2023-2024學年湖南省湘潭市數學高一上期末學業質量監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．函數為定義在R上的單調函數，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.2．直線l1：x+ay+1＝0與l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，則直線l2的斜率為（）A. B.C.1 D.﹣13．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是A. B.C. D.4．若,,,則大小關系為A. B.C. D.5．設集合，則（）A.{1，3} B.{3，5}C.{5，7} D.{1，7}6．已知一個水平放置的平面四邊形的直觀圖是邊長為1的正方形，則原圖形的周長為（）A.6 B.8C. D.7．一個幾何體的三視圖如圖所示，則幾何體的體積是（）A. B.C. D.28．已知函數為定義在上的偶函數，在上單調遞減，并且，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.9．設函數的定義域為，若存在，使得成立，則稱是函數的一個不動點，下列函數存在不動點的是（）A. B.C. D.10．若是的重心，且（，為實數），則（）A. B.1C. D.11．函數的圖象可能是（）A. B.C. D.12．若、是全集真子集，則下列四個命題①；②；③；④中與命題等價的有A.1個 B.2個C.3個 D.4個二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．若，則_________14．已知函數的圖象上關于軸對稱的點恰有9對,則實數的取值范圍_________.15．已知函數，，若對任意，總存在，使得成立，則實數的取值范圍為__________.16．函數的最大值是，則實數的取值范圍是___________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．判斷并證明在的單調性.18．已知集合，或（1）當時，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍19．某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比，已知投資1萬元時兩類產品的收益分別為萬元和萬元（如圖）.（1）分別寫出兩種產品的收益和投資的函數關系；（2）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大的收益，其最大收益為多少萬元？20．在①是函數圖象的一條對稱軸，②函數的最大值為2，③函數圖象與y軸交點的縱坐標是1這三個條件中選取兩個補充在下面題目中，并解答已知函數，______（1）求的解析式；（2）求在上的值域21．已知二次函數，且是函數的零點.（1）求解析式，并解不等式；（2）若，求函數的值域22．已知不等式的解集為A，不等式的解集為B.（1）求A∩B；（2）若不等式的解集為A∩B，求的值

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】由在單調遞增可得函數為增函數，保證兩個函數分別單調遞增，且連接點處左端小于等于右端的函數值即可【詳解】由題意，函數為定義在R上的單調函數且在單調遞增故在單調遞增，即且在處，綜上：解得故選：B2、C【解析】利用直線l1：x+ay+1＝0與l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，則，解出即可.【詳解】因為直線l1：x+ay+1＝0與l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直.所以，即.解得：.故選：C【點睛】本題考查由兩條直線互相垂直求參數的問題，屬于基礎題3、C【解析】開機密碼的可能有，，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是，故選C【考點】古典概型【解題反思】對古典概型必須明確兩點：①對于每個隨機試驗來說，試驗中所有可能出現基本事件只有有限個；②每個基本事件出現的可能性相等．只有在同時滿足①、②的條件下，運用的古典概型計算公式（其中n是基本事件的總數，m是事件A包含的基本事件的個數）得出的結果才是正確的4、D【解析】取中間值0和1分別與這三個數比較大小，進而得出結論【詳解】解：，，，，故選：D.【點睛】本題主要考查取中間值法比較數的大小，屬于基礎題5、B【解析】先求出集合B，再求兩集合的交集【詳解】由，得，解得，所以，因為所以故選：B6、B【解析】由斜二測畫法的規則，把直觀圖還原為原平面圖形，再求原圖形的周長【詳解】解：由斜二測畫法的規則知，與軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質不變，正方形的對角線在軸上，可求得其長度為，所以在平面圖中其在軸上，且其長度變為原來2倍，是，其原來的圖形如圖所示；所以原圖形的周長是：故選：【點睛】本題考查了平面圖形的直觀圖應用問題，能夠快速的在直觀圖和原圖之間進行轉化，是解題的關鍵，屬于中檔題7、B【解析】由三視圖可知此幾何體是由一個長為2，寬為，高為的長方體過三個頂點切去一角的空間多面體，如圖所示，則其體積為.故正確答案選B.考點：1.三視圖；2.簡單組合體體積.8、D【解析】利用函數的奇偶性得到，再解不等式組即得解.【詳解】解：由題得.因為在上單調遞減，并且，所以，所以或.故選：D9、D【解析】把選項中不同的代入，去判斷方程是否有解，來驗證函數是否存在不動點即可.【詳解】選項A：若，則，即，方程無解.故函數不存在不動點；選項B：若，則，即，方程無解.故函數不存在不動點；選項C：若，則，即或，兩種情況均無解.故函數不存在不動點；選項D：若，則，即設，則，則函數在上存在零點.即方程有解.函數存在不動點.故選：D10、A【解析】若與邊的交點為,再由三角形中線的向量表示即可.【詳解】若與邊交點為，則為邊上的中線，所以，又因為，所以故選:A【點睛】此題為基礎題，考查向量的線性運算.11、C【解析】令,可判斷出g(x)的圖象就是將h(x)的圖象向上平移一個單位，由圖像的對稱性即可得到答案.【詳解】令則,即g(x)的圖象就是將h(x)的圖象向上平移一個單位即可.因為h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x),即函數h(x)為奇函數,圖象關于原點對稱,所以的圖象關于(0,1)對稱.故選：C12、B【解析】直接根據集合的交集、并集、補集的定義判斷集合間的關系，從而求出結論【詳解】解：由得Venn圖，①；②；③；④；故和命題等價的有①③，故選：B【點睛】本題主要考查集合的包含關系的判斷及應用，考查集合的基本運算，考查了Venn圖的應用，屬于基礎題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】先求得，然后求得.【詳解】，.故答案為：14、【解析】求出函數關于軸對稱的圖像，利用數形結合可得到結論.【詳解】若，則，，設為關于軸對稱的圖像，畫出的圖像，要使圖像上有至少9個點關于軸對稱，即與有至少9個交點，則，且滿足，即則，解得，故答案為【點睛】解分段函數或兩個函數對稱性的題目時，可先將一個函數的對稱圖像求出，利用數形結合的方式得出參數的取值范圍；遇到題目中指對函數時，需要討論底數的范圍，分別畫出圖像進行討論.15、【解析】由題分析若對任意,總存在,使得成立,則的最大值小于等于的最大值,進而求解即可【詳解】由題,因為,對于函數,則當時,是單調遞增的一次函數,則；當時,在上單調遞增,在上單調遞減,則,所以的最大值為4；對于函數,,因為,所以,所以；所以,即,故,故答案為：【點睛】本題考查函數恒成立問題,考查分段函數的最值,考查正弦型函數的最值,考查轉化思想16、[－1,0]【解析】函數，當時，函數有最大值，又因為，所以，故實數的取值范圍是三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、函數在單調遞增【解析】根據函數單調性的定義進行證明即可【詳解】根據函數單調性定義：任取，所以因為，所以，所以所以原函數單調遞增。18、（1）（2）【解析】（1）首先得到集合，再根據交集的定義計算可得；（2）首先求出集合的補集，依題意可得是的真子集，即可得到不等式組，解得即可；【小問1詳解】解：當時，，或，∴【小問2詳解】解：∵或，∴，∵“”是“”的充分不必要條件，∴是的真子集，∵，∴，∴，∴，故實數的取值范圍為19、（1）投資債券，投資股票；（2）投資債券類產品萬元，股票類投資為4萬元，收益最大值為萬元.【解析】（1）設函數解析式，，代入即可求出的值，即可得函數解析式；（2）設投資債券類產品萬元，則股票類投資為萬元，年收益為萬元，則，代入解析式，換元求最值即可.【詳解】（1）設.由題意可得：，，所以，，（2）設投資債券類產品萬元，則股票類投資為萬元，年收益為萬元依題意得即.令則，則所以當即時，收益最大為萬元，所以投資債券類產品萬元，股票類投資為4萬元，收益最大值為萬元.20、（1）條件選擇見解析，；（2）.【解析】(1)選擇①②直接求出A及的解；選擇①③，先求出，再由求A作答；選擇②③，直接可得A，再由求作答.(2)由(1)結合正弦函數的性質即可求得在上的值域.【小問1詳解】選擇①②，，由及得：，所以的解析式是：.選擇①③，由及得：，即，而，則，即，解得，所以的解析式是：.選擇②③，，而，即，又，則有，所以的解析式是：.【小問2詳解】由(1)知，，當時，，則當，即時，，當，即時，，所以函數在上的值域是.21、（1）；；（2）.【解析】（1）根據的零點求出，的值，得出函數的解析式，然后解二次不等式即可；（2）利用換元法，令，則，然后結合二次函數的圖象及性質求出最值.【詳解】（1）由題意得，解得所以當時，即，.（2）令,則，，當時，有最小值，當時，有最大值，故.【點睛】本題考查二次函數的解析式求解、值域問題以及一元二次不等式的解法，