第三節紊流統計量和紊流尺度

脈動性：各種流動參量如流速、壓力等的值呈現強烈的脈動現象，具有一定的隨機性不規則性：流體質點做極不規則的運動擴散性：流體的各項特性如動量、能量、溫度和含有物質的濃度等通過紊動向各方向傳遞三維有渦性：紊流是有渦運動，而且總具有三維的特性大雷諾數：流體的雷諾數超過某個臨界值后，流動不穩定，擾動才能發展形成紊流。紊流的特性第三節紊流統計量和紊流尺度因為紊流和紊動擴散是隨機過程，在描述它的運動時，常用統計平均方法。統計平均方法通常有時間平均法（簡稱時均法）、空間平均法和總體平均法共三種平均法。第三節紊流統計量和紊流尺度各態歷經：一個隨機過程在重復多次試驗出現的所有樣本，亦將在一次試驗的相當長時間或相當大的范圍內出現，并且出現的概率相同。因為紊流和紊動擴散是隨機過程，在描述它的運動時，常用統計平均方法。統計平均方法通常有時間平均法（簡稱時均法）、空間平均法和總體平均法共三種平均法。如果隨機過程是各態歷經的，則時均值、空間平均值、總體平均值三者是互等的。一、紊流的分類紊流按其流動特點可分為可分兩大類：均勻各向同性紊流和剪切紊流。在均勻紊流中，各種物理量的統計平均值當坐標平移時,均保持不變，例如有:式中：u1

、u2

、u3

分別為沿三條直角坐標的脈動流速分量；字母上方的“—”示取統計平均(例如取時間平均);

C1、C2

、C3均為常量。第三節紊流統計量和紊流尺度一、紊流的分類在均勻紊流中，如果各種物理量的統計平均值還與方向無關，亦即當坐標軸作任何旋轉或鏡射時，各種物理量的統計平均值仍保持不變，例如有

則稱這種紊流為均勻各向同性紊流，或簡稱為各向同性紊流。各向同性紊流只是一種理想化的最簡單的紊流第三節紊流統計量和紊流尺度凡不滿足均勻性要求的紊流（當然也不滿足各向同性）,稱為剪切紊流。當紊流中存在切應力時，就有流速梯度，導致各處的紊流統計量不相同，從而破壞了紊流的均勻性和各向同性。這種紊流是最常見的，它比各向同性紊流復雜得多。在剪切紊流中，存在著尺度由大到小的一系列渦體。研究證實，大渦區和中渦區受外界條件的明顯影響，不是各向同性的，但小渦區不受外界條件的直接影響，常近似地具有各向同性的性質，這稱為局部各向同性。第三節紊流統計量和紊流尺度在紊流中，常要分析兩個脈動流速分量的相關矩(即協方差)，它們表征著紊動的重要性質。二、歐拉相關和紊流尺度第三節紊流統計量和紊流尺度1、歐拉空間相關定義為：圖脈動流速分量示意圖

其中:為在i方向上的脈動流速分量；

xa

為a點的某一方向的坐標，例如取為xa或ya

;

xa

+

x為另一點的同一方向的坐標，相應為xa

+Dx

或ya

+Dy。xxa

+Dxxa第三節紊流統計量和紊流尺度1、歐拉空間相關定義為：指同一瞬時、不同兩點的同一方向脈動流速分量的乘積的統計平均值。圖脈動流速分量示意圖

xxa

+Dxxa相應的相關系數為:

對均勻紊流有:均勻紊流的歐拉空間相關系數為:(3-3-2)(3-3-1)當ξ等于零時，Ri(ξ)應等于1；ξ愈大，Ri(ξ)愈小;當ξ超過一定的值，Ri(ξ)漸趨于零(兩點分別位于不同的渦體）。第三節紊流統計量和紊流尺度圖

歐拉空間相關系數Ri(x)第三節紊流統計量和紊流尺度2、歐拉時間相關定義為:

相應的相關系數為:

(3-3-3)如果紊流在恒定流中發生，紊流場是平穩的，便有:所以恒定流的歐拉時間相關系數為:(3-3-4)指同一空間點，同一方向的脈動流速分量，在不同瞬時(相隔時段為t)的乘積的統計平均值。第三節紊流統計量和紊流尺度

3、歐拉紊流尺度（比尺）從紊流統計理論看，其空間點的脈動量可以視為各種不同尺度(或不同脈動頻率)的渦體經過該點所造成的漲落，較大尺度渦體包含著較小尺度渦體。大尺度渦體頻率低，小尺度渦體頻率高。由相關系數的概念，引入渦體的平均尺度(積分尺度)。第三節紊流統計量和紊流尺度

3、歐拉紊流尺度（比尺）對均勻紊流來說，取距離為ξ的兩點，如果渦體的平均尺度較大，兩點處于同一渦體，則空間相關系數Ri(ξ)就大；如果渦體平均尺度小，兩點分別處于兩個渦體中，Ri(ξ)就小。Ri(ξ)與渦體平均尺度有密切關系。(3-3-5)第三節紊流統計量和紊流尺度（1）歐拉空間平均尺度渦體空間在i方向上的空間平均尺度定義為：圖中假想的矩形面積與Ri(ξ)曲線下的面積相等。LEi的意義是體現了渦體尺度在i方向上的空間平均值。圖

歐拉空間平均尺度LEi第三節紊流統計量和紊流尺度

(2)歐拉時間平均尺度類似地，當紊流場是平穩的，可以用時間相關系數定義時間平均尺度：(3-3-6)第三節紊流統計量和紊流尺度從拉格朗日觀點出發，一個液體質點在運行過程中的脈動流速的相關矩定義為：

指跟蹤一個質點看，在不同時刻、同一方向的脈動流速分量的乘積的統計平均值。

三、拉格朗日相關和紊流尺度第三節紊流統計量和紊流尺度圖拉格朗日相關流速分量示意圖

相應的相關系數為：

如果紊流場是平穩的，上式變為：三、拉格朗日相關和紊流尺度(3-3-7)(3-3-8)第三節紊流統計量和紊流尺度圖拉格朗日相關流速分量示意圖

在i方向上，拉格朗日時間平均尺度的定義為：其中假想的以TLi為底的矩形面積與RLi曲線下的面積相等。它反映同一質點，不同時刻的隨機變量之間保持有關所經歷的時間長度。圖

拉格朗日時間平均尺度(3-3-9)第三節紊流統計量和紊流尺度在i方向上，拉格朗日時間平均尺度的定義為：拉格朗日空間平均尺度（或稱為擴散平均尺度）定義為：式中：稱為i方向的紊流強度。(3-3-9)(3-3-10)第三節紊流統計量和紊流尺度第四節紊動擴散理論由于紊流脈動流速的作用使污染物質發生輸移的現象稱為紊動擴散。在紊動擴散問題上的距離方差是否也具有與歷時成正比的同樣規律呢？分子擴散系數D是反映由于液體分子運動使污染物質點發生位移時用于表達通量與濃度梯度成比例的一個系數（費克定律），那么，由于紊動而使示蹤質點發生輸移時，是否還要使用類似的系數呢？由于液體分子運動的作用使污染物質點發生隨機運動時的距離方差與擴散歷時成正比：sx2=2Dt。紊流的脈動流速是隨機性，因而使污染物質質點的位移也是隨機性的，它們的隨機性與液體分子運動的隨機性是否相類似？液體分子運動的速度和紊流脈動流速的隨機特征是不同的。液體分子運動的下一步狀態，只與當前的狀態有關，而與以前的運動歷史無關。從前面介紹的拉格朗日脈動流速相關系數可以看到，示蹤質點的脈動速度在運動過程的一段時間內都是相關的。只有當經歷的時間間隔t>>TLi之后（或經歷的位移L>>ΛLi之后）才能認為此時的脈動流速與t之前的脈動流速無關。第四節紊動擴散理論一、單個質點的紊動擴散泰勒（Taylor）1921年首先應用統計理論和拉格朗日方法來研究單個質點的紊動擴散問題。(3-4-1)不失一般性，討論水流以時間平均流速沿x方向作均勻流動時，示蹤質點由于紊動在y方向的擴散。如果在速度為的動坐標系統上觀察，質點由于在y方向上脈動速度u￠的作用，在y方向上的隨機位移為y

，則在某一指定時刻T,y2隨時間t的變化率為xyv'第四節紊動擴散理論圖單個質點的紊動擴散因為：有將上兩式代入式：上式是對一個示蹤質點而論的第四節紊動擴散理論有如果觀察大量示蹤質點，然后取總體平均，則有：(3-4-2)設：時間間隔t=T-t

υy￠(t)υy￠(T)為同一個質點在時間間隔為t

的兩個脈動速度的乘積為拉格朗日自相關矩在平穩的紊流場中，相應的相關系數為:第四節紊動擴散理論式中的t￡T。它表示在平穩的紊流場中擴散距離方差與成正比，也與擴散歷時t有關。對其他方向x和z也有類似公式。故式(3-4-2)可變為：(3-4-3)上式的T也可理解為任一指定時刻t，故有擴散距離的方差：(3-4-4)稱為泰勒擴散公式第四節紊動擴散理論（1）t＜＜TLy（TLy為y方向上的拉格朗日時間平均尺度）此時有τ趨近于0，RLy

≈1：(3-4-5a)或上式表明，對短的擴散歷時（t＜＜TLy）距離方差σi2與t2成正比，這是與分子擴散規律不同的，屬于非費克型擴散。(3-4-5b)sx2與擴散歷時t成正比的擴散—費克型擴散兩種特殊情況：第四節紊動擴散理論（2）t

＞＞TLy此時有：或(3-4-6a)(3-4-6b)第四節紊動擴散理論對較大的擴散歷時（t＞＞TLy），距離方差與擴散歷時成正比。這樣的紊動擴散規律與分子擴散規律相同，符合馬爾可夫過程，為費克型擴散。可以定義一個與分子擴散系數類似的紊動擴散系數:

),,(zyxi=這也是求Ei的矩法公式。如果Ei是常數，可將上式改寫為式（3-4-7a）可寫為：(3-4-7b)(3-4-7a)(3-4-8)第四節紊動擴散理論

上式表明：紊動擴散系數與拉格朗日時間平均尺度成正比。可以認為紊動擴散系數主要與較大尺度的渦體運動有關。若以拉格朗日空間平均尺度LLi表示紊動擴散系數，有:(3-4-9)第四節紊動擴散理論分子擴散系數由污染物質的物理性質決定，紊動擴散系數與液體的物理性質、污染物質的物理性質和流場的紊動結構有關。在河流中，最大渦體的尺寸約與水深相等，由于河流的水深一般都不大，所以拉格朗日空間平均尺度也不大，相應的拉格朗日時間平均尺度也較小，使污水自排污口注入河流之后不久，其擴散歷時就遠大于TL，因此，河流中的紊動擴散一般是屬于費克型。？第四節紊動擴散理論表1質點紊動擴散的實驗數據

例1在x方向有時均速度，量測了許多示蹤質點的y向位移，得相應于不同時間的總體平均值，見表1。試對

，TLy和Ey進行估計。st/

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

0.060.230.530.931.442.002.593.193.784.38

0.2450.4800.7280.9641.201.411.611.791.942.09

第四節紊動擴散理論

圖3-11質點紊動擴散的實驗數據曲線第四節紊動擴散理論解：由圖3-11可以看到，當與t為線性關系。

根據式(3-4-5b)，用t=0.1s的值代入計算：2第四節紊動擴散理論圖3-11質點紊動擴散的實驗數據曲線根據式(3-4-9)，有：根據式(3-4-6)，得：

由圖3-11看到，當線性增加，用t=0.7s和1.0s的值計算：2第四節紊動擴散理論圖3-11質點紊動擴散的實驗數據曲線二、兩個質點的相對擴散污染物云團可以認為是由大量污染物質點組成的。因此，可以分別研究污染物云團質心的運動和云團的質點相對于此質心的運動。對質心的運動應按上述的單個質點的紊動擴散進行分析。對云團的變形則要研究質心與其他質點的相對運動，也就是兩質點的相對擴散問題。白切勒（Bathelor）對相對擴散問題的研究做出了較大的貢獻。第四節紊動擴散理論第五節隨流紊動擴散方程(3-5-1)(3-5-2)對紊流講，點瞬時速度υi可表為點時均速度與點脈動速度ui￠之和，即在紊流中，由于流體的紊動使污染物質的點瞬時濃度c也具有隨機性質。因此，可以假設點瞬時濃度c是時均濃度和脈動濃度c

￠之和，即：第五節隨流紊動擴散方程

(3-5-4)因為脈動流連續方程為，便有:三維隨流擴散方程是研究隨流紊動擴散的基礎，將三維隨流擴散方程簡寫為：(3-5-3)將上式代入(3-5-4)，有：(3-5-5)運用雷諾運算法則，并注意到，便得:三維隨流紊動擴散方程的初形第五節隨流紊動擴散方程比較第五節隨流紊動擴散方程三維隨流紊動擴散方程多了三個紊動通量梯度：上式包含了四個未知函數。為求解,需要對三個未知函數進行處理。式中:Eij稱為紊動擴散系數張量，是一個二階張量。相對于紊動擴散張量的主軸來說：當i=j,Eij=Eji；當i≠j,Eij=0

則(3-5-6)式變為：最常用的方法是采用經驗模式，對t>>TL的擴散，把紊動擴散與分子擴散相比擬，參照費克定律的形式，令:(3-5-6)(3-5-7)第五節隨流紊動擴散方程紊動擴散系數Eij與液體的物理性質、污染物質的物理性質以及流場的紊動結構有關。因為剪切紊流不是各向同性的，所以它的值在不同方向上是不同的。各種情形下的Eii值主要靠實驗確定。將紊動擴散系數的定義：

第五節隨流紊動擴散方程代入式有：在紊流擴散中，一般的紊動擴散系數都要比分子擴散系數大幾個數量級，故在紊流中可忽略分子擴散項，得：

(3-5-8)第五節隨流紊動擴散方程如果紊流場是均勻紊流，則Eii為常數，即不隨位置和時間而變,可將Eii簡寫為Ei。(3-5-9a)將上式改用直角坐標表示為：

式中：分別是點時均流速在x、y和z方向上的分量。(3-5-9b)第五節隨流紊動擴散方程(3-5-10a)(3-5-10b)以上結果均是針對示蹤物質而得到的如果紊流場是各向同性的，有，第五節隨流紊動擴散方程隨流紊動擴散方程為:如果進一步考慮非守恒物質，則要計算由于化學、物理等各種原因使水體中的非守恒物質發生變化（增生或降解）。式中：當B為增生時，B是正值（稱為源項）；當B為降解時，B是負值（稱為匯項）。(3-5-11)(3-5-12)第五節隨流紊動擴散方程設在單位時間單位水體積內由于上述原因使非守恒物質發生的變化量為B(稱為源匯項)，則隨流紊動擴散方程為：第六節紊動擴散系數的確定一、雷諾比擬假說

前面討論的擴散都是指污染物質在水中的擴散；從廣義上說，水流本身的某些屬性由于分子運動、水流流速和水流紊動而傳遞到另一部分水體中去的現象都可看成是擴散現象,例如水流本身具有的動量、動能和熱量（溫度）的擴散。因此，對它們的擴散過程也可以用類似的擴散方程表示。(3-6-1)例如在隨流紊動擴散方程中，以溫度T代替濃度c，以導熱系導熱系數α代替分子擴散系數D，并有vi=0，則有熱傳導方程：上式是由于紊動z方向發生動量傳遞而產生的紊動切應力表示式，從而也可以把e看作是動量擴散系數。因此，也有人在濃度擴散的計算中采用e值作為Ei值。(3-6-2)第六節紊動擴散系數的確定在上式中，若以主流方向（x向）的動量(

r

為水的密度)代替，以r

x′￠代替c′，以運動粘性系數e代替Ez，則有：如在式中，對垂直方向(z向)的擴散有：雷諾比擬假說：對示蹤物質來說,不論是哪種擴散物質，紊動對物質、熱量、動能或動量的擴散系數存在著完全的比擬關系，擴散系數彼比都是相等的。已在近壁紊流中的實驗得到證實。第六節紊動擴散系數的確定在明渠二度均勻流中，取垂向紊動擴散系數Ez=e是符合實際的。其他方向的紊動擴散系數，對剪切紊流講，只能認為Ei

與e是同量級的，成一定的比例關系。一些研究成果表明：二、河渠水流的紊動擴散系數

1、垂向紊動擴散系數對二度明渠均勻流的縱向流速分布，可采用卡門(Karman)對數型公式：式中：為點時均流速在垂線上的平均流速；

k為卡門常數；

u*為剪切流速；

h為水深，z軸的原點在渠底，向上為正。(3-6-3)表示沿垂線取平均第六節紊動擴散系數的確定

第六節紊動擴散系數的確定(3-6-4)(3-6-5)切應力的兩種表達方式：根據雷諾比擬假說，可得：

式中：k=0.40～0.42。式中：s為河道底坡；n為河道糙率；g為重力加速度。(3-6-6)(3-6-7)第六節紊動擴散系數的確定u*可由下式計算:Ez是水深的函數，沿水深各點不同

Ez沿水深取平均:取卡門常數k=0.41，有：(3-6-8)第六節紊動擴散系數的確定二度明渠均勻流垂向紊動擴散系數計算公式

對非矩形斷面的棱柱體河道均勻流來說，由于垂向混合主要受水深制約，因而認為也可用式（3-6-6）求，此時式中的h是隨橫坐標y而變的。對各種不規則河道的恒定漸變流，河底和邊坡都可能沿程變化，也可能有彎道，二次流比較顯著。但一般認為，這些因素對垂向混合的影響不會很大，仍可近似使用式（3-6-6）求，只是其中的h是隨點（x，y）而變的。第六節紊動擴散系數的確定（3-6-6）2、橫向紊動擴散系數Ey

（橫向混合系數My）

在二度明渠均勻流中，因為假設不存在橫向流速，不可能建立類似于垂向紊動擴散系數的方程(3-6-6)

來確定Ey值。對其他非二度水流，由于影響因素復雜，目前也不可能像垂向擴散一樣通過沿河寬的橫向流速分布來建立Ey的計算式，而只能根據室內和現場實驗的結果大致給出一個變化范圍。第六節紊動擴散系數的確定2、橫向紊動擴散系數Ey

（橫向混合系數My）

Ey的意義是反映由于橫向脈動流速作用而導致的擴散的強弱程度。

在實際的河渠中，即使是平直的渠道均勻流，也必然有二次環流(螺旋流)，雖然二次環流的=0，但因在垂線上的分布不均勻而導致了分散，使橫向擴散大大加強，這是橫向擴散的主因。由于在實驗和分析中都以將這兩種成因的結果分開，得到的系數值是綜合結果。故對河渠水流來說，常將Ey稱為橫向混合系數My。第六節紊動擴散系數的確定（1）矩法第六節紊動擴散系數的確定一般只能近似地用于比較規則的平直河流。式中：V為斷面平均流速；、分別為x1和x2斷面處橫向濃度分布的方差。式中：W為河寬。（1）矩法對不規則的天然河流，h和有橫向變化，，這些都對橫向擴散有重要影響，特別是必須對已包含在實驗結果中由于產生的隨流擴散加以扣除，使My主要反映二次環流和橫向脈動流速等作用，否則，得出的值會很大或很小，甚至出現負值。為此，Holley等提出了普遍矩法。在進行示蹤實驗時，當濃度場達到穩定，可導出普遍矩法的基本方程：第六節紊動擴散系數的確定（2）經驗公式在整理實驗結果時，一般采用無量綱數：式中：h

和u*分別為被研究河段的水深和剪切流速的平均值;

a為比例系數，視河渠水流條件而定。(3-6-9)第六節紊動擴散系數的確定（2）經驗公式費希爾對順直的矩形斷面明槽水流收集了約75個實驗資料，除了在野外實驗得到的α=0.24~0.25之外，幾乎所有的室內實驗都得到α=0.1~0.2，于是取其平均作為估算，有估算式:(3-6-9)(3-6-10)(3-6-11)式中：u*為摩阻流速；第六節紊動擴散系數的確定

對天然河流的My值雖然做了一些研究，但仍然不夠充分。費希爾總結了一些實驗成果，認為河道的彎曲和兩岸的不規則都會使a值很少于0.4，如果河道的彎曲是緩慢的，邊岸的不規則性是中等的，a值通常為0.4～0.8，因而建議采用估算式：(3-6-12)式中：h

和u*

用河段平均值。第六節紊動擴散系數的確定如果河段有急彎或邊岸有突變，則a

值將更高。張永興等人在長江宜昌段進行示蹤實驗，得

a=0.29~0.95。

Lau等人曾總結分析了11條天然河流的資料，為了更好地反映二次環流對My的影響，采用無量綱數My/(u*W)，并認為該數與寬深比W/h有關(u*、W和h用河段平均值），得到了圖3-12，圖中有9個點都落于一條平均曲線的附近，這些點的My/(u*W)值在1.8×10-3～10.6×10-3之間，W/h值在27～170之間；另有兩個點因為河流彎曲較大，使My/(u*W)值較高（分別為22.4×10-3和55.8×10-3）。圖3-12河流的My經驗曲線第六節紊動擴散系數的確定3、縱向紊動擴散系數Ex

由于紊動引起的縱向擴散和橫向擴散受邊界的約束作用相對垂向來說小很多，所以縱向和橫向的紊動擴散系數有相同的數量級，這已為某些實驗證實。Sayre等用聚乙稀質點在水面上進行觀察，發現縱向紊動擴散系數約為橫向紊動擴散系數的三倍。從實用上看，可以將縱向紊動擴散作用忽略不計。這是因為在常見的河渠水流中，由于縱向流速分布的不均勻而產生的隨流分散作用比縱向紊動擴散作用要大得多，同時這兩種作用是混在一起出現，在對實驗進行分析時，難以將兩者分開。第六節紊動擴散系數的確定3、縱向紊動擴散系數Ex

過去很少對縱向紊動擴散系數進行研究，而將注意力放在研究縱向隨流分散及其分散系數上。縱向分散系數是縱向紊流擴散系數的40倍以上。縱向紊流擴散系數大于橫向紊流擴散系數，橫向紊流擴散系數大于垂向紊流擴散系數。第六節紊動擴散系數的確定Y(m)2724211815129630-3-6-9-12-15-18-21-24c171622314255808686878774666052453022表實測濃度分布單位：mg/L例：設一矩形斷面的直長明渠，渠寬（即y坐標，以斷面中心處為y坐標原點）為100m，水流沿縱向（x坐標）為近似的均勻流，斷面平均流速為0.3m/s，水深為5m。為求橫向紊動擴散系數，在明渠起始斷面中心處瞬時投放示蹤質，當水溫為15℃時，在下游450m處的橫斷面上測得的橫向濃度分布如下表，試求該斷面的Ey。第六節紊動擴散系數的確定解：明渠均勻流，只在x方向上有時均流速，在y方向上的濃度分布是由y方向上的脈動流速v′引起，經歷較長時間后濃度分布近似按正態分布。因此，可用矩法求橫向紊動擴散系數。圖橫斷面濃度分布第六節紊動擴散系數的確定因為是瞬時點源，則有x1=0，σy1=0，在x2=450m斷面處，橫向y方向上每隔Δy=3m取一個濃度值，故：第六節紊動擴散系數的確定第七節隨流紊動擴散方程的某些解析解隨流紊動擴散方程與隨流擴散方程在數學形式上是一樣的，所以求隨流紊動擴散方程的解析解時所遇到的數學問題與求隨流擴散方程的解析解時所遇到的是一樣的。只要將已有的一維隨流一維（或多維）擴散方程的一些定解問題的解析解做適當的修改，就可以得到在相同定解條件下的一維隨流一維（或多維）紊動擴散的解析解。一般需要做修改的就是將一維隨流一維（或多維）擴散解析解中的點濃度c改寫為點時間均濃度；將均勻流縱向流速u（常數）改寫為均勻流縱向時均流速（常數）；將分子擴散系數D改為紊動擴散系數Ex（或Ey），或將Di改為Ei

。1、瞬時點源無界空間一維隨流紊動擴散上式也是瞬時無限平面源無界空間的一維隨流紊動擴散問題的解。2、瞬時半無限長線源無界空間的一維隨流紊動擴散據式(3-2-8)有解：據式(3-2-9)有解：第七節隨流紊動擴散方程的某些解析解(3-7-1)(3-7-2)3、瞬時有限長線源無界空間的一維隨流紊動擴散據式（3-2-10）有解：(3-7-3)4、瞬時無限長線源無界空間的一維隨流二維紊動擴散據式（3-2-11）有解：(3-7-4)第七節隨流紊動擴散方程的某些解析解5、瞬時點源無界空間的一維隨流三維紊動擴散據式(3-2-13)有解：(3-7-5)6、時間連續點源無界空間的一維隨流三維紊動擴散穩態情形據式(3-2-17)有解：(3-7-6)式中：