導數及其應用1．1變化率與導數1．1．1變化率問題潘樹春課時目標：1．理解平均變化率的概念；2．了解平均變化率的幾何意義；3．會求函數在某點處附近的平均變化率.知識建構１．探究：如圖（１）是函數h(t)=hto-4.9t2+6.5thto⑴運動員在這段時間內是靜止的嗎？（１．１．１圖（１））⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？結合圖形可知，，所以，雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度________________２．平均變化率概念一般地，函數f(x)在區間上的平均變化率為說明：（１）,(這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣)則平均變化率為;（２）幾何意義：兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的_____________________；（３）平均變化率反映了在函數在某個區間上____________，或說在某個區間上曲線陡峭的程度.導學導練知識點１平均變化率的計算公式例1已知s=，（１）計算t從3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒各段內平均速度；（２）觀察計算的結果，總結規律.點撥：根據計算平均辯護率的公式進行計算，在第（２）問中主要觀察計算結果變化的趨勢．變式一質點的運動方程為，則在一段時間內相應的平均速度為．A．3+6B.-3+6C.3-6D.-3-6知識點２函數平均變化率的計算例２已知函數f(x)=的圖象上的點及臨近的點,則．點撥：嚴格按照平均變化率的計算公式進行.變式求在附近的平均變化率.知識點３概念的辨析例３一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么為．Ａ．從時間到時，物體的平均速度；Ｂ．在時刻時該物體的瞬時速度；Ｃ．當時間為時物體的速度；Ｄ．從時間到時,物體的加速度點撥：在概念中要注意每一個字母表示的意義，這對后面的學習和定義的理解很重要．變式一物體運動方程是,則2s到（2+）s這段時間內位移的增量為．A.8B.8+2C.8+2()D.4+2()作業設計1．一物體運動方程是，物體從1s到3s的平均速度是米/秒．A.30B.20C.40D.452.在曲線的圖象上取一點（1，1）及鄰近一點,則等于．A.B.C.D.3.函數，自變量x由改變到時，函數的改變量為．A．B.C．D.4.在平均變化率的定義中，自變量的增量是．A．B．C．D．5.已知函數的圖象上一點及附近一點，則等于__．A． B．C．D．6.如果質點按規律運動，則在一小段時間中相應的平均速度是．A．B．C．D．7.質點運動規律為，則在時間中相應的平均速度為．8.設函數，求：（1）當自變量從1到1.1時，自變量的增量；（2）當自變量從1到1.1時，函數值的增量；（3）當自變量從1到1.1時，函數的平均變化率．9.過曲線上兩點和作曲線的割線，并求出當時割線的斜率.１．１．２導數的概念課時目標：1．了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；2．理解導數的概念，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵；3．會求函數在某點的導數．知識建構１．瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？提示：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值.２．導數的概念設函數在處附近有定義，當自變量在處有增量時，則函數相應地有增量，如果時，與的比（也叫函數的平均變化率）有極限，即無限趨近于某個常數，我們把這個極限值叫做函數在處的導數，記作，即注意:(1)函數應在點及其附近有定義，否則導數不存在.(2)在定義導數的極限式中，趨近于0可正、可負,但不為0，而可能為0.(3)是函數對自變量在范圍內的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點（）及點）的____________．(4)導數是函數在點處的瞬時變化率，它反映函數在點處_____________________．(5)導數是一個局部概念，它只與函數在及其附近的函數值有關，與____________．(6)在定義式中，設，則，當趨近于0時，趨近于，因此，導數的定義式也可寫成(7)若極限不存在，則稱函數在點處____________．導學導練例1（1）求函數在處的導數.（2）求函數在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數．點撥：按照導數的定義，在自變量增量趨近于0時，對函數值的增量與自變量增量的比值求極限，即為函數在該點處的導數.例2函數滿足，則當x無限趨近于0時，（1）（2）點撥：導數等于縱坐標的增量與橫坐標的增量之比的極限值.變式設在處可導，則當無限趨近于0時，（1）無限趨近于1，則=___________;（2）無限趨近于1，則=_______;（3）＝________.例3求函數的導數.點撥：按照導數的定義求函數的導數,計算過程中注意運算和求極限.變式已知,求.作業設計1.在導數定義中，自變量的改變量______.A．>0B.<0C.=0D.2.已知函數在處的導數為1，則_______.A．3B．C．D．3.已知函數,且,則的值為_______.A.1 B.C.－1 D.04.在可導，則=_________.A．與、都有關B．僅與有關而與無關C．僅與有關而與無關D．與、都無關5.一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么為_______.Ａ．從時間到時，物體的平均速度Ｂ．在時刻時該物體的瞬時速度Ｃ．當時間為時物體的速度Ｄ．從時間到時物體的平均速度6.設函數在處可導，則______.7.已知質點M按規律做直線運動(位移單位：cm，時間單位：s)，(1)當時，求.(2)當時，求.(3)求質點M在時的瞬時速度.8．求在點處的導數.9.若． （1）求的值.（2）求的值.１．１．３導數的幾何意義課時目標1．了解平均變化率與割線斜率之間的關系；2．理解曲線的切線概念；3．通過函數的圖像直觀地理解導數的幾何意義，并會用導數的幾何意義解題.知識建構１.曲線的切線及切線的斜率當點沿著曲線無限接近點P，即Δx→0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.容易知道，割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：（１）曲線在某點處的切線與該點的位置有關;（２）曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以有無窮多個.2.導數的幾何意義函數y=f(x)在x=x0處的導數等于在該點處的切線的斜率，即，因此，如果在點處可導，則曲線在點（）處的切線方程為_______________.說明：若在處可導，則曲線在點（）有切線存在，反之不然.若曲線在點（）有切線，函數在不一定可導，并且，若函數在不可導，曲線在點（）也可能有切線3.求曲線在某點處的切線方程的基本步驟①求出切點P的坐標；②求出函數在處的導數，得到曲線在點的切線的斜率；③利用點斜式求切線方程.4.導函數由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到,是一個確定的數，那么,當x變化時,便是x的一個函數,我們叫它為f(x)的導函數.記作：或，即。注：在不致發生混淆時，導函數也簡稱導數．5.函數在點處的導數、導函數、導數之間的區別與聯系（1）函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數.（2）函數的導數，是指某一區間內任意點而言的，就是函數的導函數.（3）函數在點處的導數就是導函數在處的函數值，這也是求函數在點處的導數的方法之一.導學導練知識點1求曲線在某一點處的切線例1（1）求曲線在點P(1,2)處的切線方程；（2）求函數在點處的導數.點撥：例2求曲線在點(1，4)處的切線方程.點撥知識點2求曲線在某一點處切線的斜率例3求曲線在處的切線的傾斜角.點撥：要求切線的傾斜角，也要先求切線的斜率，再根據斜率，求出傾斜角．作業設計1.設，則曲線在點處的切線________.A．不存在B．與軸平行或重合C．與軸垂直D．與軸斜交2.曲線在點處的切線方程為________.A．B．C．D．3．函數在點處的切線方程是_____.A．B．C．D．4、曲線在點處切線的傾斜角是________.A． B． C． D．５.曲線在點處的切線與軸，軸的交點分別是與.６.已知A、B是拋物線上橫坐標分別為，的兩點，求拋物線的平行于割線AB的切線方程.7.曲線的方程為，（1）求此曲線在點P(1，2)處的切線斜率，以及切線方程.（2）求此曲線在點P(－2，5)處的切線方程.8.在點P處的切線斜率為3，求點P的坐標.１．２導數的計算１．２．１幾個常用函數的導數課時目標1．掌握由定義求導數的三個步驟，推導五種常見函數、、、、的導數公式；2．掌握并能運用這五個公式正確求函數的導數．知識建構1．知識回顧導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．2．求函數的導數的一般方法（1）求函數的改變量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數＝_________.３．幾個常見函數導數公式的推導（1）函數的導數因為所以表示函數圖像上每一點處的切線的斜率都為0．若表示路程關于時間的函數，則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止狀態．(2)函數的導數因為所以表示函數圖像上每一點處的切線的________．若表示路程關于時間的函數，則可以解釋為________________________.(3)函數的導數因為,所以表示函數圖像上點處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看，表明：當時，隨著的增加，函數減少得越來越慢；當時，隨著的增加，函數增加得越來越快．若表示路程關于時間的函數，則可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為．(4)函數的導數因為所以導學導練知識點1利用導數定義求函數的導數例1求函數的導數.點撥：根式化簡中，注意分子和分母有理化的運用.推廣：若，則.變式.說明：實際上，此公式對都成立，但證明較復雜，所以證明即可.知識點2三角函數導數的證明例2證明.點撥：嚴格按照導數的定義來證明.(提示：)知識點3求導在求瞬時速度中的運用例3質點運動方程是,求質點在時的速度．點撥：注意化簡過程中利用二項展開式.導學導練1．用導數定義求下列函數的導數.(1);(2).2.若，則的值為________；3.物體自由落體的運動方程是s=s(t)=gt2，(s單位m，t單位s，g=9.8m/s2)，求t=3時的速度.4．證明5.求曲線在點處的切線方程.6．求曲線在點A的切線方程．1.2.2基本初等函數的導數公式及導數的運算法則課時目標：1.熟練掌握基本初等函數的導數公式；2.掌握導數的四則運算法則；3．能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數．知識建構１．基本初等函數的導數公式:(1)若(c為常數)，則(2)若,則(3)若,則(4)若,則(5)若,則(6)若,則(7)若,則(8)若,則２．導數的運算法則(1);(2);(3).推論：（常數與函數的積的導數，等于常數乘函數的導數）３．復合函數的求導法則（１）復合函數的概念一般地，對于兩個函數和，如果通過變量，可以表示成的函數，那么稱這個函數為函數和的復合函數，記作.（２）復合函數的導數復合函數的導數和函數和的導數間的關系為，即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積．若，則.導學導練知識點1根據基本初等函數的導數公式和導數運算法則，求一些簡單函數的導數.例１求下列函數的導數．（１）；（２）；（３）．（４）；點撥：（1）求導之前，應先對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度;比如有的函數雖然表面形式為商的形式，但有時化簡之后可以避免使用商的求導法則.知識點2導數的簡單運用例２日常生活中的飲水通常是經過凈化的．隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）為求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（1）;（2）.點撥:函數在某點處導數的大小表示函數在此點附近變化的快慢．由上述計算可知，．它表示純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率的25倍．這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快．知識點3求復合函數的導數例３求的導數.點撥:求復合函數的導數，關鍵在于搞清楚復合函數的結構，明確復合次數，由外層向內層逐層求導，直到關于自變量求導，同時應注意不能遺漏求導環節并及時化簡計算結果．變式求的導數.作業設計１.下列函數中，導數不等于的是_______.A.B.C.D.２.函數的導數為_________.A. B.C.D.3曲線在點處的切線傾斜角為_________.4函數的導數為_________.5曲線在點處的切線的斜率是______，切線的方程為___________.6.求下函數的導數.（１）;(2);(3);（４）.7.假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有如下函數關系，其中為時的物價．假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？8.曲線有兩條平行于直線的切線，求此二切線之間的距離．導數在研究函數中的應用函數的單調性與導數課時目標1．了解可導函數的單調性與其導數的關系；2．能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間，對多項式函數一般不超過三次.知識建構１．如圖1,表示函數在點處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數在附近___________;在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數在附近____________.1.3.1圖12．函數的單調性與導數的關系在某個區間內，如果，那么函數在這個區間內單調遞增；如果，那么函數在這個區間內單調遞減．特別的，如果，那么函數在這個區間內是常函數．3．求解函數單調區間的步驟（1）確定函數的____________;（2）求導數；（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間；（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間．導學導練知識點1直接利用導數研究函數的單調性例１判斷下列函數的單調性，并求出單調區間．（1）；（２）.點撥：利用導數的正負來求函數的單調性，要注意先考慮函數的定義域.變式（06江西卷）對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1）0，則必有________.A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）知識點2利用單調性求參數的范圍例2已知函數在區間上是增函數，求實數的取值范圍．點撥：根據函數的單調性求參數的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數與函數單調性關系：即“若函數單調遞增，則；若函數單調遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解．知識點3究對勾函數的性質和圖像例3已知函數y=x+，試討論出此函數的單調區間，并作出該函數的大致圖像.點撥:利用導數研究函數的單調性,從而可以畫出一個陌生函數的大致圖像,并進一步從圖像中可以研究該函數更多的性質.作業設計1.函數的遞增區間是__________.ABCD2．若函數h(x)＝2x－eq\f(k,x)＋eq\f(k,3)在(1，＋∞)上是增函數，則實數k的取值范圍是_________.A．[－2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，2]3.函數單調遞增區間是__________.ABCD4.函數的單調增區間為，單調減區間為______________5.在增函數，則的關系式為是_______________6.函數的單調增區間為.7.求的單調遞增區間.8.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函數()=In(1+)-+,(≥0).(Ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；(Ⅱ)求()的單調區間.１．３．２函數的極值與導數課時目標1.理解極大值、極小值的概念；2.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數的極值；3.掌握求可導函數的極值的步驟.知識建構１．極值的概念（1）極大值：一般地，設函數在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有_________,就說是函數的一個極大值，記作y極大值=，是極大值點（2）極小值：一般地，設函數在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有_________,就說是函數的一個極小值，記作y極小值=，是極小值點（3）極大值與極小值統稱為極值注意以下幾點：（1）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小,不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小.（2）函數的極值不是唯一的即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個（3）極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數的極大值未必大于極小值.（4）函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點;而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點２.判別是極大、極小值的方法若滿足，且在的兩側的導數異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足_____________,則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足________________,則是的極小值點，是極小值３.求可導函數的極值的步驟(1)確定函數的定義區間，求導數;(2)求方程=0的根;(3)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么在這個根處無極值如果函數在某些點處連續但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點導學導練知識點1求函數的極值例1求的極值，并畫出該函數的大致圖像.點撥：當在的左側為正，右側為負時，為極大值點；當在的左側為負，右側為正時，為極小值點.變式求的極值，并畫出其大致圖像.知識點2利用極值求參數例２．已知函數，當時，有極大值；（1）求的值；（2）求函數的極小值點撥:可導函數在某點處取得極值，則導函數在該點處的函數值為0.知識點3極值的綜合運用例3（2010·北京高考文科·Ｔ１8）設函數，，且方程的兩個根分別為1，4.（1）當且曲線過原點時，求的解析式；（2）若在無極值點，求的取值范圍.點撥:二次函數恒成立問題可利用開口方向與判別式來解決。恒大于0，則；恒小于0，則.作業設計1.為可導偶函數，則等于______.A.0B.C.1D.－12.導函數在一點的導數值為是函數在這點取極值的_________.A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.必要非充分條件3.有________.A.極大值，極小值B.極大值，極小值C.極大值，無極小值D.極小值，無極大值4.數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖（1）所示，則函數在開區間內有極小值點有_______.A.個B.個C.個D.個1.3.2圖15函數在時有極值，那么的值分別為_____________.6.函數在處有極大值，則常數的值為_____________.7.若有極大值和極小值，則的取值范圍是__________.8.求函數的極值.9.（2010·安徽高考理科·Ｔ17）設為實數，函數.(1)求的單調區間與極值；(2)求證：當且時，.１．３．３函數的最大（小）值與導數課時目標⒈理解函數的最大值和最小值的概念，掌握最值存在定理；⒉掌握用導數求函數的極值及最值的方法和步驟.知識建構1．最值存在定理一般地，在閉區間上函數的圖像是一條連續不斷的曲線，那么函數在上必有最大值與最小值．說明：⑴如果在某一區間上函數的圖像是一條連續不斷的曲線，則稱函數在這個區間上連續．⑵給定函數的區間必須是閉區間，在開區間內連續的函數不一定有最大值與最小值．如函數在內連續，但既沒有最大值，也沒有最小值.2．“最值”與“極值”的區別和聯系⑴“最值”是整體概念，是比較整個定義域內的函數值得出的，具有絕對性；而“極值”是個_____，是比較極值點附近函數值得出的，具有相對性;⑵從個數上看，一個函數在其定義域上的最值是唯一的，而極值不唯一；⑶函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個⑷極值不能在區間端點處取得，而最值可以在區間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．3.利用導數求函數最值的步驟只要把連續函數所有的極值與區間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值．一般地，求函數在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求在內的極值；⑵將的各極值與端點處的函數值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，從而得出函數在上的最值導學導練知識點1求函數的最值例1求在的最大值與最小值點撥：將的各極值與端點處的函數值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.變式求函數的值域.例２已知,.是否存在實數,使同時滿足下列兩個條件：（1）在（0，1）上是減函數，在［1，+∞)上是增函數；（2）的最小值是1.若存在，求出，若不存在，說明理由.點撥：例３（2010·陜西高考文科·Ｔ2１）已知函數（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；（Ⅱ）設函數,當存在最小值時，求其最小值的解析式；（Ⅲ）對（Ⅱ）中的，證明：當時，點撥：利用導數研究函數的單調性、求函數的最值、可用來解不等式，以及證明不等式.作業設計1．函數的最大值為__________.A BCD2.（2010·山東高考文科·Ｔ8）已知某生產廠家的年利潤（單位：萬元）與年產量（單位：萬件）的函數關系式為，則使該生產廠家獲得最大年利潤的年產量為__________.A.13萬件B.11萬件C.9萬件D.7萬件3.函數在區間上的最大值是_______________.4設，當時，恒成立，則實數的取值范圍為____.5.函數在[0,3]上的最大值是_______;最小值是_______.6已知函數在與時都取得極值.(1)求的值與函數的單調區間;(2)若對，不等式恒成立，求的取值范圍7.(2009·湖北黃岡模擬)已知函數．(1)若在時取得極值，求的值；(2)求的單調區間；(3)求證：當時，.１．４生活中的優化問題舉例課時目標１.理解利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的作用;２.提高將實際問題轉化為數學問題的能力.知識建構1.導數解決的實際問題.導數在實際生活中的應用主要是解決有關函數最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：(1)與幾何有關的最值問題；(2)與物理學有關的最值問題；(3)利潤及其成本有關的最值問題；(4)效率最值問題.2.解決優化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當的函數關系，并確定函數的定義域，通過創造在閉區間內求函數取值的情境，即核心問題是建立適當的函數關系.再通過研究相應函數的性質，提出優化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數是一個有力的工具．導學導練知識點1用料最省問題例１圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最省？1.4圖1點撥：變式當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使容量最大.知識點2求最大利潤問題例2．某造船公司所造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數為R(x)＝3700x＋45x2－10x3(單位：萬元)，成本函數為C(x)＝460x＋5000(單位：萬元)，又在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x)；(提示：利潤＝產值－成本)(2)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？(3)求邊際利潤函數MP(x)的單調遞減區間，并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？點撥：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產量乘價格．由此可得出利潤L與產量q的函數關系式，再用導數求最大利潤．變式已知某商品生產成本C與產量q的函數關系式為C=100+4q，價格p與產量q的函數關系式為．求產量q為何值時，利潤L最大？知識點3例３．一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得周長l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b.點撥：作業設計1一個物體的運動方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時速度是_________.A．米/秒B.米/秒C．米/秒D.米/秒2.將8分為兩數之和，使其立方和最小，則分法為_______.A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不對3.要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為,要使其體積最大，則高為___________.A.B.C.D.4．正三棱柱的體積V為定值，當其表面積最小時，底面邊長等于5.設有長為a，寬為b的矩形，其底邊在半徑為R的半圓的直徑所在的直線上，另兩個頂點正好在半圓的圓周上，則此矩形的周長最大時，=________．6.（2010·江蘇高考·Ｔ１4）將邊長為1m正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是____________.7.設工廠A到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應站C,現要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3:5,那么,D應選在何處,才能使原料供應站C運貨到工廠A所需運費最省?8.已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的長與寬．1.5定積分的概念1.5.1定積分的概念（一）課時目標1．體會求曲邊梯形面積、求汽車行駛的路程有關問題的過程，了解定積分的背景；2．感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）.知識建構1.求曲邊梯形面積的四個步驟第一步：分割．在區間中任意插入個分點，將它們等分成個小區間，第個區間的長度第二步：近似代替，“___________”.用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值．第三步：求和．第四步：取極限.說明：（1）歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割以直代曲求和逼近（2）最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值.2.求變速運動的路程一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“________________”的方法及無限逼近的思想，求出它在a≤≤b內所作的位移．導學導練知識點1求曲邊梯形的面積例1．求圍成的圖形面積.解：（1）分割在區間上等間隔地插入個點，將區間等分成個小區間，，，…，記第個區間為________________________,其長度為.分別過上述分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作：，，…，顯然，.（2）近似代替∵，當很大，即很小時，在區間上，可以認為函數的值變化很小，近似的等于一個常數，不妨認為它近似的等于左端點處的函數值________________________，這樣，在區間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內“以直代曲”，則有（3）求和面積===從而得到的近似值（4）取極限點撥：求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和逼近（“以直代曲”的思想）知識點2定積分思想在物理中的運用例2．彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長到所作的功．解：將物體用常力沿力的方向移動距離，則所作的功為．（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取極限點撥：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解．作業設計1.把區間[1,3]等分,所得個小區間,每個小區間的長度為__________.A.B.C.D.2.把區間等分后,第個小區間是__________.A.B.C．D.3.在“近似替代”中，函數在區間上的近似值_______________.A.只能是左端點的函數值B.只能是右端點的函數值C.可以是該區間內的任一函數值）D.以上答案均不正確4.求由圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇為分割對象，則被分割的區間為______.A．［0，］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］5．如果1N力能拉長彈簧1cm，為將彈簧拉長6cm，所耗費的功是__________.A．0.18B．0.26C．0.12 D．0.286.設函數f(x)的圖象與直線x=a,x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f(x)在[a，b]上的面積.已知函數y＝sinnx在[0，]（n∈N*）上的面積為. ①y＝sin3x在[0,]上的面積為； ②y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面積為.7．求由曲線與所圍的圖形的面積.8.用定積分定義求物體自由落體的下落距離.已知自由落體運動的速率，則落體運動從到所走的路程為__________. 1.5.2定積分的概念（二）課時目標1.借助于幾何直觀的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分定義求簡單的定積分；2.理解掌握定積分的幾何意義，并能運用幾何意義求一些簡單的定積分.知識建構1．定積分的概念一般地，設函數在區間上連續，用分點將區間等分成個小區間，每個小區間長度為（），在每個小區間上取一點，作和式：.如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數，那么稱該常數為函數在區間上的定積分,記為：其中稱為被積函數，叫做積分變量，為積分區間，為積分上限，為積分下限.說明：（1）定積分是一個常數，即無限趨近的常數（時）稱為，而不是．（2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區間；②近似代替：取點；③求和：；④取極限：2．定積分的幾何意義如果函數在區間上連續且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數的圖形以及直線之間各部分面積的代數和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積取負號．在物理學中，變速運動路程；變力做功.3．定積分的性質性質1（其中k是不為0的常數）；（定積分的線性性質）性質2性質3（其中）;（定積分對積分區間的可加性）性質4若，則.推論：導學導練知識點1運用定積分的幾何意義求定積分例1計算定積分.點撥：運用被積函數的圖像求定積分.變式若改為計算定積分呢？改變了積分上、下限，被積函數在上出現了負值如何解決呢？例2用定積分的幾何意義求值:①;②.點撥：根據定積分的幾何意義，可將一些特殊函數的定積分轉化為利用平面幾何知識求某些規則圖形的面積.變式求定積分：.知識點2定積分在物理中的運用例3物體A以速度在一直線上運動，在此直線上與物體A出發的同時，物體B在物體A的正前方5m處以的速度與A同向運動，問兩物體何時相遇？相遇時物體A的走過的路程是多少？（時間單位為：s，速度單位為：m/s）點撥：作業設計1.已知自由下落物體的速度為，則物體從到所走過的路程__________.A．B．C．D．2.將和式的極限表示成定積分__________. A． B． C． D．3.設的曲線是上的連續曲線,等分,在每個小區間上任取,則是___________.A.B.C.D.4.定積分的大小_________.A.與和積分區間有關，與的取法無關B.與有關，與區間及的取法無關C.與和的取法有關，與積分區間無關D.與、區間和的取法都有關5.若是上的連續偶函數，則_______.A． B．0 C． D．6.給出下列定積分： ①; ②; ③; ④.其中為負值的有_______.7．曲線，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為__．8.(1)根據定積分的幾何意義，求______;_____；_______.(2）設，則_______;______;__________.9.計算，其中,1.6微積分基本定理課時目標1.通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義.2.通過實例體會用微積分基本定理求定積分的方法,會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分.知識建構1．變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系設一物體沿直線作變速運動，在時刻時物體所在位置為,速度為（），則物體在時間間隔內經過的路程可用速度函數表示為___________________.另一方面，這段路程還可以通過位置函數在上的增量來表達，即=（其中.）2．微積分基本定理如果函數是上的連續函數的任意一個原函數，則____________________________________.為了方便起見，還常用表示，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式．它指出了求連續函數定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉化成求原函數的問題，是微分學與積分學之間聯系的橋梁．它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎．因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果．導學導練知識點１利用定積分基本定理及其性質求積分例1求下列定積分的值:①②③④點撥：①注意8x與x8的區別;②被積式為絕對值時,應分段積分;③利用奇函數在關于原點對稱的積分區間上的積分值為0;④利用簡單復合函數的求導規則尋找公式中的F(x).變式①②③知識點2定積分的上（下）限含有變量問題與函數的最值例2已知f(x)=,求f(x)的最小值.點撥：求積分后即轉化為求二次函數的最值,注意到隱含條件x≥0.解決此類問題應注意積分式中的積分變量是什么,切忌想當然.變式函數f(a)=的最小值為.知識點3微積分基本定理的綜合運用例3.（2010·福建高考理科·Ｔ20節選）已知函數，其圖像記為曲線C.（i）求函數的單調區間；(ii)證明：若對于任意非零實數，曲線C與其在點處的切線交于另一點.曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值.點撥：（1）利用導數求解函數的單調區間，（2）利用導數求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解及其比值.變式（2010·海南高考·理科T13）設為區間[0,1]上的連續函數，且恒有，可以用隨機模擬方法近似計算積分,先產生兩組（每組N個）區間[0,1]上的均勻隨機數,…,和,…,,由此得到N個點（i=1,2,…,N）,在數出其中滿足≤（（i=1,2,…,N））的點數，那么由隨機模擬方法可得積分的近似值為.作業設計1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）等于_____.A.B.C.D.2.下列式子中,正確的是__________.A.=f(b)-f(a)+CB.=f(b)-f(a)C.=f(b)-f(a)D.[]=f(x)3.如果,則A.0B.aC.-aD.2a4．函數在[－1,5]上_______.A．有最大值0，無最小值B．有最大值0和最小值－eq\f(32,3)C．有最小值－eq\f(32,3)，無最大值D．既無最大值也無最小值5.某物體的運動方程S(t)=,則此物體在t=2時刻的瞬間速度為_________.6.一次函數f(x)圖象經過點(3,4),且則f(x)的表達式為.7.求下列定積分:①;②;③;④8．求通過(0,0)、(1,2)的拋物線，要求它具有以下性質：(1)它的對稱軸平行于y軸，且開口向下；(2)它在軸上方與軸所圍成的面積最小．1.7定積分的簡單應用課時目標１．能利用定積分求曲邊梯形的面積，以及解決物理中的變速直線的路程、變力做功問題．２．通過定積分求曲邊梯形的面積，體會定積分的基本思想，學會其方法，通過定積分在物理中的應用，進一步體會定積分的價值，感受數學的應用價值，提高數學的應用意識．知識建構１．求曲邊梯形