25,6?=36,3?+4?#62,則以長度分別是3cm,4cm,6cm的線段為三角形三邊，能構成一個直

角三角形，是不可能事件，故該選項不符合題意；

故選A

【點睛】本題考查了確定事件和隨機事件的定義，熟悉定義是解題的關鍵.

5.下列等式成立的是（）

b-a,

C.-------=一1D

a-bbb2

【答案】C

【解析】

【分析】直接根據分式的性質進行判斷即可

詳解】解：A."wf,故選項A不符合題意;

b+\b

B.311片第1,故選項8不符合題意；

-2bb

h—a—（ci—b）人口工.

C.-----=——--=-1,故選項C符合題意；

a-ba-b

D.故選項。不符合題意；

bb2

故選C

【點睛】本題主要考查了分式性質的應用，熟練掌握分式性質是解答本題的關鍵

6.下列計算正確的是（）

A.(-6『=3D.372=^/3^2

【答案】A

【解析】

【分析】根據二次根式的性質和運算法則逐一計算可得.

【詳解】A、=3此選項計算正確，符合題意；

B、,(-3)2=3此選項計算錯誤,不符合題意；

c、、口=交此選項計算錯誤，不符合題意；

\22

。、30=J^此選項計算錯誤，不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題主要考查了利用二次根式的性質化簡以及二次根式的加減運算，準確利用二次根式的性質計算是解題

的關鍵.

7.如圖，在△ABC中，AB=AC,乙4=36。，分別以A,C為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于

2

點M,N,作直線MN,分別交48,AC于點。，E,連接CD有以下四個結論：①/BC￡>=/ACO=36。；②A。

=CD=CB：③ABCZ)的周長等于AC+BC；④點。是線段A8的中點.其中正確的結論是()

C.??③D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】根據AB=AC,/A=36。，可得NAC5=N8=72。,根據作圖可知MN是AC的垂直平分線，進而可得

AD=DC,ZZ)G4=ZZMC=36°,進而可得NOCB=NACB—NACr>=36。，即可判斷NB￡>C=72°,進而

判斷CD=C3,即可判斷①②③正確，若④正確，則可得是等邊三角形，進而得出矛盾，判斷④不正確

【詳解】解：???AB=AC,NA=36。，

/.ZACB=ZB=1(180°-ZA)=72°,

根據作圖可知MN是AC的垂直平分線,

AD=DC,

NOC4=ND4C=36。，

.：.DA=DC,ZBDC=ZDAC+ZDCA=72°

NDCB=ZACB-ZACD=36。

:./CDB=4B=7r

：.ZBCD=ZACD=36°,AD=CD=CB-,；

故①②正確

ABCD的周長等于BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=AC+BC;

故③正確

若點。是線段AB的中點

：.AD=DB

?;DC=DA=BC

:.DB=DC=BC

.?.△OBC是等邊三角形

而ZB=720*60°

點。不是線段AB的中點

故④不正確

故正確的有①②③

故選C

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，垂直平分線的性質與作圖，掌握等腰三

角形的性質是解題的關鍵.

8.如圖，在2x2正方形網格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中的△ABC為格

點三角形，在圖中可以畫出與△ABC成軸對稱的格點三角形的個數為（）

【答案】D

【解析】

【分析】在網格中畫出軸對稱圖形即可.

【詳解】解：如圖所示，共有5個格點三角形與AABC成軸對稱,

故選：D

【點睛】本題考查了軸對稱，解題關鍵是熟練掌握軸對稱的定義，準確畫出圖形.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.4的算術平方根是.

【答案】2.

【解析】

【詳解】試題分析：?；22=4，，4算術平方根為2.故答案為2.

考點：算術平方根.

10.如果二次根式有意義，那么x取值范圍是.

【答案】x,5

【解析】

【分析】根據二次根式有意義的條件“被開方數大于等于0”得到關于x的不等式，解不等式即可求解.

【詳解】解：由題意得x-5K）,

解得史5.

故答案為：x>5

【點睛】本題考查了二次根式意義的條件，熟知二次根式被開方數大于等于0是解題關鍵.

11.如圖，已知AA8C,通過測量、計算得AABC的面積約為。層（結果保留一位小數）.

【答案】3.9

【解析】

【分析】過點4作的延長線于點。，測量出8C,的長，再利用三角形的面積公式即可求出△A8C的面

積.

【詳解】解：過點C作C。，AB的延長線于點￡>,如圖所示.

4

D,BC

經過測量，BC=2.2cm,AD=3.5cm,

SAABC--AB*CD=—X2.2X3.5=3.85~3.9(cm2).

22

故答案為：3.9.

【點睛】本題考查了三角形的面積，牢記三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半是解題的關鍵.

12.一個轉盤盤面被分成6塊全等的扇形區域，其中2塊是紅色，4塊是藍色.用力轉動轉盤，當轉盤停止后，指針

對準紅色區域的可能性大小是.

【答案】|

【解析】

【分析】根據簡單概率公式進行計算即可.

【詳解】解：根據題意，共有6塊全等的扇形區域，其中2塊是紅色，4塊是藍色.

21

則指針對準紅色區域的可能性大小是:二-

63

故答案為：-

3

【點睛】本題考查了幾何概率，立即題意是解題的關鍵.

13.一個等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm,則它的周長為cm.

【答案】17

【解析】

【分析】題中沒有指明哪個底哪個腰，故應該分兩種情況進行分析，注意利用三角形三邊關系進行檢驗.

【詳解】解：當7為腰時,周長=7+7+3=17cm；

當3為腰時，因為3+3V7,所以不能構成三角形；

故三角形的周長是17cm.

故答案為：17.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，在解題時要進行分類討論.

14.如圖，數軸上點A,8對應的實數分別是-1,2,點C在線段AB上運動，如果點C表示無理數，那么點C可以

是(寫出一個即可).

AB

—I---------1---------1-----------1----------1------?

-2-1012

【答案】、歷（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據點C在線段AB上運動，得到點C表示的數的取值范圍，寫出一個無理數即可.

【詳解】解：???點C在線段A8上運動，

.?.點C表示的數在-I和2之間，

.?.點C表示的數可以是夜（答案不唯一）.

故答案為：V2（答案不唯一）

【點睛】本題考查了數軸與實數的關系，無理數大小的估算，根據題意估算出點C表示的數的取值范圍是解題關

鍵.

15.如圖，。為AABC內一點，ADLCD,A。平分/CAB,且NDCB=NB.如果AB=10,AC=6,那么CQ=

【答案】2

【解析】

【分析】延長C。交48于點E,根據垂線及角平分線的性質可得NC4￡>="AE，ZCDA=ZEDA,然后利用

全等三角形的判定定理和性質可得AC=A￡=6,再由等角對等邊可得8E=CE=4，由此即可得出線段長度.

【詳解】解：如圖所示：延長C。交AB于點E,

???AO平分NCAB,

二NCAD=/DAE,

'：ADVCD,

???NCZM=N￡ZM=90。,

在418與八4￡0中，

NCAD=ZDAE

<AD=AD,

NCDA=ZEDA

二A4coMAAEO,

AC=AE=6,CD=DE,

.*?BE=AB-AE=A，

?：ZDCB=/B,

，BE=CE=4,

：.CD=-CE=2,

2

故答案為：2.

【點睛】題目主要考查角平分線和等角對等邊的性質，全等三角形的判定和性質等，理解題意，作出相應輔助線是

解題關鍵.

16.如圖,在△ABiG中,ACi=BiCi,ZCi=20°,在SG上取一點C2,延長ABi到點&,使得8出2=8仁2,在

B2c2上取一點C3,延長A%到點后,使得&83=82。3,在B3c3上取一點C4,延長A&到點&,使得以84=

&C4........按此操作進行下去，那么第2個三角形的內角NAB2c2=°;第〃個三角形的內角NA8"C“=

【解析】

【分析】先根據等腰三角形的性質求出NC山洪的度數，再根據三角形外角的性質及等腰三角形的性質分別求出

NBiB2c2,/C383B2及/C48382的度數，找出規律即可得出/A&C“的度數.

【詳解】解：△ASG中，AG=5iG,NG=20。，

180°-ZC1800-20°

/GBiA=80°,

22

'：B\B2=B\C2,,NGB1A是△B182C2的外角,

.,ZC.B.A80°

??NBiB2c2=------------=-=---4--0°；

22

同理可得，

ZC3B3B2=20°,ZC4B3B2=10°,

80。

ZABnCn—

2"~'

故答案為：40,亍打.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質及三角形外角的性質，根據題意得出/?B2c2,NC3B3B2及NC4B3B2的度

數，找出規律是解答此題的關鍵.

三、解答題（本題共68分，第17題6分，第18題8分，第19~25題，每小題5分，第26題6分，第27題7

分，第28題6分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算：（1）衛+工；（2）4”6+（心］.

x+2x+2Ia1

【答案】⑴3；（2）4a3

【解析】

【分析】（1）根據同分母分式加法法則計算即可；

（2）根據分式的乘方和除法法則計算即可.

【詳解】解：（1）原式=包邙，

x+2

_3（x+2）

x+2'

=3.

（2）原式=4加+勺，

=4ab',

=44.

【點睛】本題考查了分式的運算，解題關鍵是熟練掌握分式運算法則，準確計算.

18.計算：（1）x/8--^27+|>/2—3|；（2）（2+6）（2-6）-+.

【答案】（1）夜；（2）-2

【解析】

【分析】（1）根據二次根式的性質，求一個數的立方根，化簡絕對值，進而根據實數的性質進行計算即可；

（2）根據平方差公式，二次根式的除法運算進行計算即可

【詳解】⑴解：原式=20-3+3-0，

=>/2?

（2）解：原式=1—3,

=—2.

【點睛】本題考查了實數的混合運算，二次根式的除法運算，掌握二次根式的性質以及二次根式的運算法則是解題

的關鍵.

x3,

19.解方程：一衣=?

【答案】x=4

【解析】

【分析】方程兩邊同時乘以（x-3）2去掉分母，把分式方程化為整式方程，求出方程的解并檢驗后即得結果.

V".,3,A

【詳解】解：口口-3）--^^"-3）-=1?-3）-,

X（X-3）-3=（X-3『，

x"-3x—3=X?—6x+9>

3x=12,

x=4.

檢驗：當x=4時，（x-3）~*0

；?x=4是原方程的解.

*1?原方程的解是x=4.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基礎題目，熟練掌握求解的方法是解題的關鍵.

20.如圖，AD,BC相交于點O,AO=DO.

（1）如果只添加一個條件，使得△AOBg/\OOC,那么你添加的條件是一（要求：不再添加輔助線，只需填一

個答案即可）；

（2）根據已知及（1）中添加的一個條件，證明AB=OC.

【答案】（1）OB=OC（或NA=ND，或ZB=NC）；（2）見解析

【解析】

【分析】（1）根據SAS添加OB=OC即可；

（2）由（1）得AAOb絲△OOC,由全等三角形的性質可得結論.

【詳解】解：（1）添加的條件是：OB=OC（或乙4=",或4B=NC）

證明：在AAQB和中

AO=B0

<NAOB=Z.COD

BO=CO

所以，△AOB四△DOC

（2）由（1）知，AAOB絲△OOC

所以，AB=DC.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答本題的關鍵

21.已知f+2%—5=0，求代數式（x+12的值.

Ix-1）x-x

【答案】5

【解析】

【分析】先根據分式的加減計算括號內的，同時將除法轉化為乘法，進而根據分式的性質進行化簡，最后根據已知

式子的值，整體代入求值即可.

【詳解】解：（x+i—+4^

Vx-1）廠一工

=-（x+l）（l）__3__+X-2

X—1X—1x~—X

X2-1-3x-2

=----------^-―-----，

x-lX~-X

_X2-4X-2

X—1—X

_（x+2）（九一2）x（x-1）

--------------------,

x—\x-2

=（x+2）x,

=x2+2x-

當f+2x-5=0時，f+2x=5，

原式=5.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，掌握分式的性質以及因式分解是解題的關鍵.

22.學習分式運算過程中，老師布置了這樣一個任務：依據下面的流程圖，計算一彳-W

a-ba

（1）依據上面流程圖計算一一-一^?時，需要經歷的路徑是—（只填寫序號）；

a-bcr-b

（2）依據（1）中路徑寫出正確解答過程.

【答案】（1）②④；（2）見解析

【解析】

【分析】（1）觀察到1-二j分母不一樣得經過②，作差得需要經過④;

a-ba--b2:+：7（。一一”/*7）

（2）先通分，化為同分母分式，再相減.

【詳解】解：⑴根據￡一言的形式可選②,

*2

a2aba+ab-labt與

力-7^F=g+6)(“叫‘選④'

故答案是：②④;

a2ah

(2)原式=力

(。+人)(。-6)

〃(Q+人)2ab

(Q+〃)(〃-〃)(〃+b)(a-Z?)

_a2+ab-2ab

(a+b)(a-b)'

a2-ah

(a+b)(〃-Z?)

a(a-b)

(〃+/?)(〃-/?)

a

a+b

【點睛】本題考查了分式運算，解題的關鍵是掌握分式運算的基本步驟.

23.下面是小麗同學設計的“作30。角”的尺規作圖過程.

已知：如圖1,射線。4.

求作：ZAOB,使NA03=30。.

O-

圖1

作法：如圖2,

①在射線OA上任取一點C；

②分別以。，。為圓心，。。長為半徑作弧，兩弧在射線OA的上方交于點。，作射線OQ,并連接CQ；

③以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線04。。于點EF；

④分別以E,尸為圓心，以大于尸的同樣長為半徑作弧，兩弧在/A。。內部交于點以

2

⑤作射線OB；

.../AOB就是所求的角.

D,

0CA

圖2

根據小麗設計的尺規作圖過程，解答下列問題：

（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖2（保留作圖痕跡）；

（2）補全下面證明過程：

證明：連接BE,BF.

,/OC=OD=CD,

△occ是等邊三角形.

...ZCOD=

XVOE=OF,BE-BF,OB=OB,

AOEB^/XOFB（___）（填推理依據）.

/EOB=NFOB（____）（填推理依據）.

ZAOB=-ZCOD=30。.

2

/?NAOB就是所求的角.

【答案】（1）見解析；（2）60°,SSS,全等三角形對應角相等

【解析】

【分析】（1）根據題意，③以。為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線040。于點E,F；④分別以E,F為

圓心，以大于,七廠的同樣長為半徑作弧，兩弧在/A0。內部交于點8；⑤作射線0&則NA0B就是所求的角.

2

（2）根據等邊三角形的性質，三角形全等的性質與判定推理即可

【詳解】（1）補全作圖如下，

D

（2）證明：連接BE,BF.

'：OC=OD=CD,

△ocn是等邊三角形.

/.ZC（9D=60o.

又,：OE=OF,BE-BF,OB=OB,

：.△OEB^/XOFBCSSS'）（填推理依據）.

...NEOB=/FOB（全等三角形對應角相等）（填推理依據）.

ZAOB=-ZCOD=30°.

2

.?.N4O8就是所求的角.

故答案為：60°,SSS,全等三角形對應角相等

【點睛】本題考查了基本作圖-作角平分線，三角形全等的性質與判定，掌握基本作圖是解題的關鍵.

24.列方程解應用題：

第24屆冬奧會將于2022年2月在中國北京和張家口舉行.為了迎接冬奧會，某公司接到制作12000件冬奧會紀念

品訂單.為了盡快完成任務，該公司實際每天制作紀念品的件數是原計劃每天制作紀念品件數的1.2倍，結果提

前10天完成任務，求原計劃每天制作多少件冬奧會紀念品？

【答案】200件

【解析】

【分析】設原來每天制作x件，根據原來用的時間-現在用的時間=10,列出方程，求出x的值，再進行檢驗即

可.

【詳解】解：設原計劃每天制作x件冬奧會紀念品，則實際每天制作1.2%件冬奧會紀念品.

1200012000

根據題意，得:=10.

x\.2x

解得：x=200.

經檢驗，x=200是原方程的解，且符合題意.

答：原計劃每天制作200件冬奧會紀念品.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程.

25.已知，如圖，在△ABC中，ZC=90°,AO平分NBAC交8c于。，過。作。E〃AC交AB于E.

(1)求證：AE=DE-,

(2)如果4c=3,AD=26求AE的長.

【答案】(1)見解析；(2)2

【解析】

【分析】(1)利用平行線的性質和角平分線的性質得出即可；

(2)過點。作。FJ_AB于尸，求出。/=￡>C=e，設AE=x,根據勾股定理列方程即可.

【詳解】解：(1)"JDE//AC,

：.ZCAD=ZADE.

?.?4。平分/區4(?,

：.ZCAD=ZEAD.

：.ZEAD=ZADE.

：.AE=DE.

(2)過點。作。尸_LAB于F.

VZC=90°,AC=3,AD=26

二在RtAACC中，由勾股定理得AC2+DC2=AD2.

DC=B

?.?AD平分NBAC,

：.DF=DC=43.

又?..4￡>=AD,ZC=ZAFD=90°,

:.RtADACmRtADAF.

.\AF=AC=3.

???R小DEF中，由勾股定理得EF2+DF2=DE2.

設AE=x,則EF=3-x,

.\(3-X)2+(>/3)2=X2,

/.x=2.

?\AE=2.

c

D

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理，解題關鍵是利用角平分線和平行線證明等腰，設未知數，依據

勾股定理列方程.

26.閱讀理解：

材料：小華在學習分式運算時，通過具體運算：」=111111

1x22'2^3~2~3'3^4-3-4

111

4^5-4-5

111

發現規律：=為正整數）并證明了此規律成立.

1111,1111111

應用規律，快速計算:...-1~―11―1―,■?―|—...—_14磊

1x22x33x49x1022334910

根據材料，回答問題:

在學習二次根式運算時，小華根據分式學習積累的活動經驗，類比探究二次根式的運算規律，并解決問題.請將下

面的探究過程，補充完整.

（1）具體運算:

特例1：1++=1+-=1+1--，

FF1x22

特例2：Jl+5+?=l+1=1+」

2x323

1J11

+

一--

特例3：3X44

3242

特例4：—（填寫一個符合上述運算特征的例子）.

,11

（2）發現規律：JI+F+T——r=一（〃為正整數），并證明此規律成立.

V〃一（n+1）

（3）應用規律：

①計算：+，1+?卜"4；

②如果品…+反泉+油尸=那么〃=

1+卜城1

【答案】（1）=i+_L=1+l.l(2)1+--(3)①而；②5

4x545n〃+1

【解析】

【分析】（1）根據前3個例題寫出一個符合上述運算特征的例子即可;

111

(2)根據材料中的一廠二=-----二進行計算即可；

(3)結合(1)(2)的規律進行計算即可

【詳解】解：(1)Jl+4+4=l+—=1+---(答案不唯一)；

V42524x545

]111

-7----\=[t---------；

⑵、T+n+1)2〃(〃+1)nk+1，

故答案為:1H--------r

n〃+1

、1111C1Y2

證明：v1+―+7---Q=l+---------7+-77\

n"(〃+1)\n〃+*+

-12

____1_+_2

=1+

n(n+l)+

2

n(n-l)

]

1+

n+l)2

nn[n-\)nn+1

故答案為：1+-----

n〃+1

⑶①卜*+*+卜*+*■*+系…+相+/

=(1+1——)+(1+，一一)+(1+———)+---+(1+----)+(1+------)

2233489910

111111111、

=n9+z(1------1----------1----------F???H----------1----------),

2233489910

=(9+1)——

10

=10-—,

10

99

10

②Jl+(+5+J1+11

齊+記+???+

'號+舟+卜舟+A4

貝U(14-1--)4-(1H-----)+(1H-----)4-???+(1H----------)+(1H-------)==n--

22334n—2n-\n—\n5

tnZ11111111、1

\)22334n-1n5

11

/.n——=n——

n5

—5

【點睛】本題考查了分式的加減運算，完全平方公式的計算，二次根式的性質，掌握分式的性質，以及

111

—廠二=—1■是解題的關鍵.

〃x(〃+1)n77+1

27.已知，在AABC中，NBAC=30。，點。在射線8C上，連接AO,NCAE>=a，點。關于直線AC的對稱點為

E,點E關于直線的對稱點為F,直線EF分別交直線AC,A8于點M,N,連接4F,AE,CE.

(1)如圖1,點。在線段BC上.

①根據題意補全圖1:

@ZAEF=____(用含有a的代數式表示)，ZAMF=°；

③用等式表示線段M4,ME,MF之間數量關系，并證明.

(2)點。在線段8C的延長線上，且/C4OV60。，直接用